中科大科学史讲义05牛顿革命

PAGEPAGE31第5讲牛顿革命牛顿（IsaacNewton，1642-1727）是历史上伟大的物理学家和数学家。他和莱布尼茨（GottfriedLeibniz，1646-1716）一起发明了微积分，在光的色散和光的本质方面取得了重要成就，更重要的是他建立了万有引力理论，把天体的运动和地球上的运动统一起来，整个近代力学和天体力学都是在他的基础上发展起来的。法国数学家和天文学家拉普拉斯（PierreLaplace，1749-1827）曾经这样说过：“不会产生两个牛顿，因为要发现的世界只有一个。”在牛顿的墓志铭上刻着著名诗人波普（AlexanderPope，1688-1744）优美的赞美诗句：自然和她的法则在黑暗中隐藏//上帝说，让牛顿去吧//于是一切都已照亮NatureandNature’sLawslayhidinnight//Godsaid:letNewtonbe//andallwas虽然牛顿取得了这么多重要成就，但是他却是一个很谦虚的人。他曾经说过：“我并不知道人家是怎样看我的，但是在我自己看来，我就像一个在海滩上玩耍的小孩儿，偶尔捡到一颗光滑而好看的鹅卵石，而真理的大海我并没有发现。”他在致胡克（RobertHooke，1635-1703）的一封信中也说过这样一句广泛流传的话：“如果我曾比别人看得更远一些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”牛顿生平历史的发展有时候充满了戏剧性。1642年1月8日，伟大的意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564-1642）逝世。就像中国藏族的转世灵童一样，不到一年，牛顿于1642年12月25日（这是儒略历的日子，对应于现在公历的1643年1月4日）出生于英国林肯郡（Lincolnshire）的伍尔索普(Woolsthope)镇。牛顿是个遗腹子，在出生前两个多月，他父亲就去世了。三岁的时候，他母亲改嫁，牛顿就和他祖母一起生活。在11岁时，牛顿的继父又去世了，于是他母亲就带着他的一个弟弟和两个妹妹回到沃斯索普。从此以后，他们就在一起生活。大约5岁的时候，牛顿被送到了邻近的乡村小学。在那里，牛顿平静地度过了9年的日子，家里人似乎对于他没有什么太大的指望。牛顿有个舅舅叫艾司考（Ayscough），他发现了牛顿的聪慧，在1656年送他到格兰珊公学（King’sSchoolinGrantham）学习。可是，到那里不久，母亲就把他招回来帮助料理继父留下的田产。经过艾司考与格兰珊公学校长斯托克斯（J.Stokes）极力恳求他母亲，牛顿才于1658年重返格兰珊公学。和当时英国的皇家中学一样，格兰珊公学也是以教授希腊文与拉丁文文法为主要科目的学校。在格兰珊公学的3年中，牛顿学习十分努力，目的是为了考取当时最好的大学——剑桥大学。1661年，牛顿如愿以偿地进入了剑桥大学的三一学院（TrinityCollege）。刚到剑桥大学的时候，牛顿依靠将食物与饮料递送外卖这种勤工俭学方式来换取一日三餐。后来，牛顿得到了奖学金。在著名几何学家巴罗（IsaacBarrow，1630-1677）教授的指导下，牛顿阅读了开普勒（Kepler，1570-1630）、笛卡尔（RenéDescartes，1596-1650）、伽利略等人的科学书籍。1665年，牛顿顺利地拿到了学士学位（BachelorofArt）。1665年初，伦敦发生了严重的鼠疫。剑桥大学出于慎重考虑而把学生遣返回家。这样，牛顿于1665年6月到1666年12月在家乡伍尔索普呆了一年半的时间。在科学史上，这段时期具有非同寻常的重要性，因为牛顿在此期间几乎完成了他平生所有的重要发现。下面这段话来自牛顿的个人回忆：1665年初，我发现了级数逼近法和把二项式的任意次幂展开成这一级数的规则。