2024-2025重庆八中高二10月月考重庆八中高二第一次月考数学试卷及答案

重庆八中2024—2025学年度（上）高二年级第一次月考1．复数z满足z(2-i)=3+4i（i为虚数单位则z的值为()2．已知α,β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是()A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要A．1B．-36．直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2交于A，B两点，则直线AC与直线BC的倾斜角之7．已知，若则实数m的值为()8．已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=5及直线l:(m+2)x+(m-1)y-m-8=0，下列说法正确的是()A．圆C被x轴截得的弦长为2B．直线l过定点(3,2)C．直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为x+y-1=0D．直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x-y-5=09．在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC，CD的中点，则()A．AB-AD=2EFD．在上的投影向量为10．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为4，D，E，F，G分别在棱A1B1,A1C1,AB，AC上不与端点重合）且A1D=A1E=BF=CG，H，P分别为BC，A1H中点，则()A．B1C1//平面PFGB．过D，F，G三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形C．M在△A1B1C1内部（含边界上，则M到棱B1C1距离的最小值为D．若M，N分别是平面A1ABB1和A1ACC1内的动点，则△MNP周长的最小值为311．已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-m)2+(y-2m)2=4，m≥0．点Q是圆C2上的动点，过点Q作圆C1的两条切线，切点分别为G，H，则下列说法正确的是()时，圆C1和圆C2没有公切线B．当圆C1和圆C2有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值C．圆C1与x轴交于M，N，若圆C2上存在点P，使得上，则D．圆C1和C2外离时，若存在点Q，使四边形QGC1H面积为2·,则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答題卡相应位置上．12．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则φ=．13．已知点P(3,0)在直线l上，且点P恰好是直线l夹在两条直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间线段的一个三等分点，则直线l的方程为写出一条即可）14．台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市O（如图）的东偏南方向350km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北60o方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以10km/h的速度不断增大，小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证1513）在VABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，边上一（1）若D为AB的中点，且（2）若CD平分上ACB，且VABC的面积为求CD的长．1615）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=6，E为棱AC的中点，P为BC边上靠近B的三等分（1）证明：CB1//平面EBA1；（2）求平面ABB1A1与平面BEC1夹角的余弦值．1715）圆心为C的圆经过A0,3，B2,1两点，且圆心C在直线l:3x-2y=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）过点M(1,2)作圆C的相互重直的两条弦DF，EG，求四边形DEFG的面积的最大值与最小值．1817）如图、三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC，O（1）证明：面ACP丄面BCP；（2）若点A到面BCP的距离为，证明：OC丄AB；（3）求OP与面PBC所成角的正弦值的取值范围．