第13章第02讲 三角形的边（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第02讲三角形的边课程标准学习目标三角形的三边关系掌握三角形的三边关系，能够熟练判断是否能组成三角形以及进行相关求值。知识点三角形的三边关系1．三角形的三边关系：由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和大于第三边。任意两边之差小于第三边。这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差小于第三边小于两边之和建立不等式。【即学即练1】2．以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（）A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行解答即可．【解答】解：A．3+5＝8，不能组成三角形，符合题意；B．3+4＞6，能组成三角形，不符合题意；C．8+7＞10，能组成三角形，不符合题意；D．1+2＞2，能组成三角形，不符合题意，故选：A．【即学即练2】3．一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边的长可能是（）A．1cm B．2cm C．7cm D．8cm【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．【解答】解：设第三边的长为xcm，由三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，所以它的第三边的长可能是7cm．故选：C．【即学即练3】4．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于15．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．故答案为：15．【即学即练4】5．已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简|a﹣b+c|﹣|a﹣c﹣b|的结果为2a﹣2c．【分析】根据三角形的三边关系判断出a﹣b+c及a﹣c﹣b的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长，∴a﹣b+c＞0，a﹣c﹣b＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣（﹣a+b+c）＝a+b﹣c+a﹣b﹣c＝2a﹣2c．故答案为：2a﹣2c．题型01求三角形第三边的取值范围【典例1】若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（）A．1＜x＜7 B．2＜x＜7 C．1＜x＜6 D．0＜x＜7【分析】据三角形三边关系，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，问题可求．【解答】解：由题意，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7．故选：A．【变式1】一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，则第三根木条的长度x厘米应在的范围是（）A．30＜x＜50 B．50＜x＜80 C．20＜x＜50 D．20＜x＜80【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到20＜x＜80．【解答】解：由三角形三边关系定理得：50﹣30＜x＜50+30，∴20＜x＜＜80．故选：D．【变式2】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（）A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12【分析】先由非负性求出a，b的值，再结合“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行列式计算，即可作答．【解答】解：∵a，b满足，∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，即a＝4，b＝8，∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，∴8﹣4＜c＜8+4，即4＜c＜12，故选：C．【变式3】设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，则第三边c的长度取值范围是（）A．3＜c＜5 B．2＜c＜4 C．4＜c＜6 D．5＜c＜6【分析】根据非负数的性质，易得a+b，a﹣b的值，再根据三角形三边关系即可求出第三边的长c的取值范围．【解答】解：∵|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，∴a+b＝6，b﹣a＝4，∴第三边的长c的取值范围是4＜c＜6．故选：C．【变式4】AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝5，AC＝7，则BD的取值范围是（）A．BD＞1 B．BD＜5 C．1＜BD＜5 D．1＜BD＜6【分析】由三角形的三边关系可求解．【解答】解：∵AD为中线，∴BD＝CD，在△ABC中，7﹣5＜BC＜5+7，即2＜2BD＜12，∴1＜BD＜6，故选：D．题型02根据三角形的三边关系求值【典例1】已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（）A．2 B．3 C．6 D．8【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．【解答】解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形，∴8﹣6＜m＜8+6，∴2＜m＜14，∴整数m的最小值是3．故选：B．【变式1】若三角形的两边长是2cm和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm【分析】首先设三角形的第三边长为xcm，再根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边可得5﹣2＜x＜5+2，然后根据第三边的数值为奇数，确定第三边长的值，再求出周长即可．【解答】解：设三角形的第三边长为xcm，由题意得：5﹣2＜x＜5+2，解得：3＜x＜7，∵第三边的数值为奇数，∴x＝5，∴这个三角形的周长为：2+5+5＝12（cm），故选：B．【变式2】已知三角形的三边长分别是3，4，x+1，则x的取值范围是0＜x＜6．【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜x+1＜4+3，即0＜x＜6．故答案为：0＜x＜6．【变式3】在△ABC中，AB＝5，BC＝2a﹣1，AC＝8，则a的取值范围是（）A．1＜a＜6 B．2＜a＜7 C．3＜a＜8 D．4＜a＜14【分析】根据三角形的三边关系定理，可得不等式8﹣5＜2a﹣1＜8+5，解此不等式即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝5，BC＝2a﹣1，AC＝8，根据三角形的三边关系定理可得，AC﹣AB＜BC＜AC+AB，∴8﹣5＜2a﹣1＜8+5，解得，2＜a＜7．故选：B．【变式4】五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且4＜m＜n＜14），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．11【分析】根据三角形三边关系求解即可．【解答】解：由题意，4＜m＜7，则m的值为5或6．若m＝5，5＜n＜9，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形；若m＝6，6＜n＜10，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形，所以n＝9．故选：C．题型04三角形的三边关系与等腰三角形【典例1】若等腰三角形两边的长分别为3cm和7cm，则第三边的长是7cm．【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质解答．【解答】解：当3cm为腰时，3+3＜7，不合题意，舍去．所以只有7cm为腰，故答案为：7．【变式1】已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.5【分析】因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论．【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为×（16﹣3）＝6.5，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5．故选：C．【变式2】小明有两根3cm、7cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根7cm长的木棒．【分析】题目给出长为3cm和7cm的木棒，做一个等腰三角形，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）当3cm为腰长时，因为+3＝6＜7，不符合三角形三边关系，所以舍去；（2）当7cm为腰长时，符合三角形三边关系，符合题意．∴再选用一要把的长度为7cm．故答案为7．【变式3】已知实数x，y满足|x﹣4|+＝0，则分别以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．8 B．20 C．16 D．16或20【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论．