高中数学：概率统计答案

2022届高三数学暑期专题复习一一概率统计（解析版）

।.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取了部分学生进行一分钟

跳绳次数的测试，将所得数据整理后，画出了如图所示的频率直方

图，图中从左到右各小矩形的面积之比为2：4：17：15：9：3,

第2组的频数为12.

（1）第2组的频率是多少？样本容量是多少？

（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该校全体高

一学生的达标率.

【答案】（1）150(2)88%

【解析】（1）由于频率直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第2

4

组的频率为2+4+17+15+9+3—。08,

由竽2加的惊空第2组的频数第2组的频数12

由第2组的频率-样本容量’得样本件量-第2组的频率一0.（）8一150.

⑵由图可知该校高一学生的达标率约为2+汇器祟+3乂10028嘱

2.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了

100天空气中的PM2.S和SO2浓度（单位：pg/m3）,得下表：

SO:[0,50](50J50J(150,475]

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115J371()

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率:

（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

[0J50](150,475]

[0,75]

(75,1151

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度

与SO?浓度有关？

附：K、——出口立-------,

（〃+Z?）（c+d）（a+c）（b+d）

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）064⑵有

【解析】（1）根据抽直数据，该市100天的空气中PMZ5浓度不超过75,且SC>2浓度不超

过150的天数为32+18+6+8=64,因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且浓度

—=0.64

不超过150的概率的估计值为I^

（2）根据抽杳数据，可得2x2列联表：

SO2L0J50J(150,475J

[0,75]6416

(75,115]1010

⑶根据⑵的列联表得犬=吗筌曲”做.

由「7/&1>6.635,故有99%的把握认为该市一大空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.

3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销

售量），（单位：/）和年利润z（单位:千元）的影响，对近8年的年宣传费4和年销售量），汽=|,

28）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年消售量/t

620-

（I）根据散点图判断，y=〃+从与），=。+"4哪一个适宜作为年销笛量），关于年宣传费工

的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于工的回归方程；

（III）己知这种产品的年利润z与工、y的关系为z=0.2），-x.根据（1【）的结果回答下列

问题：

⑴年宣传费工=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（/7）年宣传费工为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（看,匕），（的，v2）,...»（w„>匕），其回归线y=a+的斜率和截距

^（«f-w）（v.-v）

的最小二乘估计分别为：6=上-------------,a=v-pu.

支（…尸

/=|

【答案】（1）y=c+d>fx（2）$=100.6+68。（3）见解析

【解析】（I）由散点图可以判断，y=c+d石适宜作为年销售量），关于年宣传费x的问归

方程类型；

108.8

(H)令W=y/x,先建立y关于卬的线性回归方程，由「2=68,

1.6

a=7-^=563-68x6.8=100.6,

所以)，关于卬的线性回归方程为£=100.6+68vv,

因此y关于x的回归方程为§，=10().6+68y,

(III)(i)由(II)知，当x=49时,年销售量y的预报值？=100.6+68，布=576.6,

年利润z的预报值2=5766x0.2-49=66.32,

(冷根据(II)的结果可知，年利润z的预报值z=0.2(100.6+68。)-x=-x+13.64+20.12,

当小*68时，即当16.24时，年利润的预报值最大.

4.4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生

课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只

能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:

小组甲乙丙T

人数12969

(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率;

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求

随机变量X的分布列和均值.

1o4

【答案】⑴而⑵5

【解析】

(1)由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3,从参加问卷调查的12

名学生中随机抽取两人的取法共有a=66(种)，抽取的两名学生来自同一小组的取法共有

C+2d+C=13俐),

1Q

所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为p=去.

(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2,

所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2,

因为P(X=O)=皆=后，P(X=l)=-^-P(x=2)=™j.

所以随机变量X的分布列为

X012

182

p

T55

oo4

所以随机变量X的均值为E(X)=°x1rHX正+2Xg=].

5.假定某人每次射击命中目标的概率均为现在连续射击3次.

(1)求此人至少命中目标2次的概率;

(2)若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则，射击结束.记

此人射击结束时命中FI标的次数为X,求X的数学期望.

125

【答案】⑴2⑵而

【解析】(1)设此人至少命中目标2次的事件为A,

则P(A)=C；X&)X(1一0+氏8灰(1一?=今即此人至少命中目标2次的概率为

1

2,

(2)由题设知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则

p(x=o)=Cx。x(1一*4,

P(x=i)=Cx(3x(i-5+c；x(3°x(T)xT4,

p(X=2)=c次@乂词=/pgs"*®*。-/]

所以随机变量X的概率分布为

X0123

173

P

161688

73]25

从而E(X)=—X0+—X14--X2+-X3=—

lblooolb

6.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人

是否需使用设备相互独立.

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.

【答案】(1)0.31(2)2

【解析】由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为

0.6x0.5x0.5x0.4+(1-0.6)x0.5：＜0.5x0.4+0.6x(l-0.5)x0.5x0.4+0.6：＜0.5x(l-0.5)x0.4+O.6xO.5xO.5x(l-0.4)=0.31

(Il)X的可能取值为0，I,2,3,4

P(X=O)=(1-0.6)x0.52＞(1-0.4)=0.06

P(X=l)=0.6x0.52x(l-0.4)+(1-0.6)x0.52x0.4+(1-0.6)x2x0.52x(l-0.4)=0.25

2

p(X=4)=P(A2・B・C)=O.5x0.6x0.4=0.06,

P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,

P(X=2)=l-P(X=0)-P(X=l)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.