同年5月，我发现了格里高利（JamesGregory，1638-1675）和司罗斯（Rene-FrancoisdeSlues，1622-1685）的切线方法。11月，得到了直接流数法。次年1月，提出了光的颜色理论。5月，我开始学会反流数方法。同一年里，我开始想到把引力延伸到月球轨道（并且发现了计算使小球紧贴球形体内表面转动的力的方法）。而且，由开普勒定律，即行星运动周期正比于它们到其轨道中心距离的3/2次方，我推导出：使行星维系于其轨道上的力，必定反比于它们到其环绕中心距离的平方。因而，对比保持月球在其轨道上的力与地球表面上的重力，我发现它们相当相似。这段回忆其实隐藏着一点个人色彩。1666年牛顿确实已经发现了万有引力理论，但是因为他使用的地球子午线长度是1纬度60英里，这是一个仅仅凭借记忆的不准确的数值，而当时已经有了比这好得多的数据，所以他的计算值与实验值之间的误差相当大。牛顿甚至因此一度怀疑自己理论的正确性而把这方面的研究放到一边。另一个使得牛顿没有更早公布他的结果的原因是当时还存在一个理论困难，即把两个质量均匀的球形物体相互吸引的力归结为它们的质量中心的相互吸引（即把球体看作质点）。而牛顿在当时并未解决这个问题，这个证明被称为牛顿1687年发表的《自然哲学之数学原理》中最困难的一个，也是牛顿取得的一个核心成就。1668年，牛顿返回剑桥不久，获得了硕士学位（MasterofArt）。之后牛顿成为三一学院的一名成员。1669年，牛顿完成了关于流数法（微积分）的论文，受到其导师巴罗的极力肯定，但牛顿并没有把这一成果发表，这造成了日后他和莱布尼茨关于微积分发明权的长期争论。同年，巴罗决定放弃自己的卢卡斯（Lucas）讲座教授席位，专心从事神学研究，并且由于欣赏牛顿的才能，而推荐27岁的牛顿继任这一职位。这在科学史上被传为一段佳话，剑桥大学三一学院前至今还树立着这对师徒的雕像。1671年，牛顿把他制作的望远镜送交英国皇家学会（他在1664年大学时期就开始磨制望远镜片），引起了很大震动。他因此被推举为皇家学会的候补成员，并于次年1月成为正式成员。牛顿向皇家学会提交的第一篇论文是关于光的性质的，因为他主张光的粒子说，所以引起了主张光的波动说的胡克、惠更斯（ChristiaanHuygens，1629-1695）等大人物的反对。这也是牛顿与胡克长期争论的开始。1682年，牛顿知道了法国人皮卡德（J.Picard）所测量的地球子午线的长度（即1纬度为69英里），并由此突然意识到他早年建立的万有引力理论。于是牛顿把这一结果代入到他原来的验证中，从而第一次发现了其万有引力理论的正确性。1683-1684年，胡克、哈雷（EdmundHalley，1656-1742）、雷恩（ChristopherWren，1632-1723）等人先后发现了引力的平方反比定律，但是都无法证明。为此，雷恩愿意以一本价值40先令的书馈赠能证明这个定律的人。胡克声称他已经得到了证明，但是不愿公开其结果；1684年8月，哈雷特意到剑桥询问牛顿，牛顿称这个问题他早已解决，并答应给哈雷一份证明。同年11月，牛顿如约将他的证明送给哈雷。哈雷立即再次赶赴剑桥，劝说牛顿到皇家学会发表他的结果。1686年，万有引力理论的论文在皇家学会发表，而且皇家学会决定正式出版它。在一次皇家学会会议上，胡克声称他在几年前就已经证明了牛顿的上述结果，并且暗示牛顿是从他那里得到这种知识的，牛顿对此非常气愤。哈雷从中进行斡旋，试图息事宁人。他劝牛顿：“胡克可能希望你可以在序言中提及他”，但是这遭到了牛顿的拒绝。经过哈雷的再三劝说，牛顿最后才答应写下这样一段脚注：“牛顿、雷恩、胡克、哈雷都从开普勒的定律得到了引力定律”。可是接下来又出现了麻烦，即皇家学会没有经费出版牛顿的著作。最后，还是哈雷用自己的钱在1687年出版了《自然哲学之数学原理》。