高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题

1、椭圆G：的两个焦点为用、£,短轴两端点R、B2,已知

R、£、Bl、Bz四点共圆，且点〃(0,3)到椭圆上的点最远距离为5后.

(1)求此时椭圆G的方程；

(2)设斜率为k(kNO)的直线m及椭圆G相交于不同的两点氏F,Q为欧的中点，

问反尸两点能否关于过点P(0,4)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围;

若不能，请说明理由.

2、已知双曲线——/=］的左、右顶点分别为外4,动直线/：)，=版+〃?及圆/+)，2=］相切,

且及双曲线左、右两支的交点分别为),6(%,必).

(I)求人的取值范围，并求马-司的最小值；

(II)记直线［A的斜率为勺，直线鸟儿的斜率为心,那么，是定值吗？证明你的结

论.

3、已知抛物线C:)，2=or的焦点为F,点K(-1,0)为直线/及抛物线C准线的交点，直线/及

抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.

(1)求抛物线。的方程。

(2)证明：点F在直线BD上;

(3)设，求ABDK的面积。.

4、已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，离心率为工，点p(2,3)、48在该

2

椭圆上，线段A5的中点7在直线OP上，且A、O、8三点不共线.

(I)求椭圆的方程及直线AB的斜率；

(II)求AP/W面积的最大值.

5、设椭圆的焦点分别为"(TO)、7s(1,0),直线/：x=a2

交x轴于点4,且";=2Ag.

(I)试求椭圆的方程；

(II)过6、入分别作互相垂直的两直线及椭圆分别交于。、E、M、N四点(如图

所示)，若四边形OMEN的面积为上，求。E的

7

程.

6、已知抛物线P：石2py(p>0).

(I)若抛物线上点2)到焦点厂的距离为3.

(i)求抛物线尸的方程；

(ii)设抛物线P的准线及y轴的交点为E过£作抛物线P的切线，求此切线方程;

(II)设过焦点尸的动直线1交抛物线于4H两点，连接A。，8。并延长分别交抛物

线的准线于G〃两点，求证：以切为直径的圆过焦点反

7、在平面直角坐标系xO.v中，设点P(x,)，),M(x,-4),以线段PM为直径的圆经过原点0.

(I)求动点P的轨迹W的方程；

(II)过点20,-4)的直线/及轨迹卬交于两点点A关于〉轴的对称点为4,试判断

直线45是否恒过一定点，并证明你的结论.

8、已知椭圆的离心率为芈，且椭圆上一点及椭圆的两个焦点构成的三角

形周长为6+4、历.

(I)求椭圆M的方程；

(II)设直线/及椭圆M交于两点，且以A8为直径的圆过椭圆的右顶点C,

求AA8C面积的最大值.

9、过抛物线（：：），2=2*（〃>0）上一点加层〃）作倾斜角互补的两条直线,分别及抛物线交于

A、B两点。

（1）求证：直线AB的斜率为定值；

（2）已知两点均在抛物线C：），2=2*（）£0）上，若△MAN的面积的最大值为6,求抛

物线的方程。

10、已知椭圆的左焦点R-c,0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点,

过点F且不及y轴垂直的直线/交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为配附

(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线轴时，求KM2的值;

(2)求)：网的值。

11、在平面直角坐标系x"中，已知椭圆(a>8>0)的离心率为*,其焦点在圆V+六1

上.

(1)求椭圆的方程；

(2)设小B,〃是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角3使

OM=cosOOA+sinOOB.

(i)求证：直线力及如的斜率之积为定值；

(ii)求曲2+组.

12、已知圆M:(x+G)2+)，2二至.的圆心为M,圆N：(X—/)2+),2=J_的圆心为N,一动圆及

1616

圆M内切，及圆N外切。

(I)求动圆圆心夕的轨迹方程；

(II)(I)中轨迹上是否存在一点Q,使得NMQN为钝角？若存在，求出Q点横坐标的取

值范围；若不存在，说明理由.

13、已知点/是椭圆的右焦点，点MQn,O)、N(0、〃)分别是工轴、)，轴上的动点，且满

足加•标=0.若点P满足丽=2丽+所.

(I)求点P的轨迹。的方程；

(II)设过点/任作一直线及点尸的轨迹交于A、B两点,直线。A、。8及直线x=分

别交于点S、T(。为坐标原点)，试判断空口是否为定值？若是，求出这个定值；若不

是，请说明理由.

