专题06 三角函数和恒等变换及解三角形（讲义全国适用）（原卷版及全解全析）

2/24专题06三角函数和恒等变换及解三角形目录学考要求速览必备知识梳理目录学考要求速览必备知识梳理高频考点精讲考点一：任意角和弧度制考点二：任意角的三角函数考点三：同角三角函数的基本关系考点四：三角函数的诱导公式考点五：两角和与差的公式考点六：倍角、半角、降幂公式考点七：三角函数的图象与性质考点八：三角函数的伸缩平移变换考点九：三角函数的应用考点十：正弦定理解三角形考点十一：余弦定理解三角形进阶分级训练1.理解任意角和弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化；2.掌握任意角三角函数的定义，能计算任意角的三角函数值；3.理解并掌握同角三角函数的基本关系，能用于三角函数式的化简与求值；4.掌握三角函数的诱导公式，能化简三角函数式；5.理解并掌握两角和与差的三角函数公式，能进行三角函数式的恒等变形；6.掌握二倍角、半角及降幂公式，能化简和求值；7.理解三角函数的图象与性质，能分析函数的周期性、奇偶性与单调性；8掌握三角函数的伸缩与平移变换，能分析图象变换规律；9.会解决三角函数的简单应用问题；10.掌握利用正弦定理解三角形，能求解三角形的边与角；11.掌握利用余弦定理解三角形，能判断三角形的形状与求解。知识点1特殊角的三角函数值知识点2同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：知识点3正弦的和差公式，知识点4余弦的和差公式，知识点5正切的和差公式，知识点6正弦的倍角公式 知识点7余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点8正切的倍角公式知识点9推导公式知识点10辅助角公式，，其中，知识点11三角函数的图象与性质函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴知识点12三角函数型函数的图象和性质正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函数性质的周期公式为：知识点13三角函数的伸缩平移变换伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下知识点14正弦定理基本公式：（其中为外接圆的半径）变形①②③④应用：边角互化①②③或（舍）知识点15三角形中三个内角的关系，，知识点16余弦定理边的余弦定理，，角的余弦定理，，应用1.求值，求角①在中，已知，求，②在中，已知，求，应用2.判断三角形的形状设为最大边，则为最大角钝角三角形直角三角形锐角三角形知识点17三角形的面积公式考点精讲讲练考点一：任意角和弧度制例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列说法正确的是（

）A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角例题2．（2025高二上·北京·学业考试）在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（

）A． B． C． D．例题3．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四1．下列各角中，与终边相同的角为（

）A． B． C． D．2．（2025高一上·全国·专题练习）化为弧度是（

）A． B． C． D．3．若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．考点二：任意角的三角函数例题1．（2025高二下·陕西·学业考试）已知角的终边过点，则的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2025高二下·北京·学业考试）若，则角可以为（

）A． B． C． D．例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）（

）A． B． C． D．02．（2025高二上·云南·学业考试）已知点是角终边上的点，则（

）A．4 B．3 C．2 D．13．已知，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值为（

）A．5 B． C． D．5．的值为（

）A． B． C． D．考点三：同角三角函数的基本关系例题1．（2025高三上·四川·学业考试）若，则（

）A．1 B． C．3 D．5例题2．（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（

）A． B． C． D．例题3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的值为（

）A． B．5 C．3 D．71．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若，则．2．已知，则的值为（

）A． B． C． D．53．若，则（

）A． B． C． D．考点四：三角函数的诱导公式例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B．0 C．1 D．2例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的值为（

）A． B． C． D．例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2025高三上·广东·学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．3．已知角的终边与单位圆的交点为，则（

）A． B．C． D．4．已知为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．考点五：两角和与差的公式例题1．（2025高三上·四川·学业考试）的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在中，，，则的值为（