故数学期望£¥=0x0.06-1x0.25+2x0.38+3x0.25+4x0.06=2

7.乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连

续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次

发球，发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，

甲先发球.

(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率：

(2)J表示开始第4次发球时乙的得分，求4的期望.

【示答案】⑴0.352(2)1.4

【解析】(1)记A,表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0,1,2；A表

事件：第3次发球，甲得1分；

8表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2,则8=4A+A・X

「尸(A)=0.4,P(4)=0.16，P(^)=2x0.6x0.4=0.48

：.P(B)=0.16x0.4+0.48x(1-0.4)=0.352；

(2)P(4)=()6=0.36,4表示开始第4次发球时乙的得分，可取0,1,2,3

p（4=0）=P（&A）=0.36x0.4=0.144

P《=2）=P（B）=0.352

P（g=3）=P（4用=0.16x0.6=0.096

尸《=1)=1-0.144_0.352—0.096=0,408

."的期望超=1x0.408+2x0.352+3x0.096=1.400.

8.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零

件，并测量其尺寸(单位：。〃).根据长期生产经验，匕以认为这条生产线正常状态下生产

的零件的尺寸服从正态分布M〃.〃).

(I)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(〃-初,〃+3。)之

外的零件数，求P(X..l)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(〃-3G〃-3b)之外的零件，就认为这条生产

线在这•天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明I：述监控生产过程方法的合理性;

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116116（116

经计算得f=9.97,$=、工之（毛―丁尸=.—（y^2-1672）^0.212,其中若为抽

16

16曰V161=|V/=i

取的第i个零件的尺寸，i=l,2,...»16.

用样本平均数工作为〃的估计值。，用样本标准差s作为。的估计值3,利用估计值判断是

否需对当天的生产过程进行检查？剔除(〃-30.”+3为之外的数据，用剩下的数据估计〃和

。(精确到0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布N（4，/）,则汽〃-3bvZ<〃+3b）=0.9974,

0.997416«0.9592,x/0.0080.09.

【答案】(1)0.0416(2)见解析

【解析】(I)由题可知尺寸落在(〃-3b,〃+M)之内的概率为0.9974,

则落在(〃一3b,〃+3b)之外的概率为1-0.9974=0.0026，

因为p（X=0）=C：x（1-0.9974）°x0.9974'6r0.9592,

所以P(X..1)=1-P(X=0)=0.0408,又因为X~3(16,0.0026),所以

E(X)=16x0.0026=0.0416；

(2)(i)如果牛.产状态正常，一个零件尺寸在(4-33/7+M)之外的概率只有0.0026,

天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(。-33,衣+33)之外的零件的概率只有0.0408,发生

的概率很小.因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出

现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii)ltlx-9.97,5^0.212,得〃的估计值为二丁9.97,b的估计值为8-0.212,由样木

数据可以看出一个零件的尺寸在3-33,&+33)之外，因此需对当天的牛•产过程进行检查.

剔除(。-33,。+33)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为七(16x9.97-9.22)=10.02,

16

因此〃的估计值为10.02.=16X0.212?+16x9.97?工1591.134,

1=1

剔除(。-3S/+33)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为

-^(1591.134-9.222-15x10.022)=0.008,

因此b的估计值为5/0.00隈0.09.

9.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用

一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为最和亍，样本方差分别记为野

和S；.

(1)求x,y,S：,S；；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果

y-x>2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则

不认为有显著提高).

【答案】（1）X=10,y=10.3,S；=0.036,S1=0.04；（2）新设备生产产品的该项指标的

均值较旧设备有显著提高.

【解析】

【分析】(1)根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

(2)根据题FI所给判断依据，结合(1)的结论进行判断.

-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.84-10+10.14-10.2+9.7

［详解］(1)x=-----------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

y=----------------------------------------------------=10.3,

10

巾0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+O.32八〜/

-------------------------------------------------0.036，

10

0.22+()./+0.2?+0.32+0.22+O+O.32+0.22+0.12+0.2

S；==0.04.

10

(2)依题意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=2J0.025，=209076，

s；+.

,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

y-x>2"io

10.（全国新高考I卷18；某学校组织“一带一路”知识竞赛，有力，6两类问题，每位参

加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学

比赛结束：若回答正确则从另•类问题中再随机抽取•个问题回答，无论回答正确与否，该

同学比赛结束.力类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：6类问题中的每个问

题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能止确回答力类问题的概率为0.8,能正确回

答〃类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答力类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）B类.

【解析】

【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）

与（1）类似，找出先I回答〃类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【详解】（1〉由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.

p（X=0）=l-0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列为

X020100

P0.20320.48

(2)由(1)知，£(X)=0x0.2十20x0.32十100x0.48=54.4.

若小明先回答8问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为0,80,100.

p(y=0)=1-0.6=0.4；

p(y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

所以七(丫)=()x0.4+80x().12+100x0.48=57.6.

因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答B类问题.

11.（全国新高考II卷21）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微

生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代

繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设I表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

P(X=i)=〃j(i=(),l,2,3).

(1)已知〃0=0.4,P[=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X)；

(2)设夕表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于>的方程：

〃0+"/+〃2%2+，313二工的一个最小正实根，求证：当E(X)W1时，〃=1,当E(X)>1

时，

(3)根据你的理解说明时)问结论的实际含义.

【答案】