14、在平面直角坐标系XO.V中，已知圆B:(x-l)2+y2=]6及点A(-1,0),P为圆B上的动点，

线段PA的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线Co

(1)求曲线C的方程；

(2)曲线C及x轴正半轴交点记为Q,过原点0且不及X轴重合的直线及曲线C的交点

记为M,N,连结QM,QN,分别交直线户”/为常数，且工工2)于点E,F,设E,F

的纵坐标分别为y,.yj求y%的值(用，表示)。

答案：

1、解：(1)根据椭圆的几何性质，线段片£及线段8氏互相垂直平分，故椭圆中心即为该

四点外接圆的圆心..............1分

故该椭圆中叵b=V2c,即椭圆方程可为x2+2/=2b2......3分

设〃(x,y)为椭圆上一点,则

|例|2=—+(丫_3)2=-3+3)2+2/+18,其中一6114。..........4分

若0<〃v3,贝I]y=-〃时HN产有最大值〃*+6〃+9.............5分

由〃2+6〃+9=50得〃=-3±5五（舍去）（或b?+3b+9＜27,故无解）6分

若bN3,当y=一如寸,|HN\2有最大值2从+18..............7分

由2万+18=50得/=16,所求椭圆方程为..............8分

＜1）设E（X1，X）,尸（X2，为），。。0，%），则由两式相减得

%+2ky（）=0……③又直线7L直线m,直线国方程为

将点0（%,比）代入上式得，……④..............11分

由③④得0（）...............12分

而。点必在椭圆内部，

由此得公＜2,又女工0,..._妈＜攵＜0或0＜女＜叵，故当

222

人（一券,0）50,孚）

22

时，E、尸两点关于点〃、0的直线对称14分

2、解：（I）•・•/及圆相切,:.m2=l+k2....①

22

由，得（\-k）x-2mkx-（nr+i）=0y

1-二wo

A=4nrk2+4(1-k2)(m2+1)=4(/n2+1-Z:2)=8>0,

nr+1八

x.-x=---<0

1一7k2-l

我2<I,7<A<1,故人的取值范围为(-1,1).

r4_，上2mkr------------2拒2拒

由于％+/=—T：.X-X=,(玉+X)--4X,X=-r—=—r:0《&2Vl二.当&2=0时,

I—K2112—K1—2K

%2-4取最小值2叵-6分

（H）由己知可得的坐标分别为（-1,（））,（1,0）,

k.k=——

12

X1+1-x2-IU.+Dte-l)

.om2+\,2mk

zk"•—：----ink-^：----Fm

kxyx2+mk{Xy+x2)+m~k?-l公]

nr+\2V2

F-lk2

nrk2+k2-2nrk2+irrk2-nv

m2+1-2a-42+]

-1

由①，得m2-k2=\,=—(3+25/2)为定{fi.12分

3-2V2

3、解：(1)y2=4x

设A(X1,y),3(/,%)，Q(M，-y),/的方程为工=勿，-1(〃7工0).

(2)将％=度-1代人V=4x并整理得y2-4my+4=0,

从而y+%=4〃z,y%=4.

直线8。的方程为丁_%=三斗心7,),

回]>一必=—-—•(a%令

y2f4

所以点尸(1,0)在直线ND上

2

(3)由①知，xi+x2=(/W1—1)+(wy2—1)=<1w—2

uuuu

芭&=(my_DQ22T)=1•因为胡=(内一1，y)，FB=(x2-l,y2),

UUULI

FA・FB=(%)-1)(x2-1)+y]y2=x}x2-(x14-x2)+l+4=8-4〃，

故，解得

所以/的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0

又由①知故名=如耳•日弋

4、解：(I)设椭圆的方程为，

则，得储=16,从=[2.

所以椭圆的方程为.3分

设直线AB的方程为>依题意可知直线的斜率存在）,

设A（x，y）,5（々,必），则由，得

(3+4公卜2十弘江+4/-48=()A>0得b?v12+16k?

，设丁（%％）

与=_劣'%=*'易知此"°,

由0T及0P斜率相等可得，即，

所以椭圆的方程为，直线AB的斜率为-................6分

2

（II）设直线AB的方程为,lVx+2y-2t=0f

由

得f一比+"-12=0,

A=r-4(r2-12)>0,-4<r<4..............8分

.\AB\=J(l+公)[(u+%)2-4)与]=J京48-3产)=孚J16一产.

点P到直线AB的距离为.

于是的面积为

|8f|

SgAB=g-J^■孚-V16-Z2=iJ(4-f)3.(12+3r).................10分

设/⑺=(4-f)3(12+3r),尸⑺=72(，-4)2(1+2),其中-4〈/<4.

