14.2（第5课时）斜边直角边（分层作业）（教师版）

14.2（第5课时）斜边直角边（解析版）目录TOC\o"1-3"\h\u类型一、判定方法HL的识别 1类型二、用HL证明全等 5类型三、全等的性质和HL综合 8TOC\o"1-3"\h\u类型一、判定方法HL的识别1．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案．【详解】证明：∵，，∴，在和中，，∴．故选：C．2．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴是的平分线．故选：D．3．如图，在和中，，，，则能直接判断的理由是（

）A． B． C．SAS D．【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键．对于直角三角形和斜边和一组直角边对应相等，可以用判定两个三角形全等．【详解】解：，和均为直角三角形，其中和为斜边，和为直角边，在和中，，能直接判断的理由是．故选：A．4．如图，，若，则的理由是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：∵，∴，∵在和中，∴．故选：C．5．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，则可得到的依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题目中的条件，可以写出判断的依据，即可解答．解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．【详解】解：，，故选：D．6．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：由题意得，，，∵，∴，故选：．7．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，过M，N分别作OA，OB的垂线，两线相交于点P，画射线OP．可判定△OMP≌△ONP，依据是（请从“SSS、SAS、AAS、ASA、HL”中选择一个填入）．【答案】HL【分析】由垂直可知两个三角形为直角三角形，再由斜边与一直角边对应相等可得两三角形全等．【详解】由作法得OM＝ON，PM⊥OA，PN⊥OB∴∠PMO＝∠PNO＝90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）．故答案为：HL．【点睛】本题考查直角三角形的判定方法HL，解题关键是正确地寻找两三角形全等的条件．类型二、用HL证明全等8．如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答．【详解】解：∵，∴，当时，在和中，∴．故选：B9．如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求解即可．【详解】解：由题意可，，即两直角三角形斜边相等，若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等，即或，只有B选项符合，故选：B．10．如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等，进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴当时，；故选D．11．如图，，，，求证：．【答案】证明过程见解析【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键．利用“斜边、直角边”判定和全等，根据三角形全等的性质即可证得结论．【详解】证明：∵，∴，即．∵，∴和是直角三角形．在和中，，∴．∴．12．如图，已知在和中，点在边上，，，，求证：．【答案】证明见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．直接利用证明即可．【详解】证明：在和中，，∴．13．已知：如图，，求证：．【答案】证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明，得出，从而证出,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．14．如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．由，得到，即可证明．【详解】证明：，，，又，，．15．如图，．求证：．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，先根据，可得，再根据“斜边，直角边”证明即可．【详解】证明：，，即．，和都是直角三角形，在和中，，∴．类型三、全等的性质和HL综合16．如图，在中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作交AB于点E，若AB＝8cm，则△BDE的周长为（

）A．8cm B．16cm C．6cm D．10cm【答案】A【分析】本题易证，得到，，则的周长．【详解】解：，，又平分，．在和中，，．，又，．的周长．，的周长．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，对应边相等，解题的关键是正确证明．17．如图，在中，的平分线交于点于点，若的周长为12，则的周长为4，则为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得，，证得，可得，再根据三角形周长可得，即可求解．【详解】解：∵平分，，，∴，，又∵，∴，∴，∵的周长为4，的周长为12，∴，，∴，∴，故选：B．18．如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则．【答案】4【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由是边上的高，推导出，即可证明，则，于是得到问题的答案．【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点，∴于点，，在和中，，，．故答案为：4．19．如图，于点D，于，交于，,求证：【答案】见解析【分析】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的判定得出，即可证明【详解】证明：于，于，，∵，，，，，．20．如图，，．试问：与相等吗？为什么？【答案】，见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是关键；连接，如图，然后即可证明，进而得到结论.【详解】解：，理由如下：证明：连接，如图，则在直角三角形和直角三角形中，∴，∴.21．如图，，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，即可解决问题．解决本题的关键是得到．【详解】证明：，在和中，，，．22．如图，在和中，于点，于点，，．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，进而推出，即可．【详解】证明：，，，在和中，，；，在中，，，即；．1．如图，直线于点，点，分别在直线，上，，三角形向右平移得三角形，线段与直线交于点.若图中阴影部分的面积为，则.【答案】【分析】本题考查平移、全等三角形的判定和性质．证明，，则，根据即可得出结果．【详解】解：∵直线于点，∴∵三角形向右平移得三角形，，∴，，，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．2．如图，在中，平分，，于点，点在上，且．若，，则的长为．【答案】2【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键．由角平分线的性质得到，利用证明，即可证明，设，则，再利用证明，得到，即，解方程即可得到答案．【详解】∵平分，于点E，∴．在与中，，∴，∴．设，则，在与中，，∴，∴，即，解得，即．故答案为：2．3．按要求完成下列各小题：(1)在中，，，求的度数；(2)如图，，，．求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定是解答的关键．（1）根据三角形的内角和定理求解即可；（2）先证明，根据证明三角形全等即可．【详解】（1）解：∵，，∴，在中，∵，∴，解得；（2）解：∵，，∴，即，在和中，，∴．4．如图，在中，是的中点，于点，于点，且，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．直接根据证明，再由全等三角形对应角相等即可证明．【详解】证明：∵是的中点，∴，∵，，又∵，∴，∴．5．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．求证：(1)．(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．（1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可．（2）根据全等三角形的性质得，然后求出即可．【详解】（1）解：，和均为直角三角形．在和中，，．（2），∴，，，，，∴．6．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D在的异侧作，连接交于点G，．(1)求证：．(2)求证：G是线段的中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．（1）由得，证明，即可证明；（2）证明，得到即可．【详解】（1）∵，∴，∵，，∴，∴；（2）∵，，，∴，∴，即G是线段的中点．7．如图，于，于，若，．(1)求证：；(2)已知，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出；（2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案．【详解】（1）证明：，，，在和中，，，；（2）解：，，，，在和中，，，．1．已知：如图，，，．

(1)当，时，求的度数；(2)求证：．【答案】(1)(2)详见解析【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可．（1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可；（2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可．【详解】（1）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∵．（2）由（1）得，，在和中，，∴．2．已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且．(1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明）(2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积．【答案】(1)证明见解析(2)仍成立，见解析(3)(4)四边形的面积为32【分析】（1）根据DB=PC，，利用直角三角形的判定方法证明，即可得到；（2）为平分线上一点，又于，于，得到，再证明即可；（3）先由已知条件得到AD平分，再根据，得到AB=AC，再由BM=CN，得到即可；（4），且，即可得到AC的长，又由，即可求得四边形ANDM的面积．【详解】（1）如图1：由为平分线上一点，于，于，，在中，，，；（2）（2）仍成立点为平分线上一点，又于，于，，又（3）（3）；,又点为平分线上一点，即AP平分，，，，（4）（4）四边形的面积为32点为平分线上一点，又于，于，又（已证）又，且【点睛】本题考查四边形的综合题，主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题，运用全等三角形的性质与转化思想将四边形AN