1917）在平面直角坐标系xOy中，已知圆是圆C上的动点，且的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）设点A是直线上的动点，AP，AQ是M的轨迹的两条切线，P，Q为切点，求四边形APCQ面积的最小值；（3）若垂直于y轴的直线l1过点C且与M的轨迹交于点D，E，点N为直线x=-3上的动点，直线ND，NE与M的轨迹的另一个交点分别为F，G(FG与DE不重合求证：直线FG过定点．重庆八中2024—2025学年度（上）高二年级第一次月考【分析】根据复数的除法运算求z，再结合共轭复数以及模长公式运算求解.可得所以故选：B.【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，若α//β,lCα,mCβ,则l//m或者l,m异面，故A错误，故选：D【分析】根据两直线平行求出参数的值，即可判断.则-a2=-3(a+6)，解得a=-3或a=6，当a=-3时直线-3x-3y+8=0与3x+3y-8=0重合，故舍去；当a=6时直线6x-12y+8=0与3x-6y+1=0平行，符合题意；所以“直线ax-(a+6)y+8=0与3x-ay+a-5=0平行”是“a=6”的充分必要条件.故选：C【分析】首先根据数量积的定义求出e1.e2，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为两个单位向量e1，e2的夹角为120，所以故选：A【分析】求出圆心坐标，代入直线方程即可求解.【详解】x2+y2+2mx+4my+6=0的圆心坐所以圆心在直线mx+y+3=0上，也即-m2-2m+3=0，当m=-3时，可得：x2+y2-6x-12y+6=0，符合圆的方程；故选：B【分析】联立方程，设AX1,y1，BX2,y2(0>x1>-2>x2)，设直线AC与直线BC的倾斜角分别为α,β,分别求出两直线的斜率，即tanα,tanβ,再求出tan(α+β)即可.【详解】圆C:(x+2)2+(y-1)2=2的圆心为C(-2,1)，2设直线AC与直线BC的倾斜角分别为α,β,显然α,β均不等于90，所以α+β=120，即直线AC与直线BC的倾斜角之和为120.故选：A【分析】根据余弦和差公式化简得到由正切二倍角公式和得到从而得到方程，求出实数m的值.则即m=cosθ-sin又因为故2tan2θ+3tanθ-2=0，解得tanθ=-2或且则tanθ>0，可得，故选：C.【分析】根据圆方程求得圆C与x轴的交点坐标可得弦长为4，即A错误，将直线l整理可得其恒过定点M(3,-2)，即B错误，又圆心C(2,-1)不在直线l上，可得直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，即C错误；当CM丄l时，直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x-y-5=0，即D正确.【详解】对于A，由圆C方程可得圆C与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0)，因此圆C被x轴截得的弦长为4，即A错误；对于B，将直线l:(m+2)x+(m-1)y-m-8=0整理可得(x+y-1)m+2x-y-8=0；所以无论m为何值时，直线l恒过定点M(3,-2)，即B错误；对于C，易知圆C:(x-2)2+(y+1)2=5是以C(2,-1)为圆心，半径，易知圆心C(2,-1)不在直线l上，又直线l被圆C截得的弦长的最大值为直径，所以可得直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，可得C错误；对于D，设直线l与圆C交于点A,B，圆心C到直线l的距离为d，则弦长由直线l恒过定点M(3,-2)可得圆心C到直线l的距离d有最大值为此时直线l被圆C截得的弦长存在最小值，满足CM丄AB，如下图所示；此时直线l的斜率为1，其方程为y+2=x-3，即，可得D正确；故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于判断出不管m取何值时直线l都不过圆心，即取不得弦长的最大值（圆的直径可得出结论.【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律分别计算即可.【详解】对于所以-=2，故A错误；对于故B正确；对于故C正确；对于D，因为E中点，由图可知在上的投影向量为，故D错误.故选：BC.【分析】由直三棱柱性质以及线面平行判定定理可判断A正确，易知当D,E,F,G分别为棱A1B1,A1C1,AB，AC的中点时截面为EDFG为矩形，即B错误；易知点M的轨迹是以A1为圆心，为半径的圆在△A1B1C1内的部分，可判断C正确，作出点P关于平面A1ABB1和A1ACC1的对称点，再利用余弦定理可得D正确.