）A． B． C． D．例题3．（2025高二上·北京·学业考试）若，则（

）A． B．C． D．1．（2025高二下·北京·学业考试）（

）A． B． C． D．12．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）（

）A． B． C． D．3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）（

）A． B． C． D．14．（2025高二下·湖南·学业考试）．5．（2025高二上·云南·学业考试）（

）A． B． C． D．考点六：倍角、半角、降幂公式例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）的值是（

）A．1 B． C． D．例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）已知锐角满足，则.例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知．(1)求和的值：(2)求的值．1．（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．下列各式中值不为1的是（

）A． B．C． D．4．已知，则的值是（

）A． B． C． D．5．设，则（

）A． B． C． D．6．若，则.7．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数.(1)求函数的最小值：(2)求使成立的的取值集合.考点七：三角函数的图象与性质例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）函数的最小正周期是（

）．A． B． C． D．例题2．（2025高二下·陕西西安·学业考试）（多选）已知函数，则（

）A．的最大值为2B．函数的图象关于点对称C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数在区间上单调递增例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数．(1)若，求函数的值域；(2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．1．（2025高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．2．（2025高二下·湖南·学业考试）函数是（

）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数3．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）（多选）函数的部分图象如图所示，则（

）A．，B．图象的对称中心为C．不等式的解集为D．当时，在区间上单调递增5．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值．6．（2025高二上·北京·学业考试）已知函数.(1)写出的一个周期；(2)求在区间上的最大值和最小值.7．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求的最大值，并写出取得最大值时的一个值.考点八：三角函数的伸缩平移变换例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）将函数的图象向右平移，所得图象的函数解析式为（

）.A． B． C． D．例题2．（2025高二下·浙江·学业考试）若想要得到函数的图象，只需要将的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（

）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）要得到函数的图象，只需将的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）为了得到函数的图象，则只需将的图象（

）A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位4．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知函数，函数可看作向左平移个单位得到，（

）A．0 B． C． D．5．（2025高三上·广东·学业考试）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度6．已知曲线C：y=cos2x，曲线E：，则下面结论正确的是（

）A．把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线EB．把C.上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线EC．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线ED．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线E考点九：三角函数的应用例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（

）A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）.若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过可以达到最高点（精确到1s）.1．已知某摩天轮的最高点到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，直径为，每30分钟转动一圈.若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为（

）A． B． C． D．2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（

）A．甲 B．戊 C．丙 D．丁3．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（

）

A． B．C． D．4．如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（

）A． B． C． D．考点十：正弦定理解三角形例题1．（2025高二上·北京·学业考试）在中，，，，则（

）A． B． C． D．例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（

）A． B． C． D．例题3．（2025高二上·辽宁·学业考试）在中，角的对边分别为，且满足．(1)求证：；(2)若，求的面积．1．（2025高二上·云南·学业考试）的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（

）A． B． C． D．12．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）的内角、、的对边分别是、、，若，，，则．3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角；(2)若的面积，，求边的大小.4．（2025高二下·湖南·学业考试）已知在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若的面积为，求．5．记的三个内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且的外接圆半径为，求的面积.考点十一：余弦定理解三角形例题1．（2025高三上·四川·学业考试）已知的内角的对边分别为，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6例题2．（2025高二上·云南·学业考试）在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则.例题3．（2025高三上·广东·学业考试）在中，已知，，．(1)求；(2)如为的中点，求的长．1．（2025高二下·北京·学业考试）在中，，则（

）A． B． C．4 D．62．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（

）A．60° B．90° C．150° D．120°3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）A． B． C．1 D．24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．15．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)若，求外接圆的半径；(2)若，，点G为的重心，求线段AG的长.训练一、单选题1．若，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．化简（

）A． B． C．-1 D．13．（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A． B． C． D．5．若函数的最小正周期为，则（

）A．8 B．2 C． D．6．为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度7．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．二、多选题8．若，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．设函数，则（

