高中数学数学等差数列多选题专项训练的专项培优练习题及解析

高中数学数学等差数列多选题专项训练的专项培优练习题（及解析

一、等差数列多选题

1.（多选题）在数列｛4｝中，若片一。3二〃，（〃22,，〃为常数），则称

｛q｝为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A.若｛?｝是等差数列，则｛〃；｝是等方差数列

B.｛（-1）”｝是等方差数列

C.若｛%｝是等方差数列，贝可。例｝QkeNI出为常数）也是等方差数列

D.若｛4｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

解析：BCD

【分析】

根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.

【详解】

对于A选项，取/二〃，则

■1一。：=（〃+1）4—〃4=［（〃+1）2―/｝［（〃+1）2+〃［=（2〃+］）（2〃2+2〃+1）不是常

数，则｛«；｝不是等方差数列，A选项中的结论错误；

对于B选项，［（一1）向『一［（_］）［2=1一1=0为常数，则［（-1）"｝是等方差数列，B选项

中的结论正确；

对干C选项,若｛〃"｝是等方差数列，则存在常数〃WR,便得。3一片=〃，则数列

｛项为等差数列，所以《刊一星=kp,则数列｛怎J（ksN"左为常数）也是等方

差数列，C选项中的结论正确；

对于D选项，若数列｛4｝为等差数列，设其公差为4,则存在mcR,使得

an=dn+m,

则q"—d=（q用一qjm川+4）=［（2加+2"z+d）="，+（2"z+d”,

由于数列｛4｝也为等方差数列，所以，存在实数〃，使得。3-必=〃，

则2d-〃+（2〃?+d）d=〃对任意的〃wN・恒成立，则〈小八，，得〃="=0，

此时，数列｛〃“｝为常数列，D选项正确.故选BCD.

【点睛】

本题考套数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列

来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.

2.己知｛〃“｝为等差数列，其前〃项和为S”，且24+%3=$6,则以下结论正确的是

（）.

A.4（）=。B.S]（）最小c.S7=512D.工9=0

解析：ACD

【分析】

由2q+3%=S6得4。=0,故A正确；当d<0时，根据二次函数知识可知S“无最小

值，故昔误：根据等差数列的性质计算可知，2=S?,故。正确：根据等差数列前〃项

和公式以及等差数列的性质可得、9=0,故。正确.

【详解】

因为2q+3〃3=S6，所以2q+3q+6d=6q+15d,所以q+9d=0,即％o=O,故

A正确；

当d<0时，S.=叼十〃（；1）d=_9办+d=、（/―19〃）无最小值,故B错

误；

因为S12-S,=6+4+4o+。||+42=5即）=0,所以S[2=S7,故。正确；

因为59=（4+?）X19=]9q0=0,故。正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、前〃项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.

3.已知数列｛q｝满足：%=3,当〃22时，凡=（屈二开则关于数列｛4｝

说法正确的是（）

A.%=8B.数列｛4｝为递增数列

C.数列｛q｝为周期数列D.f/„=n2+2n

解析：ABD

【分析】

由已知递推式可得数列｛、仿田｝是首项为府仃=2,公差为1的等差数列，结合选项

可得结果.

【详解】

="4』+1+1）T得。“+1=（“一+1+1）,

•••M+1=+1+1'

即数列｛历行｝是首项为府仃=2,公差为1的等差数列，

Jo”+1=2+（〃-1）x1=rz+1,

••・%=〃2+2〃，得生二8,由二次函数的性质得数列/〃｝为递增数列，

所以易知48。正确，

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属

于中档题.

4.下面是关于公差d〉0的等差数列｛《』的四个命题，其中的真命题为().

A.数列｛6,｝是递增数列

B.数列｛〃4｝是递增数列

C.数列｛2｝是递增数列

n

D.数列｛q+3〃d｝是递增数列

解析：AD

【分析】

根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.

【详解】

d>0,an+i-an=d>0,所以｛4｝是递增数列，故①正确，

nan=〃[q+(〃-1)4]=而2+(q—4)〃，当〃<2;时，数列｛〃。力不是递增数列，

故②不正确，

5=4+幺二@,当4一4<0时，｛2｝不是递增数列，故③不正确，

nnn

att+3nd=^nd+a[-d,因为d>0,所以｛a〃+3〃d｝是递增数列，故④正确，

故选：AD

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.

5.首项为正数，公差不为0的等差数列｛〃〃｝,其前〃项和为S“，现有下列4个命题中正

确的有()

A.若E0=0,则Sz+SgnO,

B.若S4=S12,则使S”>0的最大的〃为15

C.若$5>0,S]6V0,则｛sj中$8最大

D.若S7Vs8,则S8Vs9

解析：BC

【分析】

根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.