【详解】对于A，如下图所示：由BF=CG可得FG//BC，由三棱柱性质可得BC//B1C1，因此可得FG//B1C1，因为FG平面PFG，B1C1丈平面PFG，所以B1C1//平面PFG，即可知A正确；对于B，由A1D=A1E可知DE//B1C1，结合A选项可知DE//FG，当D,E,F,G分别为棱A1B1,A1C1,AB，AC的中点时，满足DE=FG，如下图所示：结合直棱柱性质可知，此时过D，F，G三点的平面截三棱柱所得截面为EDFG，为矩形；即B错误；对于C，易知AA1TA1M，又，所以在直角三角形AA1M中可得；因此可得M的轨迹是以A1为圆心，为半径的圆在△A1B1C1内的部分，即圆弧M1M2；如下图所示：又△A1B1C1是边长为4的正三角形，取H1为B1C1的中点，所以A1到B1C1的距离为，因此可得当M为圆弧M1M2的中点时，M到棱B1C1距离的最小值为即C正确；对于D，取P点关于平面A1ABB1和A1ACC1的对称点分别为P1,P2，连接P1P2与平面A1ABB1和A1ACC1的交点分别为M，N时，△MNP周长的最小，如下图所示：PP由余弦定理可得故选：ACD【分析】对于A：根据题分析可知圆C1和圆C2内含，即可得结果；对于B：根据题意可知两圆外切，进列式求得m得值即可分析判断；对于C：根据题意分析可知圆C1与圆C2相交，列式求解即可；对于D：根据两圆外离解得根据面积关系可得QC1=3，即可得运算求解即可可得对于选项则可知圆C1和圆C2内含，所以圆C1和圆C2没有公切线，故A正确；对于选项B：若圆C1和圆C2有三条公切线，则两圆外切， 此时两圆是确定的，则公切线方程也是确定的，所以公切线的倾斜角的和为定值，故B正确；对于选项C：若上，则点P的轨迹方程为圆C1:x2+y2=1，由此可知：圆C2存在点P在圆C1内，且r1<r2，解得故C错误；因为四边形QGC1H面积SQGC1H=2S△解得QC1=3，可得解得故D正确；故选：ABD.【分析】首先求出平移后的解析式，再根据诱导公式计算可得.【详解】将函数的图象向右平移φ个单位长度得到又为奇函数，所以解得又所以或.故答案为：或.13．21x-6y-63=0或10x+y-30=0（其中一条即可）【分析】设直线l夹在直线l1、l2之间的部分是AB，且AB被P(3,0)三等分，设AX1,y1，BX2,y2，依题意可得或，再结合A、B分别在直线l1、l2上，求出A、B坐标，即可求出直线l的方程.【详解】设直线l夹在直线l1、l2之间的部分是AB，且AB被P(3,0)三等分，设AX1,y1，BX2,y2，则或，所以或又A、B分别在直线l1、l2上，所以2x1-y1-2=0，x2+y2+3=0，所以或则直线l的方程为或【分析】设在t小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点Q，利用两家和差公式求得cos上在结合余弦定理运算求解即可.【详解】设在t小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点Q，故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭．故答案为：8.【分析】（1）依题意可得将两边平方，由数量积的运算律求出b，再由余弦定理计算可得；因为D为AB的中点，所以两边平方得由余弦定理所以.又SACD+SBCD=SABC，161）证明见解析【分析】（1）利用三角形的中位线得线线平行，即可根据线面平行的判定求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量垂直可得三棱柱的高，即可利用法向量的夹角求解.【详解】（1）如图，连接BA1∩B1A=O，连接OE，则O为AB1的中点，又E为AC的中点，:CB1//OE，又CB1/平面EBA1，OE平面EBA1，:CB1//平面EBA1；（2）取AB中点，设三棱柱的高为a，以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由于PB1设平面BEC1的法向量为=(x,y,z)，故平面ABB1A1与平面BEC1夹角的余弦值为（2）四边形DEFG的面积的最大值为6，最小值为【分析】（1）设C(2k,3k)，根据圆的定义解得k=1，即可得圆心和半径，即可方程；（2）设弦DF，EG的中点分别为弦P,Q，CP=a,CQ=b，可得利用垂径定理求DF,EG，进而求面积并结合二次函数求最值.【详解】（1）因为圆心C在直线l:3x—2y=0，设C(2k,3k)，即圆心C(2,3)，半径r=CA=2，因为可知点M在圆C内，设弦DF，EG的中点分别为弦P,Q，22由题意可知：CPMQ为矩形，则222CM，2则四边形DEFG的面积且即a2当a2=1，即a=1时，SDEFG取到最大值6；当a2=0或a2=2，即a=0或时，SDEFG取到最小值；所以四边形DEFG的面积的最大值为6，最小值为.181）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由条件先证明BC丄平面PAC，即可求证；（2）设AC=x,BC=y，通过直角三角形PAC的面积构造等式，说明x=y，即可求证；（3）确定O到平面PBC的距离，再结合线面角正弦值的计算公式即可求解.【详解】（1）因为PA丄平面ABC，BC在平面ABC内，所以BC丄PA，又AC丄BC，AC,PA为平面PAC内两条相交之间，所以BC丄平面PAC，又BC在平面BCP内，所以面ACP丄面BCP.所以PB2=PA2+AB2=20，所以PC2=PB2-BC2=20-y2，所以，所以在直角三角形PAC中，由面积可得结合x2+y2=4，解得：x2=y2=2，也即AC=BC，此时PC2=PB2-BC2=20-y2,所以过A向P