1688年，詹姆士二世（JamesII）皇帝命令剑桥大学给一个和尚授予硕士学位而遭到拒绝。詹姆士二世大怒，将剑桥大学副校长召到法庭，牛顿作为学校的代表之一，也出席了法庭辩论会。结果剑桥大学的强硬态度迫使皇帝收回成命。由于牛顿在法庭上的出色表现，他在次年被推举为国会议员，直到1690年。1688-1690年的政治生活扰乱了牛顿隐居生活的理想。当时英国大学教授年薪200多英镑，但是与他所接触的贵族生活相比，牛顿感到这些报酬还是太少。牛顿为此曾向他的朋友、英国财政大臣哈里发爵士（LordHalifax）抱怨。1695年3月19日，哈里发推荐牛顿为皇家造币局局长，得到了皇帝的批准，年薪500多英镑。1699年牛顿升任造币局总监，年薪1200-1500英镑。这使牛顿变得非常富有，要知道，牛顿在剑桥大学当学生的时候，一年的生活费也不过才20多英镑。1704年，牛顿的《光学》出版。因为在附录中牛顿详细论述了他的流数法，从而引起了和莱布尼兹关于微积分发明权的争论。其实微积分是牛顿和莱布尼茨独立发现的，所不同的是，牛顿的发现时间较早，牛顿是1666年，而莱布尼茨是1676年左右；莱布尼茨的发表时间较早，莱布尼茨是1684年，而牛顿最早是在1687年的《自然哲学之数学原理》公布了他的流数法。但是这种争论产生了一个很不好的影响，就是英国数学家出于民族的自尊心，再加上对牛顿的过分崇拜，而拒绝了欧洲大陆的微积分。这种情况一直到19世纪初期才得到改变，而在此之前的一百多年，英伦本岛没有产生一位可以称得上伟大的数学家。现在的历史学家认为，莱布尼茨的微积分之所以在欧洲大陆得到了普遍接受和巨大发展，一方面是因为微积分在解决实际问题中显示出的巨大威力，另一个很重要的方面则在于莱布尼茨创立了一整套微积分的数学符号，这些符号的绝大部分一直到现在人们还在使用。我们现在知道，好的数学符号对于数学思想的表达和数学本身的进步是非常重要的。万有引力定律的发现在《自然哲学之数学原理》中，牛顿提出了经典力学的三大定律，即惯性定律（如果没有外力的作用，物体将保持静止或匀速直线运动状态）、加速度定律（F=am）和反作用力定律（F=-F）。17世纪初期，伽利略和开普勒分别建立了关于地上物体运动和天体运动的比较完美的力学体系，但是这两种体系看起来毫无关系。开普勒曾经指出，遵循他的三大运动定律的行星一定受到了太阳的某种力的作用，但是他不能指出这是一种什么性质的力，以及这种力和地球上使物体运动发生改变的力是不是同一种力。于是，试图在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立某种联系就成为17世纪中期的科学家们所考虑的最重要的问题。牛顿完成了这种构筑桥梁的工作。牛顿指出它们是性质相同的力。更重要的是，响应伽利略的提议，牛顿凭借其功能强大的流数法和深入的综合几何知识对此给出了严格的数学论证，而不仅仅满足于物理解释。在这一点上，他也深受开普勒的影响，后者曾经说过：“对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。”从单纯的物理解释到寻求数学描述，这是一次革命性的变化，是对旧传统的一个大背叛。牛顿的目标正是寻求开普勒已经在一定程度上意识到的天体之间的作用力到底是什么，或者简单地说，寻求是什么力量使得行星沿着椭圆轨道围绕太阳运动（这只是牛顿工作的出发点，他的最终结果还推广到了双曲线和抛物线的情况）。伽利略曾经指出，力的效果是产生加速度。在1666年，牛顿利用伽利略的这一原理，开始考虑地球对于月亮的吸引力（向心力）所产生的向心加速度（向心力和向心加速度的概念是惠更斯提出来的，他还得到Fa的结论），是否可以维持月亮沿着圆周运动，由此推导出了圆周运动的平方反比定理。