不同函数增长的差异(解析版)

第=page77页，共=sectionpages77页4.4.3不同函数增长的差异【基础巩固】1．下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（）A．y=26lnx B．y=x26

C．【答案】D【解析】根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y=26·2x的函数值的增长速度最快2．某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数y与时间t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下函数模型最能拟合y与t之间关系的是（）

A．y=kt2 C． D．y=(【答案】B【解析】由图可知，散点几乎落在一条曲线周围，图像单调递增且增长的速度越来越缓慢，结合选项中的函数的图像，函数y=kt2，和y=(2)t的图像单调递增，但是增长速度越来越快，故排除ACD，而函数y3．函数fx的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）A． B． C． D． 【答案】A【解析】由函数fx的数据可知，函数，

偶函数满足此性质，可排除B，D；

当时，由函数fx的数据可知，函数fx增长越来越快，可排除C.

故选：4．函数的图象大致为（）A． B． C． D． 【答案】A【解析】x2+1+x>0恒成立，故的定义域为R，

，

故f(x)为奇函数，BD错误；

当趋向于时，的增长速度远大于的速度，

故趋向于0，C错误，A正确5．（多选）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（）

A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三

C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二【答案】ABC【解析】由题图可知，投资3天以内（含3天），采用方案一的回报最多，所以A正确；

若投资4天，则方案一的回报约为40×4=160（元），

方案二的回报约为10+20+30+40=100（元），

结合题图可知方案一，方案二都比方案三的回报多，所以B正确；

若投资6天，则方案一的回报约为40×6=240（元），

方案二的回报约为（元），

结合题图可知方案一比方案三的回报多，所以C正确；

若投资12天，根据题图中图象的变化可知，方案三的回报比方案一，方案二高很多，

所以采用方案三，所以D错误．

故选：ABC.6．下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___________．

①；②；③；④y=50x．【答案】①【解析】①为指数型函数，②为幂函数型函数，③为对数型函数，④为正比例函数，

其中指数型函数增长速率最快，故从足够长远的角度看，更为有前途的生意是①．

故答案为：①．7．若已知16<x<20，利用图象可判断出x12和log【答案】x【解析】作出和的图象，如图所示：

由图象可知，在0,4内，；

或时，；

在4,16内，；在16,20内，.

故答案为：.8．为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下：

（i）函数的部分图象如图所示；

（ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分；

（iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分．

现有以下三个函数模型供选择：．

(1)选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)若学校要求每天的得分不少于75分，则每天至少阅读多少分钟？【答案】见解析【解析】(1)根据图象是曲线，且增长速度越来越慢，

故选对数型函数模型：；

由题意可知在上，

所以，解得k=25,m=-25，所以，

所以函数的解析式为；

(2)令，可得，

即解得x⩾70，所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟．【能力拓展】9．A,B,C三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间xx>0的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（）A．当时，总走在最前面

B．当0<x<1时，总走在最前面

C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面

D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是【答案】C【解析】在同一坐标系内画出，，的图象，如图所示，

当时，yA=2-1=1，，，且时，指数型函数增长速度最快，

对于A，D，当时，总走在最前面，A，D正确；

对于B，当0<x<1时，由图象可知总走在最前面，B正确；

对于C，当时，，，此时走在最后面，故C错误．

故选：C.

10．已知，则a,b,c的大小关系是（）A．b<c<a C．a<b<c 【答案】D【解析】由题意：a=1\pie1，作对数函数y=lnx的图像如下图：

F,G,H是x轴上对应x=4,5,6的点，过F,G,H作x轴的垂线，与函数y=lnx的图像交于A,B,C点，则，

过A,B点作平行于x轴的直线分别与BG,CH交于D,E点，由于函数y=ln11．已知函数fx=ax，gx=logax，hx=xa（且），给出下列四个结论：

①当时，对∀x∈0,+∞，函数fx的图象恒在函数gx的图象上方；

②当时，函数fx与hx的图象有两个交点；

③∃【答案】③④【解析】对于①.取，则满足，

满足，

所以此时，不满足函数fx的图象恒在函数gx的图象上方，故①不正确.

对于②.当时，函数fx=2x,hx=x2，

,作出函数fx=2x,hx=x2的图像：

根据图像可得，在时，函数fx=2x,hx=x2有1个交点.

所以当时，函数fx与hx的图象有三个交点，故②不正确.

对于③.当0<a<1，x∈(1,+∞)时，的图像在轴下方；hx=xa的图像在轴上方.

此时显然满足条件.

当时，对于对数函数和幂函数hx=xa，

在区间0,+∞，随着的增大，增长得越来越慢，图象就像与轴平行一样．

尽管在的一定变化范围内，logax可能会大于，但由于的增长快于logax的增长，

因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有成立，故③【素养提升】12．平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格st（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：（为常数且k>0）．其销售量vt（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：已知第10天的日销售收入为5050元．

(1)给出如下四个函数模型：①vt=at+b②③④请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量vt与时间的关系，并求出该函数解析式；

(2)设该纪念品的销售收入为ft（单位：元），求f【答案】见解析【解析】(1)由表中数据可知，销售量随时间先增大后减小，并且呈对称趋势，

而①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型都是单调的，

故选择②分段函数模型．

将点15,550，20,600，25,550代入(2)，得a15-m+b=550a20