在区间(一2,4)内，/⑺<0,/⑺是减函数；在区间(-4,一2)内，f\t)>0,/⑺是增函数.所

以/⑺的最大值为/(-2)=6,.于是S&PAB的最大值为18.............…12分

5、解：(I)由题意，|的修=2c=2,.•/(/,())-------1分

•/AF}=2Ag名为八月的中点------------2分

a2=3,/?2=2

即：椭圆方程为------------3分

(II)当直线力E及x轴垂直时，，此时|MN|=2〃=2VL

四边形OMEN的面积不符合题意故舍掉；4分

同理当MV及x轴垂直时，也有四边形QA/EN的面积不符合题意故舍

掉;5分

当直线，MN均及x轴不垂直时，设。£：＞=攵（工+1）,

代入消去y得：（2+3公）/+6小工+（3〃2-6）=0.--------------6分

-6k?

X1+%2=

2+3k2

设£＞（芭，必）,£（》2，丁2），则，7分

3公一6

X/2-213k2

所以|2-£1=g+X2)2_4X“2=4fq"J1

8分

3Ki"乙

2

所以|OE|=yjk+1|x,-x,|=。，—9分

~2+3k2

4V3[(-y)2+l]46(』+1)

同理IMN|=------号----=----%-.------------11分

2+3(-―2+.

kk-

所以四边形的面积S=网"“M」.46伏2：1)J3(4+1)

222+3廿3

户

由S=—nk2=2=k=±\^2，—12分

7

所以直线/上:后-y+夜=0或仆:亚x+y+6=0

或(龙:>[2x-2y+>/2=0HKlDE:>/2x4-2y4->/2=013分

6、解：（I）（i）由抛物线定义可知，抛物线上点M（九2）到焦点厂的距离及到准线距

离相等，即相（九2）到的距离为3；

,解得p=2.

・・・抛物线P的方程为丁=4），.4分

（ii）抛物线焦点”0,1）,抛物线准线及y轴交点为凤0,-1）,

显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为我,切线方程为＞=依-1.

由，消y得工2_4丘+4=0,6分

△=162?-16=0,解得Z=±l.7分

切线方程为y=±戈-1.8分

（H）直线/的斜率显然存在，设/：,

设A（X[,y），B（x2,y2）,

由消y得x2-2pkx-p2=0.且△>().

x}+x2=lpk,xx-x2=-p~；

A（x，y）,直线04:,

及联立可得，同理得.10分

V焦点,

・•・，，12分

X2

・厂厂「八/P\、,px?、px2,2PX1X.2

・・/c/o=（一尸，一〃）•（—一，一〃）=1尸+〃=二]~十〃

2y2必2y}2y24y%

_/』♦2=£2=（）

一））十〃一十〃—2十〃一U

4旦旦咐一/厂

2P2P

J以。。为直径的圆过焦点F.14分

7、解：（I）由题意可得OPLOM,2分

所以OPOW=0,即（x,y）（x,T）=o4分

gPx2-4y=0,即动点P的轨迹W的方程为f=4y5分

（II）设直线/的方程为y=履-4,4（%,凹）设（苍,必），则4'（-x"i）.

由消y整理得戈J4"+16=0,6分

则A=16公一64>0,即|攵|>2.7分

x

内+i=4k,x1x2=16.9分

直线4从），-必=上入（1-工2）

x2+X1

，)，=%一，(Y-X)+%

吃+%

22।

/.y=——(%-占)+—/

-4(X,+X)-4-

212分

x-xx-xx

-2(x—=2-----]--2

)'=44+*

W-Xx।中2

y=

44

即

所以，直线48恒过定点(0,4).13分

8、解：(I)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4行,

所以2a+2c=6+4VL1分

又椭圆的离心率为逆，即，所以，2分

3

所以。=3,c=2\[2.4分

所以8=1,椭圆M的方程为.5分

(II)方法一:不妨设8。的方程y=〃(x-3),(〃>0),则4C的方程为.

由得4+)/-6/?2x+9n2-1=0,6分

设4区,必),B(x2,y2),因为,所以，7分

同理可得，8分

所以，，10分

2心

一■—

S^BC=^\BC\\AC\=12分

2(〃+4+处

n9

设，贝心二二^二一^1，13分

产十竺"8

99t

当且仅当,[时取等号,所以⑼北面积的最大值为?

14分

方法二：不妨设直线AB的方程/=0+〃"

由消去x得(％2+9))/+Ikmy+nr-9=0,6分

设4（和必），8（々,丁2），

则有，.①7分

因为以A8为直径的圆过点C,所以C4CB=（）.

由04=（%-3,乂）,6=（苍一3,），2），

得（$-3）。2-3）+），跖=0・8分

将玉=bl+m，々=纵+m代入上式,

2

得（公+l）yy2+k[m-3）（y+%）+（m-3）=0.

