第一章 直角三角形的边角关系（B卷·培优卷 单元重点综合测试）（教师版） -北师大版九下

第一章直角三角形的边角关系（B卷·培优卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，BD＝AD，AB＝；则AF等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先证明△ABD是等腰直角三角形，再求得AD和BD的长，再证明△BEC是直角三角形，利用∠ACB＝60°，得到∠EBC＝30°，求得FD的长，即可得到AF的长．【详解】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝90°∵BD＝AD∴△ABD是等腰直角三角形∴∠ABD=∠BAD=45°∴AD=AB=AB=∴BD＝AD=∵BE⊥AC于E，∴∠BEC=90°∵∠ACB＝60°∴∠EBC=30°∴FD=BD1∴AF=AD-FD=－1故选：C【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数是解题的基础，是常考题型．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，则sinB＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，求出AD长，再根据三角函数的意义计算即可．【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴BD=CD=5，AD=，sinB＝，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角函数，解题关键是作高构建直角三角形，利用三角函数的意义进行计算．3．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点构造所在的直角三角形，设为，得到的值，相除即可.【详解】作，交的延长线于点，由题意可得：，设，则，，是等腰直角三角形，，，，故选：.【点睛】考查解直角三角形的知识，构造出所求角所在的直角三角形是解决本题的难点.4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过矩形的顶点、，，且，点横坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点B作BF⊥x轴于F，过点D作DE⊥x轴于E，利用锐角三角函数求出BF，从而求出点B的坐标，根据矩形的性质可得∠BAD=90°，从而求出∠DAE，利用锐角三角函数设DE=，则AE=3a，从而求出点D的坐标，利用矩形的性质和平移方式求出点C的坐标，将点C和点D的坐标代入反比例函数解析式中，联立方程即可求出结论．【详解】解：过点B作BF⊥x轴于F，过点D作DE⊥x轴于E∵，点横坐标为∴AF=1－（-1）=2∵∴BF=AF·tan∠BAO=∴点B的坐标为（-1，）∵四边形ABCD为矩形∴∠BAD=90°∴∠DAE=180°－∠BAO－∠BAD=30°∴sin∠DAE=设DE=，则AE=3a∴OE=AO－AE=3a＋1∴点D的坐标为（3a＋1，）∵四边形ABCD为矩形∴BC可看作由AD平移得到∵点A到点B的平移方式为：先向左平移2个单位，再向上平移个单位∴AD到BC的平移方式为：先向左平移2个单位，再向上平移个单位∴点C的坐标为（3a－1，＋）将C、D的坐标代入反比例函数解析式中，得①－②并整理，得4a=2解得：a=将a=代入②，解得：k=故选B．【点睛】此题考查的是锐角三角函数、矩形的性质和求反比例函数解析式，掌握锐角三角函数、矩形的性质和利用待定系数法求反比例函数解析式是解题关键．5．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，作于点，作于点，可得四边形是矩形，得到，又由四边形是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：作于点，作于点，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵四边形是矩形，，，∴，，∵，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴点到的距离等于，故选：．6．如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可．【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE，∴∠A=∠EDB∴△ACB∽△DEB（AA）∵，∴又∵AB=3，BC=1∴，，∵Rt△BDE∴∵BC=1∴∴故选C．【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点．7．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边，使A、B落在x轴上，则的面积是

A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质．掌握等边三角形具有等腰三角形“三线合一”的性质是关键．依据是反比例函数在第一象限内的图象上一点，求得点P的坐标，进而即可求解．【详解】解：如图，过点P作于点H，

∵点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，∴，且，解得，．∴．∵是等边三角形，∴．∴．∴．∴×=．故选D．8．如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（）

A．（2，3） B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，根据点F的坐标可得，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，根据菱形的性质易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出，由平行线和菱形的性质易得，进而求出，以此即可求解．【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点，∴，∴，如图，连接，连接，交BD于点N′，连接，

∴当点N在点时，取得最小值为，∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴点E的坐标为．故选：C．第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．计算：．【答案】【分析】根据二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，零指数幂进行计算即可求解．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，零指数幂是解题的关键．10．如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接.若，，则.【答案】45/【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求得，根据直角三角形斜边中线的性质证得，证得，再利用同角的余角相等证得，利用锐角三角函数的定义即可求解．【详解】∵四边形是菱形，且，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”，移动几个图形就直观地证明了勾股定理．如图，，，则=__________________．