【详解】

A选项，若5|0=1()4+^—4=(),则24+94=0,

那么S2+S8=（2q+d）+（&?[+28d）=lOq+29d=-16J工。.故A不正确；

B选项，若Sa=Si?,则%+4+L+《]+&=4（%+%）=。，

乂因为4>0,所以前8项为正，从第9项开始为负，

因为S16"/）=8®+为）=0,

所以使s〃>0的最大的n为15.故B正确；

C选项，若儿:04+%）=]5%〉0,$6A/：）/…Mo,

22

则仆>0,的<。，则｛$“｝中及最大.故C正确；

D选项，若S.Sg,则％>0,而S9-S8=%，不能判断出正负情况.故D不正确.

故选：BC.

【点睛】

本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.

6.设等差数列｛。〃｝的前〃项和为S“，公差为d.已知为=12,S12>0,%<0则（）

A.a6>0B.数列，是递增数列

S

c.S〃<0时，〃的最小值为13D.数列1肃j中最小项为第7项

解析：ACD

【分析】

由已知得SI2二=12（。；+%）>0,又％<0,所以〃6>0,可判断A：由己知

得出一与vdv-3,且4,=12+（〃-3）d,得出〃«1,6]时，〃“>0,〃27时，

%<°，又7=]2+（-3”'可得出，-在〃弭N）上单调递增，，-在

n?[7,7）（/2N）上单调递增，可判断B；由

S13二里等9二约#二]3%<0,可判断C；判断。“，S”的符号，|%|的单调性

可判断D：

【详解】

由己知得％=4+2"=12,q=12-2d,S=%（4+牝）=12（%+%）〉（）,又

22

%<°，所以。6>0，故A正确;

%=4+6d=12+4J<0

由，4=4+5〃=12+3J>0,解得—<^/<-3,又

7

。6+%=2q+11d=24+7d>0

an=a3+^n-i)d=12+(/?-3)J,

11「i

当〃《1,6］时a〃>0,〃N7时，《,<0,又丁=]2+(〃-3)4'所以〃w[l,6]时,

—>0,〃27时，

Cln（%

所以，在肘耳N）上单调递增，L在〃？［7,/）（〃N）上单调递增，所

以数列|」-1不是递增数列，故B不正确；

lan］

由于、3=13（“；43）=臂"=13%<0,而S|2>0,所以S“<0时，〃的最小值为

13,故C选项正确；

当”41,6］时，aH>0,〃27时，Cin<0,当〃《1,12］时，S”>0,〃》13时，

S

S〃〈0,所以当〃47/2］时，4<0,S〃>0,^<o,〃w［7,12］时，同为递增数

S

列，S”为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项，故D正确；

【点睛】

本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.

7.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“（〃£N”）,公差〃工0,56=90,%是%与肉的

等比中项，则下列选项正确的是（）

A.d=-2B.a1=-20

c.当且仅当〃=10时，鼠取最大值D.当S〃<0时，〃的最小值为22

解析：AD

【分析】

运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A,B：由二次函数

的配方法，结合〃为正整数，可判断C；由S“<0解不等式可判断D.

【详解】

等差数列a｝的前，项和为s“，公差4工0,由§6=90,可得6q+15d=90,即

20+5d=3O.①

由由是知与旬的等比中项，得齿二%%，即（％+6df=（q+2/）（4+8c/）,化为

q+10d=0,(2)

由①②解得4=2(),d=-2,则勺=20-25-1)=22-2%

1

S=—〃(2()+22-In)=2\n-n9~,

n2

212441

由n--|-+于，可得〃=10或11时，S”取得最大值110；

2

由S〃=21〃—〃2<0,解得〃>21,则〃的最小值为22.

故选：AD

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法,

考查方程思想和运算能力，属于中档题.

an,

8.数列｛《,｝满足丁匕吗=1，则下列说法正确的是（）

2。〃+1

1

A.数列是等差数列B.数列的前〃项和S.=fl2

C.数列｛4｝的通项公式为%=2〃-1D.数列｛q｝为递减数列

解析：ABD

【分析】

，q二i得到」I

首项根据〃向=7%=2,从而得到是以首项为1，公差为

2q+1

2的等差数列，再依次判断选项即可.

【详解】

对选项A,因为%+1=.U".,q=1,

24+1

12an+1c1j=2

所以工—=——=2+—

1

所以工是以首项为I,公差为2的等差数列，故A正确.

1

对选项B,由A知：一=1+2(〃-1)=2H-1

1

，的前〃项和S,,二）="2,故B正确.

数歹I」〃（+2"—1

”2

对选项C,因为」-二2〃-1,所以〃故c错误.

凡21

对选项D,因为凡=五g,所以数列｛4｝为递减数列，故D正确.