将①代入上式，解得或相=3（舍）.10分

所以（此时直线AA经过定点，及椭圆有两个交点）,

所以几^=白。5）1-必1

13I---------------------925（F+9）-144

=—X—+%）2-4,％=-（炉-12分

25125“2

设,

则与

JYJ

所以当时，sM8c取得最大值3.

uxouvo14分

9、解；（1）不妨设

kMA=~kMB=y+>2=-2P，：Kb="2=-1......................................................5分

22__2L

2P2P

（2）AB的直线方程为:y-y1=-（工-3）,即x+y-y-3=0

2P2P

点M到AB的距离。...............................7分

陷=闺々-止&力-3=夺%+为卜帆-W=2&|p+y|............9分

又由3+y2=-2〃且yvy2<0,yw[—2p,0],令p+y=t,:.te\-p,p\

S.=；2应归+yj,灯笋旬=—|4月..................11分

22V2P2P

设/(/)=|4p)-3|为偶函数，改只需考虑/«o,p］,

所以/⑺=4/力_/,/(/)，=4〃2一2/2>0,/⑺在［0,p］上递增，

1§

当，=P时，/(0=3Pl.(SAw)max=~<3〃'=；p"

nwx2P2

o故所求抛物线的方程为/=4A-.................................13分

10、(I)解：由题意椭圆的离心率，加=4,所以。=2,c==百,

故椭圆方程为,------3分

则直线/:x=—1,A(—2,0),B(2,0),

故或,

33

当点。在x轴上方时,—2—=——3.匕=-2--=——]»

-1+222-1-22

所以4：&=3,

当点。在x轴下方时，同理可求得4=3,

综上，匕：&=3为所求.------------6分

(II)解：因为，所以〃=2c,b=43c,

椭圆方程为+4己=12c?,A(-2c,0),5(2c,0),直线/:%=切-c,

设。(％,)，］),。(工2，%)，

由消无得，(4+3m2)y2-6mcy-9c2=0,

6mc-VA6mc+VZ6mc

y.+y=-----------+-----------=---------

1-22(4+3〃/)2(4+3〃/)4+3/n2

所以------8分

6mc-\[X6mc+VA_9c2

'.%―2(4+3〃/)・2(4+3〉)一一4+3加

8c

%+/=3(X=%)_2C=_

3m+4

故,①

2/、24c2-⑵丘2

X•%2="r乂%—〃2c(y+%)+厂=­°、.—

3〃r+4

由，及)，2=3(4/-/)=3(2c-x)(2c+x),____9分

,44

2

znk；y2(x1-2c)~(2c-%)(2c-x2)4c~-2c(xt+x2)+芭”»

w-7=、、=A、=•,

k{y\~(x2+2c)~(2c-Xj)(2c+x2)4c~+2c(%+x2)4-x)x2

16c24c2-12W2C2

4c24-

将①代入上式得“2导3"，+43/〃2+4_36c-_9,

10分

16c24C2-12W2C2，

--7----1------0-----

3nr+43〃r+4

注意至Ijy•%<°，%一2c<0，w+2c>0,得，----11分

所以仁：左2=3为所求.------------12分

11、解：（1）依题意，得c=l.于是，a=6,b=\..................................2分

所以所求椭圆的方程为.........................4分

⑵⑴设力（X”必），6（而，必），则①，②.

又设材（必y）,因OM=8s6OA+sin6O5,故...7分

（叶加

因M在椭圆上，故8§"；4§8）+（yCQSe+）\sin。）2=1.

整理得吟+y：）8s26+（］+y；）sin23+2（竽+y%）cos6sin，=1.

将①②代入上式,并注意cQsOsinewO,得^^+凶）”。.

所以，为定值.........................10分

（ii）（y=（-竽>="4=（i-#）（1-¥）=1-3+>；）+）：£，故#+y；=1・

乙乙乙

又，故^+¥=2.

所以，面+西二片+―+考+£=3・..........................................16分

12、解：（I）设动圆P的半径为r,则1PMi="-〃PN|=r+工

44

两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|

由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为26,实轴长为4的椭圆

其方程为........6分

（II）假设存在，设。（x,y）.则因为NMQV为钝角，所以。MQNvO

QM-（-V3-x,-y）,QN=（y/3-x,-y）,QM-QN=x24-y2-3<0

又因为Q点在椭圆上，所以

联立两式得：化简得：,

解得：13、解:（I）•.•椭圆右焦点尸的坐标为（兄0）,...........（1分）

/.NF=（a,-ii）.vMN=（一犯〃）,

...由丽•沛=0,得/+〃加=0.