）A．B．的最小正周期是C．的值域是D．在区间上单调递增三、解答题10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．(1)求角B；(2)若，，求的面积S．11．已知函数.(1)求；(2)设函数，求的值域.12．已知函数，.(1)求函数在区间上的最大值和最小值；(2)设的内角的对边分别为且，，若，求的周长.一、单选题1．将函数向左平移个单位后得到奇函数，则（）A． B． C． D．2．已知，甲：，乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知锐角满足，，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题4．已知函数相邻对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．当时，的取值范围是D．若函数在上有3个零点，则的取值范围是5．在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（

）A．若，，则的外接圆的面积为B．若，，，则有两解C．若，则是锐角三角形D．若，则为锐角三角形三、解答题6．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求外接圆的半径.7．在中，角所对的边分别是.已知，的面积为.(1)求的最小值；(2)若，为线段上一点当时，求的值；8．在中，角的对边分别为，已知，.(1)求角的值；(2)求的最大值；(3)若边上的中线长为，求的面积.

专题06三角函数和恒等变换及解三角形目录学考要求速览目录学考要求速览必备知识梳理高频考点精讲考点一：任意角和弧度制考点二：任意角的三角函数考点三：同角三角函数的基本关系考点四：三角函数的诱导公式考点五：两角和与差的公式考点六：倍角、半角、降幂公式考点七：三角函数的图象与性质考点八：三角函数的伸缩平移变换考点九：三角函数的应用考点十：正弦定理解三角形考点十一：余弦定理解三角形进阶分级训练1.理解任意角和弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化；2.掌握任意角三角函数的定义，能计算任意角的三角函数值；3.理解并掌握同角三角函数的基本关系，能用于三角函数式的化简与求值；4.掌握三角函数的诱导公式，能化简三角函数式；5.理解并掌握两角和与差的三角函数公式，能进行三角函数式的恒等变形；6.掌握二倍角、半角及降幂公式，能化简和求值；7.理解三角函数的图象与性质，能分析函数的周期性、奇偶性与单调性；8掌握三角函数的伸缩与平移变换，能分析图象变换规律；9.会解决三角函数的简单应用问题；10.掌握利用正弦定理解三角形，能求解三角形的边与角；11.掌握利用余弦定理解三角形，能判断三角形的形状与求解。知识点1特殊角的三角函数值知识点2同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：知识点3正弦的和差公式，知识点4余弦的和差公式，知识点5正切的和差公式，知识点6正弦的倍角公式 知识点7余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点8正切的倍角公式知识点9推导公式知识点10辅助角公式，，其中，知识点11三角函数的图象与性质函函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴知识点12三角函数型函数的图象和性质正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函数性质的周期公式为：知识点13三角函数的伸缩平移变换伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下知识点14正弦定理基本公式：（其中为外接圆的半径）变形①②③④应用：边角互化①②③或（舍）知识点15三角形中三个内角的关系，，知识点16余弦定理边的余弦定理，，角的余弦定理，，应用1.求值，求角①在中，已知，求，②在中，已知，求，应用2.判断三角形的形状设为最大边，则为最大角钝角三角形直角三角形锐角三角形知识点17三角形的面积公式考点精讲讲练考点一：任意角和弧度制例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列说法正确的是（