故选：ABD

【点睛】

本题主要考杳等差数列的通项公式和前〃项和前刀项和：同时考查了递推公式，属于中档

题.

9.等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若为<。，4。>。，则下列结论正确的是（）

A.5I0>59B.517<0c.S[8>S]9D.519>0

解析：ABD

【分析】

先根据题意可知前9项的和最小，判断出A正确；根据题意可知数列为递减数列，则

《9>0,又、8=号9-49,进而可知S|5>S]6,判断HC不正确；利用等差中项的性质

和求和公式可知SI7=（q+?x"=2%;17=,

兀="孚吧=%用2=%。>0,故此正确

【详解】

根据题意可知数列为递增数列，的<o,4o>0,

前9项的和最小，故A正确；

（4十%）xl7,故8正确;

1722

九=色上乎上二驾型=19%。"故D正丽

♦.・每>0,

S]8=Eg-〃|9，

・•・S18csi9,故。不正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

10.｛因｝是等差数列，公差为d,前项和为s〃，若/<§6，s6=s7>s8,则下列结论

正确的是（）

A.d<0B.%=0C.S9>55D.S17<0

解析：ABD

【分析】

结合等差数列的性质、前〃项和公式，及题中的条件，可选出答案.

【详解】

由S6=S?,可得S7-5‘6=%=。，故B正确;

由S5Vs6,可得$6-S5=%>°，

由57>58,可得§8-§7=6<0,

所以%<%<4，故等差数列｛4｝是递减数列，即d<0,故A正确；

又59-85=4+/+4+%=2（%+4）<0,所以S<）<Ss，故c不正确；

又因为等差数列｛q｝是单调递减数列，且％<0,所以出<0,

所以S-二17（4；47）=17旬<0,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及

前〃项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式a〃=S〃-S“T（，亚2）,及

S=〃（4十%）,对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考杳学生的运算求解能力与逻辑

〃2

推理能力，属于中档题.

11.斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多•斐波那契于1202年

提出的数歹|J.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,......,此数列从第3项开始，每

一项都等于前两项之和，记该数列为｛尸（〃）｝,则｛/（"）｝的通项公式为（）

A.尸(〃)=当£

B.厂(〃+1)=尸(〃)+尸2且尸(1)=1,尸(2)=1

1口+后丫ns”

c-〃）=不〔

22

D.F(〃)$

+

2

解析：BC

【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；

【详解】

解：斐波那契数列为1,1，2,3,5,8,13,21,......,

显然F⑴=1,尸⑵=1,F（3）=F（1）+F（2）=2,尸（4）="（2）+尸⑶=3,……,

F（T?+1）=F（/?）+F（/2-1）,/?>2,所以+尸（〃）+尸（〃一1）,〃之2且

F（1）=1,F（2）=1,即B满足条件；

由F（/?+l）=F（/?）+2,

所以产（〃+1）一与叵尸（〃）=，&[/（〃）一写叵尸（〃一i）

所以数列卜（〃+1）-上乎*〃）]是以土叵为首项，上叵为公比的等比数列,

2J22

所以尸伍+1）-上空尸（〃）=

1-V5

产(〃+1)2尸(〃)

所以+1，

1+6,1+布/+逐yt-l

（丁）丁（丁）

b二"

，则也用二当土仇+1，

令"(1+町।

石十5x/S-3〃W+5、

所以/储

102

6+5].以上史为首项，避二3为公比的等比数列,

所以他-

10102

V5+5।5-A/5V5-3

所以勿=+1()2

1()

广行门+行丫门-行丫

所以尸（〃）==--I--------

2522

即C满足条件；

故选：BC

【点睛】

考杳等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要

求由较高的逻辑思维能力，属于中档题.

12.设｛%｝是等差数列，S”是其前〃项的和，且邑<56，S6=S7>S8,则下列结论正

确的是（）

A.d>0B.%=0

D.$6与57均为S”的最大值

C.59>S5

解析:BD

【分析】

设等差数列｛q｝的公差为d,依次分析选项即可求解.

【详解】

根据题意，设等差数列｛4｝的公差为4,依次分析选项:

｛凡｝是等差数列，若§6二邑，则S7-S6=%=0,故8正确：

又由S5<Se得56-§5=">。，则有"二%-。6<0，故4错误；

而C选项，59>S5,即6+%+6+〃9>0,可得2(%+纭)>0，

又由%=0且d〈o，则/<0，必有为+4<0，显然C选项是错误的.

•/S5<S6,S6=S7>Sg,・・・S6与邑均为S”的最大值,故。正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查了等差数列以及前〃项和的性质，需熟记公式，属于基础题.