【答案】/【分析】根据题意可得：四边形ECGF和四边形EBHI都是正方形，从而可得，，再利用等式的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答．【详解】解：由题意得：四边形ECGF和四边形EBHI都是正方形，，，，，在中，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．12．如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转至的位置，点E是的中点，且点E在反比例函数的图象上，则k的值为．【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得E点坐标，代入解析式可以得解．【详解】解：如图，作轴，垂足为H．由题意，在中，，，∴．∴．∴．又绕点O顺时针旋转至的位置，∴．∴．又点E是的中点，∴．在中，∵，∴．∴．又E在上，∴．故答案为：．13．如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，……，Rt△OA2020A2021，若点A0（－1，0），则点A2021的横坐标为．【答案】【分析】由30°直角三角形性质解直角三角形求出、，根据图形变化得出规律，即可得出结果．【详解】解：∵∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，，∴，又，，∴，同理：，的长度为；，与重合，点的横坐标为，故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形和坐标变化规律；熟练掌握30°直角三角形性质，通过计算得出规律是解决问题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．【问题情境】如图，一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上，数学学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．【实践发现】在坡角点处测得旗杆顶点A的仰角，在山坡上点处测得顶点A的仰角，在坡角点处测得旗杆底部点的仰角，且，，，两观测点的距离米，点到地面的距离米．【问题解决】请计算旗杆的高度．【答案】旗杆的高度为24米【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．延长交延长线于点M，延长交于N，则得四边形是矩形，有米；由，设米，则米，从而可得；由得米，则可表示，在中，由建立方程即可求得x的值，最后求得旗杆的高度．【详解】解：如图，延长交延长线于点M，延长交于N，则四边形是矩形，米；在中，，设米，则米；在中，由勾股定理得米，米；在中，，米，米；在中，由即，，解得：，（米）．答：旗杆的高度为24米．15．如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且．(1)求证：(2)若，求的值(3)若为直角三角形时，求的值【答案】(1)证明见解析(2)(3)为直角三角形时，为8或．【分析】（1）先证明，，从而可得结论；（2）如图，过作于，可得，，，可得，再进一步可得答案；（3）根据可得，又因为，可得，因此，由于为直角三角形，分类讨论：当时，利用得到，即，易得，当，利用得到，然后在中，根据余弦的定义可计算出．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，，∴，∴；（2）解：如图，过作于，∵，∴，，∵，即，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，又∵，∴，∴，当时，∵，∴，∵，∴，即，∵，结合（2）可得，当时，∵，∴，∵，∴，∴，∴为直角三角形时，为8或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质．16．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)在图1中，将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段；在上画点N，使；(2)在图2中，D是上任意一点，先画AD的中点E，再在上找到一点F，使得【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得线段，借助网格中平行线可得比例线段，从而求解．（2）利用矩形性质，可得，四边形是平行四边形，，即可求解．本题考查作图——旋转变换，轴对称变换、平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．【详解】（1）解：如图1，根据旋转的性质可得线段，取格点P，Q，连结交于点O，此时，则即，连结交于点N，，则点N即为所求．