）A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角【答案】B【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断.【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误；对于选项B：若是钝角，则，可得，所以是第一象限角，故B正确；对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误；对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误；故选：B.例题2．（2025高二上·北京·学业考试）在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解.【详解】由角终边经过点，可知，且为第四象限角，故选：B例题3．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】利用象限角的概念可得出结论.【详解】因为，故是第一象限角.故选：A.1．下列各角中，与终边相同的角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知与终边相同的角满足，代入检验即可.【详解】与终边相同的角为，即，对于选项A：，不合题意，故A错误；对于选项B：，不合题意，故B错误；对于选项C：，不合题意，故C错误；对于选项D：，符合题意，故D正确；故选：D.2．（2025高一上·全国·专题练习）化为弧度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是角度制与弧度制的互相转化.【详解】,故选：B.【点睛】3．若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据题意列出满足的条件进行判断.【详解】由题知，则，故角的终边所在的象限是第三象限．故选：C4．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则，所以则该扇形的面积为.故选：B.考点二：任意角的三角函数例题1．（2025高二下·陕西·学业考试）已知角的终边过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】因为角的终边经过点，所以.故选：B例题2．（2025高二下·北京·学业考试）若，则角可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值，即可确定答案.【详解】由于，故，则角可以为，故选：C例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据余弦函数的性质，分别判断充分性与必要性是否成立即可.【详解】若，则，充分性不成立；若，则，即必要性成立；所以，“”是“”的必要不充分条件，故选：B.1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算，即可求解.【详解】根据特殊角的三角函数值，可得.故选：B.2．（2025高二上·云南·学业考试）已知点是角终边上的点，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】利用三角函数的定义直接求解.【详解】依题意，.故选：B3．已知，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】直接由三角函数在各象限的符号取交集得答案.【详解】根据三角函数的定义，由，可得为第二或第四象限角；由，可得为第一、第四象限及轴非负半轴上的角，取交集可得，是第四象限角．故选：D.4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值为（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】借助三角函数定义计算即可得.【详解】由题意可得，则.故选：C.5．的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式求特殊角的正弦值.【详解】.故选：D考点三：同角三角函数的基本关系例题1．（2025高三上·四川·学业考试）若，则（

）A．1 B． C．3 D．5【答案】B【分析】根据同角三角函数的关系结合已知条件可求得答案.【详解】因为，所以.故选：B例题2．（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角的平方和为1，结合为第一象限角，可求的值.【详解】因为，，所以，又因为为第一象限角，所以.故选：D.例题3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的值为（

）A． B．5 C．3 D．7【答案】D【分析】根据切弦互化直接得出结果.【详解】因为，所以.故选：D1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若，则．【答案】/1.5.【分析】由得到再利用同角三角函数的商数关系求解即可.【详解】由得．故答案为:.2．已知，则的值为（

）A． B． C． D．5【答案】C【分析】利用同角三角函数的商的关系计算即可.【详解】由,所以.故选：C3．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化为“齐次式”，代入求解，即可得到答案.【详解】由，则.故选：A.考点四：三角函数的诱导公式例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式，可得答案.【详解】由题意可得，则.故选：B.例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式求解即可.【详解】由，得，所以.故选：B例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用诱导公式化简计算即可.【详解】.故选：C.1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式计算即可.【详解】因为，则.故选：B.2．（2025高三上·广东·学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式化简可得的值.【详解】由诱导公式可得.故选：A.3．已知角的终边与单位圆的交点为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据交点求出，结合选项验证即可.【详解】由题得．所以，A错误；，B错误；，C正确；，D错误．故选：C4．已知为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可.【详解】因为，则，即且，即，可得，且为第二象限角，则，可得，.故选：A.考点五：两角和与差的公式例题1．（2025高三上·四川·学业考试）的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两角和的正弦公式即可求解.【详解】，故选：D例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在中，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系式可求得，的值，再利用两角和的余弦公式进行计算即可.【详解】在中，，，，，，，.故选：A.例题3．（2025高二上·北京·学业考试）若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两角和的正弦公式化简后，根据正弦值求角即可.【详解】因为，所以，故选：B1．（2025高二下·北京·学业考试）（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】由.故选：B.2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦两角和的公式,化简求值.【详解】.故选:C.3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用两角差的正弦公式计算.【详解】.故选：C.4．（2025高二下·湖南·学业考试）．【答案】/0.5【分析】根据两角和的余弦公式即可求得．【详解】根据两角和的余弦公式可知．故答案为：．5．（2025高二上·云南·学业考试）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】逆用两角和的正弦公式可得答案.【详解】由两角和的正弦公式可得：.故选：A考点六：倍角、半角、降幂公式例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意利用余弦的倍角公式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：D.例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）已知锐角满足，则.【答案】【分析】先由同角三角函数的基本关系得出；再根据二倍角的正切公式得出；最后根据两角和的正切公式可求解.【详解】由锐角满足可得：，，则，所以.故答案为：例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知．(1)求和的值：(2)求的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用同角三角函数的关系求值即可；（2）根据正余弦二倍角公式可求，再利用余弦差角公式求值即可.【详解】（1），在第二象限，又，所以，即，.（2）由（1）知，，所以，，则所以的值为.1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式化简可得所求代数式的值.【详解】.故选：C.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二倍角的正切公式直接求解即可.【详解】.故选:D.3．下列各式中值不为1的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式及差角的正弦判断A；利用指数、对数运算判断BD；利用二倍角的余弦判断C.【详解】对于A，，A是；对于B，，B不是；对于C，，C不是；对于D，，D不是.故选：A4．已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角的正余弦的平方关系，以及二倍角的正弦公式可求解.【详解】.故选：A.5．设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式化简求值.【详解】∵，∴，∴，故选：A．6．若，则.【答案】【分析】根据题意利用降幂公式结合诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：.7．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数.(1)求函数的最小值：(2)求使成立的的取值集合.【答案】(1)最小值是；(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简原函数，结合正弦函数性质求解即可.（2）利用正弦函数性质求解不等式即可.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，故函数的最小值是.（2）令，则，即，得到，故，解得，故使成立的的取值集合为.考点七：三角函数的图象与性质例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）函数的最小正周期是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】使用三角函数的最小正周期公式直接计算即可.【详解】在三角函数中，，因此最小正周期.故选：C.例题2．（2025高二下·陕西西安·学业考试）（多选）已知函数，则（