【解答】解：由题意可知：x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，当腰长为4，底边长为8时，∵4+4＝8，∴不能围成三角形，当腰长为8，底边长为4时，∵4+8＞8，∴能围成三角形，∴周长为：8+8+4＝20．故选：B．题型04三角形的三边关系与绝对值的化简【典例1】已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|+|a﹣7|的结果为（）A．2a﹣10 B．10﹣2a C．4 D．﹣4【分析】据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果．【解答】解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2，即3＜a＜7．∴|a﹣3|+|a﹣7|＝a﹣3+7﹣a＝4．故选：C．【变式1】已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝0．【分析】根据三角形三边关系得到a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0，∴|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝﹣（a﹣c﹣b）﹣（c﹣a+b）＝﹣a+c+b﹣c+a﹣b＝0．故答案为：0．【变式2】已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝a+3b﹣c．【分析】此题的关键是根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a﹣（c﹣a﹣b）＝a+3b﹣c．故答案为：a+3b﹣c．【变式3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|．【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c＞0，∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c＝4a﹣2c．1．在学习“认识三角形”一节时，小颖用四根长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【分析】根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断即可得．【解答】解：当三角形三边长分别为：2cm，3cm，5cm时，∵2+3＝5，不能构成三角形，∴所摆成的三角形的周长不可能是10cm，故选：B．2．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA＝8m，PB＝6m，那么A，B之间的距离不可能是（）A．8m B．10m C．12m D．14m【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到2＜AB＜14，即可得到答案．【解答】解：由三角形三边关系定理得：8﹣6＜AB＜8+6，∴2＜AB＜14，∴A、B之间的距离不可能是14m．故选：D．3．在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为奇数，△ABC的周长为（）A．17 B．19 C．17或21 D．17或19【分析】首先根据三角形的三边关系定理可得2﹣2＜AC＜2+2，再根据AC为奇数确定AC的值．【解答】解：由题意得：8﹣2＜AC＜8+2，即：6＜AC＜10，∵AC为奇数，∴AC＝7或9，∴△ABC的周长为17或19．故选：D．4．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．8【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围选择．【解答】解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，∴2＜x＜8．故选：D．5．已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（）A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4【分析】由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是3＜x＜5，即可得到答案．【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x，由三角形三边关系定理得：，不等式①恒成立，由不等式②得：x＞3，由不等式③得：x＜5，∴不等式组的解集是3＜x＜5，故选：C．6．若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（）A．13 B．18 C．21 D．26【分析】直接解一元一次方程，进而表示出y的值，再利用三角形三边关系得出k的值，即可得出答案．【解答】解：3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7，则3y﹣3﹣2y+2k＝7，解得：y＝10﹣2k，∵关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，∴10﹣2k≤0，解得：k≥5，∵△ABC的三边长分别为5，3，k，∴2＜k＜8，故符合题意的k的值为：5，6，7，则符合条件的所有整数k的和为：5+6+7＝18．故选：B．7．已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是13．【分析】根据三角形三边关系即可求解．【解答】解：设第三边长为a，∴3＜a＜9，∵第三边为整数，∴最小整数为4，∴周长最小为6+4+3＝13，故答案为：13．8．如果不等边三角形的三边长分别是2、7、x+1，那么整数x的取值是5或7．【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．【解答】解：依题意有7﹣2＜x+1＜7+2，即4＜x＜8，所以符合条件的整数x的取值为：5或7．故答案为：5或7．9．在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示．按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有20个三角形．【分析】根据图形的变化，通过归纳总结得到规律．【解答】解：1个三角形需要火柴棍3根，2个三角形需要火柴棍5根，3个三角形需要火柴棍7根，…，发现规律：n个三角形需要火柴棍2n+1根，∴2n+1＝41，解得：n＝20．故答案为：20．10．若a，b，c是三角形的三边，则|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝3a﹣3b+c．【分析】利用三角形的三边关系得到b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后去绝对值符号后化简即可．【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，∴b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴原式＝﹣b+c+a+a﹣b+c+a﹣b﹣c＝3a﹣3b+c．故答案为：3a﹣3b+c．11．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足|b﹣2|+（c﹣3）2＝0，且a为方程|a﹣5|＝1的解，则△ABC的周长为9．【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b＝2、c＝3的值，再解绝对值方程可得a＝6或a＝4，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长．【解答】解：∵|b﹣2|+（c﹣3）2＝0，∴b﹣2＝0且c﹣3＝0，∴b＝2、c＝3，∵a为方程|a﹣5|＝1的解，∴a＝6或a＝4，又2+3＜6，不能构成三角形，∴a＝4，则△ABC的周长为2+3+4＝9，故答案为：9．12．已知△ABC的周长为45cm，（1）若AB＝AC＝2BC，求BC的长；（2）若AB：BC：AC＝2：3：4，求△ABC三条边的长．【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于BC的方程并解答即可求得答案；（2）设AB＝2x，则BC＝3x，AC＝4x，根据三角形的周长公式列出方程并解答．【解答】解：（1）由题意，得AB+AC+BC＝2BC+2BC+BC＝45cm，解得BC＝9cm．即BC的长是9cm．（2）设AB＝2xcm，则BC＝3xcm，AC＝4xcm，由题意，得2x+3x+4x＝45，解得x＝5．故2x＝10，3x＝15，4x＝20．所以AB＝10cm，则BC＝15cm，AC＝20cm．13．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．【分析】（1）先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论；（2）根据三角形的三边关系得出a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝5，∴5﹣2＜c＜5+2，∴3＜c＜7，∵c为偶数，∴c＝4或6，当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11；当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13，综上所述，△ABC的周长为11或13；（2）∵△ABC的边长为a，b，c，∴a+c＞b，∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c＝a+b+c．14．一个三角形的两边b＝2，c＝7．（1）当各边均为整数时，有几个