江苏省无锡市惠山六校联考2026届数学高二上期末调研试题含解析

江苏省无锡市惠山六校联考2026届数学高二上期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正方体中，E，F分别为AB，CD的中点，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.2．直线的倾斜角为（）A. B.C. D.3．点分别为椭圆左右两个焦点，过的直线交椭圆与两点，则的周长为（）A.32 B.16C.8 D.44．已知命题“若，则”，命题“若，则”，则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.5．在下列命题中正确的是（）A.已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为B.若所在的直线是异面直线，则不共面C.若三个向量两两共面，则共面D.已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面6．过点与直线平行的直线的方程是（）A. B.C. D.7．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A. B.C. D.9．“”是“直线与互相垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．设是等差数列，是其公差，是其前n项的和．若，，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.与均为的最大值11．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.32512．下列说法错误的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2021C.“”是“函数在内有零点”的必要不充分条件D.已知，且，则的最小值为9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．两条平行直线与的距离是__________14．已知正方体的棱长为为的中点，为面内一点．若点到面的距离与到直线的距离相等，则三棱锥体积的最小值为__________15．双曲线的离心率为__________16．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1):①点P到抛物线焦点的距离为②过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为③过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值其中正确的是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点．过MN的平面与侧面PBC交于EF（1）求证：；（2）若平面平面ABC，，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值18．（12分）如图长方体中，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.19．（12分）已知动圆过点且动圆内切于定圆：记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线方程；（2）若、是曲线上两点，点满足求直线的方程.20．（12分）已知的内角的对边分别为a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的最大值.21．（12分）某企业搜集了某产品的投人成本x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）的六组数据，并将其绘制成如图所示的散点图.根据散点图可以看出，y与x之间是线性相关的.（1）试用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）若投入成本不高于10万元，则可以根据（1）中的回归方程估计产品销售收入；若投入成本高于10万元，投入成本x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间的关系式为.若该企业要追求更高的毛利率（毛利率），试问该企业对该产品的投入成本选择收人7万元更好，还是选择12万元更好？说明你的理由.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：.22．（10分）在数列中，，点在直线上.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，且，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】作出线面角构造三角形直接求解，建立空间直角坐标系用向量法求解.【详解】设正方体棱长为2，、F分别为AB、CD的中点，由正方体性质知平面，所以平面平面，在平面作，则平面，因为，所以即为所求角，所以.故选：B2、D【解析】由直线斜率概念可写出倾斜角的正切值，进而可求出倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角.故选D【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，由斜率的概念，即可求出结果.3、B【解析】由题意结合椭圆的定义可得，而的周长等于，从而可得答案【详解】解：由得，由题意得，所以的周长等于，故选：B4、D【解析】利用指数函数的单调性可判断命题的真假，利用特殊值法可判断命题的真假，结合复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假.【详解】对于命题，由于函数为上的增函数，当时，，命题为真命题；对于命题，若，取，，则，命题为假命题.所以，、、均为假命题，为真命题.故选：D.【点睛】本题考查简单命题和复合命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.5、D【解析】对于A，利用空间向量基本定理判断，对于B，利用向量的定义判断，对于C，举例判断，对于D，共面向量定理判断【详解】对于A，若三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用表示，所以A错误，对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，对于C，当三个向量两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D正确，故选：D6、A【解析】根据题意利用点斜式写出直线方程即可.【详解】解：过点的直线与直线平行，，即.故选：A.7、A【解析】先求出向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式即可求解.【详解】解：由题知，点在内，点在外，所以又向量为平面的法向量所以点到平面的距离为：故选：A.8、C【解析】抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系9、A【解析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为直线与互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.10、C【解析】由已知条件可以得出，，，即可得公差，再利用等差数列的性质以及前n项的和的性质可判断每个选项的正误，进而可得正确选项.【详解】由可得，由可得，故选项B正确；由可得，因为公差，故选项A正确，，所以，故选项C不正确；由于是等差数列，公差，，，，所以都是的最大值，故选项D正确；所以选项C不正确，故选：C11、A【解析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案.【详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故选出的第3个样本的编号为148.故选：A.12、C【解析】对于A：用存在量词否定全称命题，直接判断；对于B：根据充分不必要条件直接判断；对于C：判断出“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件，即可判断；对于D：利用基本不等式求最值.【详解】对于A：用存在量词否定全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故A正确；对于B：若“”是“或”的充分不必要条件，所以，即实数m的最大值为2021.故B正确；对于C：“函数在内有零点”，则，解得：或，所以“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件.故C错误；对于D：已知，且，所以（当且仅当，即时取等号）故D正确.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】根据两平行直线，可求得a值，根据两平行线间距离公式，即可得答案.【详解】因为两平行直线与，所以，解得，所以两平行线的距离.故答案为：514、##【解析】由题意可知，点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，如图在底面建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，直线的方程，将直线向抛物线平移，恰好与抛物线相切时，切点为点，此时的面积最小，则三棱锥体积的最小【详解】因为为面内一点，且点到面的距离与到直线的距离相等，所以点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，如图在底面，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则,设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，，直线的方程为，即，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由，得，由，得，所以与抛物线相切的直线为，此时切点为，且的面积最小，因为点到直线的距离为，所以的面积的最小值为，所以三棱锥体积的最小值为，故答案为：15、【解析】∵双曲线的方程为∴，∴∴故答案为16、②③④【解析】由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①；求出直线的方程与抛物线联立切线的坐标，进而求出三角形的面积，判断②；设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断③；设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断④【详解】解：由抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为：；可得抛物线的焦点的坐标为：，，准线方程为：，对于①，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故①错误；对于②，可得直线的斜率，所以直线的方程为：，代入抛物线的方程可得：，解得，所以，故②正确；对于③，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，故③正确；对于④，设直线的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，代入直线中可得，即，，直线的方程为：，代入抛物线的方程，可得，代入直线的方程可得，所以，，所以为定值，故④正确故答案为：②③④.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意先证明平面PBC，然后由线面平行的性质定理可证明.（2）由平面平面ABC，取BC中点O，则平面ABC，可得，由条件可得，以O坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为M，N分别为AB，AP的中点，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因为平面平面，所以【小问2详解】因为平面平面ABC，取BC中点O，连接PO，AO，因为是等边三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得：，，，，，所以，，，设平面PAC的法向量为，则,则，令，得，，所以，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为18、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）作辅助线，由中位线定理证明，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）连接，由勾股定理证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即可；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【详解】（1）连接交与点，连接四边形为正方形，点为的中点又点为的中点，平面，平面平面（2）连接由勾股定理可知，，则同理可证，平面平面（3）建立如下图所示的空间直角坐标系显然平面的法向量即为平面的法向量，不妨设为由（2）可知平面，即平面的法向量为又二面角是钝角二面角的余弦值为【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用中位线定理找到线线平行，再由定义证明线面平行；在第二问中，关键是利用勾股定理证明线线垂直，从而得出线面垂直；在第三问中，关键是建立坐标系，利用向量法求面面角的余弦值.19、（1）；（2）.【解析】（1）根据两圆内切，以及圆过定点列式求轨迹方程；（2）利用重心坐标公式可知，，再设直线的方程为与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解直线方程.【详解】（1）由已知可得，两式相加可得则点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，则因此曲线的方程是