13.公差不为零的等差数列｛qj满足卜3|二|4|，S”为｛4｝前〃项和，则下列结论正确的

是()

A.Sj।=0B.Sn=»S|0_ZJ(1<A?<10)

c.当S“>0时，>S5D.当SH<0时，>s5

解析：BC

【分析】

设公差"不为零，由|。3|=|小|,解得4=—gd,然后逐项判断.

【详解】

设公差d不为零，

因为同=同，

所以|q+2d|=|q+7d],

即4+2d=—a、—7d,

9

解得qn-md,

(9~11

SH=116/,+556/=llxll+55J=y^^0,故A错误；

s“=na+"；T)d=y(«2-10/?),S.„=(10-n)a+(叫^隼一为=d_^>_脂〃)

tl0

,故BiF确：

(9\11

若S"=1lq+55(1=11xl--JI+55d=—d>0t解得d>0,

22

Stt=^(/7-10n)=^(A?-5)-25y>S5,故C正确；D错误；

故选：BC

14.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数歹Ij.下面关于斐波那契数列｛4｝说法正确的是（）

A.=55B.々2020是偶数“2018+°2022

D.^1+672+Uy+...+々2020=。2022

解析:AC

【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解.

【详解】

对于A,%=21,伺=21+13=34,《0=21+34=55,故A正确；

对于B,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误：

对于C，+“2022=%)18+°2021+。2020="2018+“2019+“2020+。2020=初2020，故C

对于D,。2022="2021+“2020，“2021="2020+。2019，“2020="2019+“2018»

=%+q,%=q,

各式相加得^2022+/021+4020=%021+^(^020+%019+%0184)

所以C’2022—02020十。2019十。2018+…十。]十％，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.

15.等差数列｛叫的前〃项和为S“，若q>0,公差d¥0,则（）

A.若S$>S9,则孔>0B.若$5二又，则邑是S”中最大的项

C.若SG>S],则S7>S&D.若§6>S?则§5>§6.

解析：BC

【分析】

根据等差数列的前〃项和性质判断.

【详解】

A错：S5>S9=>«6+^7+^+^9<0^>^+al4<0^>S15<0；B对：S”对称轴为

〃二7；

S=>8V058；

C对：S6>7<0,又“〉。，ndvOn。7VonS7>

D错：56>57->a7<0,但不能得出％是否为负，囚此不一定有S§>S6.

故选：BC.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列的前〃项和性质，（1）S”是关于〃的二次函数，可以利

用二次函数性质得最值；（2）S.=S"4,可由可的正负确定S”与S“T的大小；

（3）因此可由q+4”的正负确定S”的正负.

16.若不等式2+5;对于任意正整数〃恒成立，则实数。的可能取值为

n

()

A.-2B.-1C.1D.2

解析：ABC

【分析】

根据不等式(-l)〃av2+上?;对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有<2+

恒成立，当〃为偶数时有。<2-，恒成立，分别计算，即可得解.

n

【详解】

根据不等式(-1)%v2+呼二对于任意正整数n恒成立，

当〃为奇数时有：恒成立，

n

由2+工递减，K2<2+-<3,

nn

所以一即。之一2,

当〃为偶数时有：。<2-』恒成立，

n

131

由2--第增，且‘W2--<2,

n2n

3

所以。<一，

2

3

综上可得：一24。〈一，

2

故选：ABC.

【点睛】

本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.

|/]、

17.已知数列｛〃"｝中，a=1,%+]——=1+-若对于任意的1£[1,2卜

不等式％<-2/一(。+1卜+/一。+2恒成立，则实数。可能为()

n

A.-4B.-2C.0D.2

解析：AB

【分析】

由题意可得也一殳='-——,利用裂项相相消法求和求出％=2<2,只需

??4-1nnn+inn

一2/一(4+1"+/-〃+222对于任意的恒成立，转化为

［21-（4-1）］（，+4）«（）对于任意的/£。,2］恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.

【详解】

0_L=!llla二♦4=1J__L

""nn"〃+ln〃（〃+l）n〃+l'

则%_4丛=」__1,an-\an-21______L,…，

=£I_£L=1_1,

nn-\n-\nn-\n-2n-2n-\212

上述式子累加可得：=1-1,/A=2-l＜2,

nnnn

二.一2/2—（a+l»+a~—a+2N2对于任意的tE［1,2］恒成立，

整理得［2/-（r/-1）］（/+«）＜（）对于任意的［e［h2］恒成立，

对4当a=T时，不等式（2/+5）。-4）«0,解集一。,4,包含［1,2］,故人正确；

「3

对8,当〃二一2时，不等式（2，+3）（，-2）＜0,解集-于2,包含［1,2］,故8正确：

对C,当。=0时，不等式（2，+1"40,解集一;，（），不包含［L2］,故C错误；

对