这是一个关键的定理，如前所述，雷恩、胡克和哈雷都曾经得到了这一结果，但是对他们而言，平方反比是一个定律；而对牛顿来说，平方反比则是一个定理，因为牛顿完成了它的证明。在《自然哲学之数学原理》第一编“物体的运动”之第三章“物体在偏心的圆锥曲线上的运动”中，牛顿详细论证了：当物体在圆锥曲线上运动，而太阳处在一个焦点上时，该物体的向心力（太阳的引力）与它到太阳距离的平方成反比。他还证明：在相同条件下，椭圆运动的周期正比于其长轴的3/2次方，即。这其实就是开普勒第三定律的内容，即。受地球吸引苹果落地这一事实的启发，牛顿推测由平方反比定律确定的向心力与苹果掉下来的重力是同一种力。牛顿首先考虑月球围绕地球运动的情况。由于保持月球围绕地球运动的引力，等于月球吸引地球的引力，因此，牛顿猜想这个引力应该与两个球体的质量有关，即有如下的形式：。其中G为万有引力常数，m、M分别为月、地质量，R为地心与月心的距离。牛顿对上述定理给出了严格的数学证明，如下图所示。如图，点A是围绕圆心O作匀速圆周运动的一个质点，速度为v。如果A没有受到向心力F的作用，它将保持匀速直线运动，例如，在⊿t的时间段内，从A运动到位置B。但是，由于这个质点事实上受到了一个向心力F的作用，因此，使得它可以保持圆周运动。向心力F将使得质点产生一个向心速度a，这个加速度与向心力成正比：F∝a，于是，问题的关键转化为确定向心加速度a到底是什么。假设在⊿t的时间段内，向心力使得质点速度的改变量为BC=⊿v，根据速度合成的平行四边形法则，质点A的速度（矢量）将改变为AC=v，也就是说，速度在大小仍然为v，但是，质点运动的方向将与矢量AC平行。又因为质点受到向心力F的作用，始终在圆周上运动，所以此时质点A运动到了位置D，满足：DE∥AC，DE=AC，且DE和圆O相切。于是，弧段AD成为点A在⊿t时间段内位置的改变量，对于非常小的时间段⊿t，可以假设弧段AD=线段AD。设为AD=⊿x，根据速度和向心加速度的定义，有：，。因为，⊿BCA∽⊿ADO，所以有，或。由上述定义可知，，所以，。现在向心加速度已经找到，于是推导向心力的性质就很容易了。因为，T是点A的运动周期，所以。注意到上文的结果，即=常数，易知，由于F∝a，所以有。这就是匀速圆周运动的平方反比定律。现在已经找到了向心力的关键性质，但是离最终确定向心力到底是什么还有一段路要走。牛顿考虑地球和月球相互吸引的情况。设地球和月球的质量分别为M和m，地球对月球的吸引力（向心力）为F1，月球对地球的吸引力为F2，由和F=am可得，，，而F1=F2=F，所以F1=F2=，即，G是万有引力常数。这就是万有引力定律。万有引力定律的胜利3.1两种力学的统一如前所述，牛顿万有引力定律的发现解决了17世纪科学界的核心问题，统一了伽利略的地上物体的机械运动学和开普勒的天体运动理论，揭示出天体运动和地球上物体的运动遵从相同的物理规律并且涉及其中的力的性质是相同的。这对于基督神学统治下的人们的思想解放无疑具有重大的意义。由于牛顿理论的成功，他的自然神学的观点在以后被很多科学家所采纳，直到今天还在发生着重要的影响。牛顿万有引力理论通过数学化地论证，成功地把开普勒通过归纳得出的行星运动三大定律变成了三个定理。此外，从技术上来讲，万有引力定律还对开普勒第三定律做出了修正，即从开普勒的变成了牛顿的。另外，只有天上和人间的力学现象得到统一，近代天体力学才能够建立起来。事实上，万有引力定律的发现正是这一学科的科学性得以确立的标志。万有引力理论建立起来后，牛顿在提出了一个至关重要的概念：质量（或物质的量），对物体的质量和重量作了区别。在伽利略之前，人们根据亚里士多德的理论，认为物质有“轻物质”与“重物质”之分。伽利略的比萨斜塔实验证明，在同一高度自由下落的两个物体，并不是重的一定先着地，因此，所谓物质的轻与重，并不代表物质的本性，物质的重量才是其固有属性，伽利略并没有提出科学的质量概念。