（2）解：如图2，连结，交AB于点O，四边形是矩形，，与交于点，四边形是平行四边形，，连结交AD于点E，点E即为所求．连结、交于点Q，连结

、交于点，连结交于点，连结交于点F，点F即为所求．

17．如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．(1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度．(2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．（1）过点D作于点E，解，得到，故；（2）过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设，分别解中，得，而，解中，得，由题意得，，故，解得．【详解】（1）解：过点D作于点E，∵在中，，∴，，由题意得，，∴点D距离地面的距离与相等，即为；（2）解：过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设，由题意得，四边形，为矩形，∴，∴在中，，∴，∴在中，，由题意得，,∴，∴，解得，答：的长约为．18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B．(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)点P是反比例函数的图象上一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点M是反比例函数的图象上一点，连接，若，直接写出满足条件的点M的坐标．【答案】(1)，反比例函数解析式；(2)点P的坐标为或；(3)点M的坐标为或．【分析】（1）将点代入，可得点的坐标，从而得出答案；（2）首先求出点的坐标，在轴上取点，使，则，分两种情况讨论，当点在点下方时，过点作，交双曲线于，得出直线的解析式为，与双曲线求交点即可得出点的坐标，当点在点上方时，同理可求；（3）过点作轴，作与，于，连接，利用，得，，则，可知轴，从而解决问题．【详解】（1）解：将点代入得，，解得，，，反比例函数解析式；（2）解：直线与轴交于，，在轴上取点，使，则，当点在点下方时，此时，过点作，交双曲线于，直线的解析式为，，解得，（舍，，当点在点上方时，此时，过点作，交双曲线于，直线的解析式为，，解得，（舍，，综上：点P的坐标为或；（3）解：过点作轴，作于，于，，，，，，，，，，，轴，，，，设直线交轴于，，同理，直线的解析式为，，解得或，点M的坐标为2,3或．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，利用平行线转化三角形的面积是求点坐标的关键．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）19．某人沿着坡度的山坡起点向上走了30米，则他离地面米高．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）【答案】15【分析】利用相应的坡度求得坡角，然后运用三角函数求垂直高度．【详解】解：坡度，坡角，他离地面的高度为（米），故答案为：15．【点睛】本题主要考查坡度坡角及三角函数的运用，正确运用相关知识是解题的关键．20．如图，在矩形中，，点E为对角线上一点，连接，过点E作交于点F．连接交于点O，若，则．【答案】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理、解直角三角形等知识点．先证可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由面积法可求的长，进而求得，再求得即可解答．【详解】解：∵四边形为矩形，∴．∵，∴，，∵，∴．在和中，∴．∴．又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．21．在梯形中，，，，，，将绕点A顺时针旋转后，与重合，点C与点E重合，若点F在边上，，连接，则的余切值为【答案】【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，作于，于，令交于，则，证明四边形为矩形，得出，由旋转的性质可得：，，证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图：作于，于，令交于，则，∵，∴，，，∵，，∴，∴四边形为矩形，∴，由旋转的性质可得：，，在和中，，∴，∴，∴的余切值为，故答案为：．22．如图，放置在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上，点A落在第一象限，若，且的面积为，若反比例函数的图象经过点A则．【答案】【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关计算以及勾股定理，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握解直角三角形的方法是解决问题的关键．过点A作轴于点C，设，则，，进而得点，则，在中，，根据的面积为，得，由此得，由此可得k的值．【详解】过点A作轴于点C，设，如下图所示：在中，，，．∴，由勾股定理得：，∴点A的坐标为，∵反比例函数的图象经过点∴，在中，，∴，∴，∵的面积为，即，∴，∴，故答案为：．23．如图，在中，，两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，，令，当时，；当时，．

【答案】【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、正方形的性质等知识，过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出即可得到答案，证明，得到设，则，证明，得到，在中，，即，解得（不合题意的解已经舍去），得，，，则，证明，进一步即可得到答案．【详解】解：过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，当时，即时，∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，∴，，∴，∴∴∴∴，∵，∴∴，∴，即；∵∴四边形是矩形，∴，∵∴四边形是矩形，∴∵，∴∴，∵∴∴∵∴∵∴设，则∵∴，∵∴∴，∴，解得，在中，，即，解得（不合题意的解已经舍去）∴，，，∴∵∴∴∵∴，故答案为：，二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点F在边上，且，线段的延长线交于点E．猜想证明：(1)“阳光”小组发现，请你证明这一结论；操作探究：(2)“希望”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答：①如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由；②若，，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出A，两点间的距离．【答案】(1)见解析；(2)①四边形为菱形，理由见解析；②或【分析】（1）先证明，证明，则，由即可得到；（2）①证明．得到．由(1)得，即可证明，则四边形是菱形；②由题意得到当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转，分两种情况分别画出图形，进行解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵点O为的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）①四边形为菱形，理由如下∶∵旋转得到，∴，．∵四边形为矩形；∴．∴，∴，；∴，，，，∴，∴．由(1)得，∴，∴四边形是菱形．②在中，∵，∴，∵点O为对角线的中点，∴，当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转，如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，则，∴，，∵，∴，，，如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，则，，，，∴，∴，故两点间的距离为或．【点睛】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和解直角三角形．25．如图，在平面直角坐标系中，直线和直线交于点，四边形是矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点是矩形的边上的一个动点，连接，点关于直线的对称点为点．(1)请直接写出点和点的坐标；(2)当时，求点的坐标；(3)若点到矩形的较长两条对边的距离之比为，请直接写出此时点的横坐标．【答案】(1)点、的坐标分别为、(2)(3)或或【分析】（1）联和，即可求解；（2）当时，，即可求解；（3）分点在直线下方、点在直线上方、点在下方三种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：联立，解得：，故点，故点、的坐标分别为、；（2）解：当时，，解得：，故点；（3）解：点关于直线的对称点为点，连接，过点作轴于点，①当点在直线下方时，点到矩形的较长两条对边的距离之比