）A．的最大值为2B．函数的图象关于点对称C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数在区间上单调递增【答案】ABD【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的图象与性质逐项判断.【详解】函数，对于A，的最大值为2，A正确；对于BC，，函数的图象关于点对称，直线不是其对称轴，B正确，C错误；对于D，当时，，而函数在上单调递增，因此函数在区间上单调递增，D正确.故选：ABD例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数．(1)若，求函数的值域；(2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可.（2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可.【详解】（1）化简函数，利用恒等式，，，得到：，当时，，在的值域为，所以若，函数的值域为.（2）令，解得，则或，即或，在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等，为使恰好有两个零点，需满足，因此，的取值范围为.1．（2025高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦型函数周期公式列式得解.【详解】函数的最小正周期为.故选：B2．（2025高二下·湖南·学业考试）函数是（

）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】A【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可.【详解】因为.所以，，所以是最小正周期为的奇函数.故选：A3．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）（多选）函数的部分图象如图所示，则（

）A．，B．图象的对称中心为C．不等式的解集为D．当时，在区间上单调递增【答案】BCD【分析】根据图象求出即可判断A；根据正切函数的性质求解判断BCD.【详解】由图可得，则，所以，则，解得，故A错误：此时，则，解得，所以，令，得，所以图象的对称中心为，故B正确；由，得，则，解得，故C正确；当时，，，则，当时，，且在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：BCD.5．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用最小正周期公式求得；（2）令，由，可得，可用整体法求得函数的最大值.【详解】（1），故的最小正周期为.（2）令，由得：，又因为函数在单调递增，所以.6．（2025高二上·北京·学业考试）已知函数.(1)写出的一个周期；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(答案不唯一)(2)，.【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式即可得解；（2）根据正弦函数的单调性可求最值.【详解】（1）因为，所以为函数的一个周期.（2）当时，，即，所以在区间上的最大值和最小值分别为，.7．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求的最大值，并写出取得最大值时的一个值.【答案】(1)(2)2，0（答案不唯一）【分析】（1）根据给定的函数，利用余弦函数的周期公式求解.（2）利用余弦函数的最值及取最值的条件求解.【详解】（1）函数，所以的最小正周期为.（2）函数的定义域为，则，，当，即时，取得最大值2，所以取得最大值2时的一个值是0.（答案不唯一）考点八：三角函数的伸缩平移变换例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）将函数的图象向右平移，所得图象的函数解析式为（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数平移变换原则和诱导公式即可求解.【详解】函数的图象向右平移所得图象的函数解析式为.故选：C.例题2．（2025高二下·浙江·学业考试）若想要得到函数的图象，只需要将的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】C【分析】由三角函数图象平移变换法则即可求解.【详解】由于，所以若想要得到函数的图象，只需要将的图象向左平移个单位.故选：C.例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（