牛顿首先指出了质量与重量的区别，使人类对于物质本质的认识，产生了一个质的飞跃。3.2对涡旋假说的否定仍然是凭借数学化的论证，牛顿否定了笛卡尔提出的涡旋宇宙假说。笛卡尔认为，宇宙间充满了一种看不见的叫做以太（Aether）的物质，它由进行连续旋转运动的非常小的微粒组成。那些稍大的微粒称为“灰尘”（这是笛卡尔的一种概念，和我们今天所说的灰尘不是同一个概念），它们最后沉积到涡旋的中心，太阳和其他星球就是这些“灰尘”聚集的结果。惠更斯和莱布尼茨等人支持笛卡尔的假说，而牛顿、雷恩、胡克和哈雷等人则支持万有引力理论。表面上看来，二者似乎并没有特别的冲突之处，但是其实它们之间存在着根本性的矛盾。根据涡旋理论，地球是两极突出的；而根据牛顿的万有引力理论，地球的赤道部分是突起的。另外，以太围绕太阳运动（当时人们认为太阳是宇宙的中心），将会产生向心力和离心力，这是两种不同的力；而在牛顿的理论体系中，这只是引力的两种不同表述方式。更重要的一点是，牛顿推导出了涡旋的运动理论，指出漩涡理论无法解释天文学的明显事实：行星运动在远日点较慢，在近日点较快。因为牛顿按照涡旋理论的假设得到了相反的结论。事实上，牛顿在《自然哲学之数学原理》第二编“物体（在阻滞介质中）的运动”第九章命题52中证明了：如果球体在均匀无限的流体中绕已知方向的轴匀速转动，流体只受这种球体的冲击而转动且其各部分在运动中保持均匀，则流体各部分的运动周期正比于它们到球心的距离。显然笛卡尔的涡旋就是这种性质的流体。接着牛顿的命题53证明：被涡漩带动的沿不变轨道环绕的物体的密度和涡漩的各部分相同，并且其运动和速度方向遵从和涡漩各部分相同的规律。当然，涡旋理论也无法解释和行星轨道平面以各种角度相交的彗星运动。值得指出的是，虽然如此，牛顿的理论在英国并没有立刻被普遍地接受。在《自然哲学之数学原理》出版四十余年以后，笛卡尔的涡旋理论体系仍然在英格兰坚守着据点；而在欧洲大陆，牛顿的理论取得绝对的优势地位则要等到18世纪50年代。3.3解释自然现象牛顿理论成功的第三个方面在于它在解释自然现象时表现出来的强大威力。牛顿科学地解释了海洋潮汐发生的原因，指出正是月球对地球的吸引造成了海洋潮汐的发生。牛顿还对岁差的成因给出了正确的说明，他用数学方法证明，由于地球本身的在赤道部分的隆起，因此来自月球的引力不均衡，结果导致地球的极轴绕着黄极进行缓慢的转动。此外，牛顿还比较圆满地解释了哈雷彗星的运动（牛顿在1682年曾亲自观测这颗彗星）。在牛顿的启发之下，哈雷本人根据牛顿的万有引力理论计算出了这颗彗星的运动轨道，指出它围绕太阳作椭圆运动，周期约为76年，并推测它将在1758——1759年返回地球。历史证明了他们的正确性，哈雷彗星确实在1759年3月重新访问了地球。3.4海王星的发现牛顿的万有引力理论已经成功地解决了两个物体相互吸引的问题。但是自他以来，关于三个物体相互吸引的问题（即三体问题）直到现在还没有解决，科学家们只能给出它的近似解。三体问题之所以重要，是因为它和行星的摄动理论紧密地联系在一起。天文学家们发现行星运行轨道的观测值和按照牛顿万有引力理论计算出来的理论值有时候会产生较大的偏差，这是因为万有引力无处不在。行星在运动过程中主要受到太阳引力的作用，但是当它在运动过程中与某个或某些星体距离足够近时，它们之间的引力作用就不能完全忽略了。所以，当天文学家们发现行星运动的观测值和理论值有显著的误差时，他们就会基于牛顿万有引力理论的正确性而推测在这颗行星外面还存在着人们尚未发现的行星。海王星的发现最好地说明了这一点。1781年，英国天文学家赫歇耳（WilliamHerschel，1738～1822）利用其高精度的望远镜发现了行星天王星，其轨道位于土星之外。因为和其它已知的行星相比，天王星的运动比较慢，所以，为了确定天王星的运动轨道，天文学家们对