）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变【答案】A【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变换求解判断.【详解】把余弦曲线上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得的图象，A正确，BCD错误.故选：A1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得结论.【详解】因为，要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度，故选：C.2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）要得到函数的图象，只需将的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】利用三角函数图象变换判断即可.【详解】函数的图象可由数的图象向右平移个单位长度而得，所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度而得.故选：C3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）为了得到函数的图象，则只需将的图象（

）A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位【答案】B【分析】根据平移变换左加右减原则即可求解.【详解】因为，所以只需将的图像向左平移个长度单位.故选：B.4．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知函数，函数可看作向左平移个单位得到，（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数图象的平移可得，进而求解.【详解】由题意知，图象向左平移个单位得，即，所以.故选：A5．（2025高三上·广东·学业考试）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】借助平移变换的性质计算即可得.【详解】由，故想要得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点向左平移个单位长度.故选：C.6．已知曲线C：y=cos2x，曲线E：，则下面结论正确的是（

）A．把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线EB．把C.上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线EC．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线ED．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线E【答案】B【分析】利用三角函数图象的伸缩变换和平移变换，结合诱导公式分析每一个选项即得解.【详解】A.把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后得到，再向左平移个单位长度得到曲线，故该选项错误；B.把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后得到，再向右平移个单位长度得到曲线，故该选项正确；C.把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后得到，再向右平移个单位长度得到曲线，故该选项错误；D.把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后得到，，再向左平移个单位长度得到曲线，故该选项错误.故选：B考点九：三角函数的应用例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（

）A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是【答案】B【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得.【详解】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是.故选：B例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）.若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过可以达到最高点（精确到1s）.【答案】【分析】根据实际含义分别求的值，列方程，解简单三角方程得结果.【详解】振幅即为半径，即；因为逆时针方向每分转1.5圈，所以；；，所以，将代入，可得，得，当时，.故答案为：1．已知某摩天轮的最高点到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，直径为，每30分钟转动一圈.若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用待定系数法来求三角函数解析式，从而问题即可求解.【详解】由题意可设距离地面的高度与时间所满足的三角函数关系式为：，因为摩天轮的直径为，可知，又因为摩天轮的最高点到地面的距离为，可知，由每30分钟转动一周，可知，由于从最低点开始计时，即当时，，所以有，则当时，有，故选：C.2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（

）A．甲 B．戊 C．丙 D．丁【答案】D【分析】最小值和最大值之间的横坐标相差周期，由此可以知道答案.【详解】因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期，而乙在最低点，所以经过周期后，乙点与丁点相同.故选：D.3．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可.【详解】依题意，设关于的函数解析式为，由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得，由转一周大约需要，得，解得，又当时，，即，而，解得，因此，或，A正确，BCD错误.故选：A4．如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数图象可确定周期，即可求解，根据最低点得，即可代入求解，从而根据解析式代入即可得解.【详解】由题图可得，则，当时，y取得最小值，为，得，∵函数的图象过点，∴，即，又，∴，∴.当时，.故选：A.考点十：正弦定理解三角形例题1．（2025高二上·北京·学业考试）在中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理，，所以，故选：D例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理、三角形内角和定理即可求解.【详解】由正弦定理得，，即，解得，因为，所以.故选：D.例题3．（2025高二上·辽宁·学业考试）在中，角的对边分别为，且满足．(1)求证：；(2)若，求的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理可得，进而可求解；（2）由正弦定理可求得，可求面积.【详解】（1）根据正弦定理，又，所以，而，∴或，∵，且，∴舍去，即成立．（2）∵，∴，又，∴根据正弦定理可得：，∴．1．（2025高二上·云南·学业考试）的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解.【详解】在中，由正弦定理得.故选：C2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）的内角、、的对边分别是、、，若，，，则．【答案】/【分析】利用正弦定理可求得的值.【详解】由正弦定理得，所以.故答案为：.3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角；(2)若的面积，，求边的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；（2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理得，∴，∴，在中，，得，，，，.（2），又，，所以，得，又∵，∴或，由余弦定理得，所以.4．（2025高二下·湖南·学业考试）已知在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若的面积为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，，因为、，则，可得，故.（2）因为，可得，由余弦定理可得，因此，.5．记的三个内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且的外接圆半径为，求的面积.【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合正弦的和角公式计算即可；（2）利用正弦定理求出，结合余弦定理求出，利用三角形面积公式计算即可.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，则，所以，即，化简得，又，，所以，又，所以.（2）设外接圆的半径为，则，所以，由余弦定理得，结合，，即，解得，则，所以.考点十一：余弦定理解三角形例题1．（2025高三上·四川·学业考试）已知的内角的对边分别为，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用余弦定理直接代入公式计算可得结果.【详解】由余弦定理可得，解得.故选：A例题2．（2025高二上·云南·学业考试）在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则.【答案】/0.25【分析】应用余弦定理计算求解.【详解】因为，则.故答案为：.例题3．（2025高三上·广东·学业考试）在中，已知，，．(1)求；(2)如为的中点，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角；（2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解.【详解】（1）因为，且，，根据正弦定理可得，解得；又，且，故.（2）由（1）可知，，由可得.因为D为AC的中点，所以，在中，由余弦定理可得，则，从而.1．（2025高二下·北京·学业考试）在中，，则（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即可.【详解】依题意，.故选：B2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（

）A．60° B．90° C．150° D．120°【答案】A【分析】根据余弦定理计算直接得出结果.【详解】由，得，即，所以，又，所以.故选：A3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】结合已知利用正余弦定理化简求解即可.【详解】因为，由正余弦定理得，即，化简得故选：A4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】由余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故选：A.5．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)若，求外接圆的半径；(2)若，，点G为的重心，求线段AG的长.【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简边角关系，得到角A的值，再用正弦定理得到外接圆的半径；（2）利用向量，用向量内积的夹角形式求解即可.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，所以，则由余弦定理得.又，所以.设外接圆的半径为.则.（2）因为点G为的重心，所以，所以.所以线段AG的长为.训练一、单选题1．若，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根据各象限三角函数符号特征判断即可【详解】由，得角的终边在y轴左侧，即第二或第三象限，或x轴负半轴，由，得角的终边在第一或第三象限，所以当时，为第三象限角.故选：C2．化简（

）A． B． C．-1 D．1【答案】D【分析】利用诱导公式对分子和分母进行化简，然后约去相同项，从而得到化简结果。【详解】原式故选：3．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案.【详解】.故选：A4．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，平方即可得出的值.【详解】由题意，，∴，解得：．故选：A.5．若函数的最小正周期为，则（

）A．8 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解.【详解】由题意可得的最小正周期，则，解得．故选：C.6．为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解.【详解】，只需要将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象，故选：D7．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据正弦定理的推论即可得到答案.【详解】根据正弦定理及等比例的性质有，则.故选：B.二、多选题8．若，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【分析】对分奇数、偶数两种情况讨论，结合象限角的定义可得结果.【详解】当为偶数时，设，则，此时与角终边相同，为第二象限角；当为奇数时，设，则，时，与角终边相同，为第四象限角．故选：BD．9．设函数，则（

）A．B．的最小正周期是C．的值域是D．在区间上单调递增【答案】ABC【分析】利用三角恒等变换化简函数，由三角函数的性质逐个判断各个选项即可.【详解】，，∴，故A正确；函数的最小正周期，故B正确；因，则函数的值域是，故C正确；当时，，此