《同位角、内错角、同旁内角》教案

《同位角、内错角、同旁内角》教案教学目标及教学重点、难点本节内容是在研究了两条相交直线构成的角（对顶角，邻补角）的基础上进一步探究平面上三条直线相交形成的不共顶点的角的位置关系，主要学习同位角、内错角、同旁内角的概念．通过本节课的学习提高学生的识图能力，体会分类的思想．课堂中将通过两道例题帮助学生完成学习任务．教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入复习邻补角和对顶角的概念．邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另外一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．通过复习两条直线相交构成邻补角和对顶角，为本节课的研究做好铺垫．新课问题1：如果再画一条与它们相交的直线，你能得到怎样的图形？情况1：三条直线交于同一点．虽然图形变复杂，且角的数量增多，但是两个角的位置关系并没有产生新的情况．情况2：一条直线与两条直线分别相交．发现构成的角不是任意两个角都有公共顶点．如图：直线AB，CD与EF相交，（也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角．分别用∠1~∠8表示．问题2：∠1和∠5相对于这三条直线有怎样的位置关系？通过观察可以发现，两个角分别在直线AB，CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．追问：图中还有其它同位角吗？两条直线被第三条直线所截一共构成四对同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8．问题3：如果两个角都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧，你能否在图中找到具有这样位置关系的角？能找到几对？两个角都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．问题4：如果两个角都在直线AB，CD之间，并且在直线EF的同一旁，你能否在图中找到具有这样位置关系的角？能找到几对？两个角都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．问题5：邻补角和对顶角是借助边的位置关系来定义，我们能否用这样的思路来审视同位角、内错角和同旁内角？在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角，可以优先识别截线．通过画图活动，发现与邻补角、对顶角不同的位置关系，明确研究对象．借助具体的两个角，帮助学生理解同位角、内错角、同旁内角的概念．从两个角的边与三条直线的关系这个角度再次认识同位角、内错角和同旁内角．例题例1如图，直线DE，BC被直线AB所截．（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？答：（1）∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角．（2）如果∠1＝∠4，由对顶角相等，得∠2＝∠4，那么∠1＝∠2．因为∠4和∠3互补，即∠4＋∠3＝180°，又因为∠1＝∠4，所以∠1＋∠3＝180°， 即∠1和∠3互补．练习1如果已知条件改为∠1和∠3互补，那么∠1和∠2还相等吗？∠1和∠4还相等吗？为什么？答：因为∠1和∠3互补，∠2和∠3互补，由同角的补角相等，得∠1＝∠2．又由对顶角相等，得∠2＝∠4．所以∠1＝∠4．例2如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？答：∠1和∠2是直线AB，CD被直线DB所截形成的，它们是内错角；∠3和∠4是直线DA，BC被直线DB所截形成的，它们是内错角．练习2如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？答：∠1和∠2是直线CD，BA被直线BC所截形成的，它们是同旁内角；∠3和∠4是直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同位角．练习3如图，∠1与哪个角是内错角？与哪个角是同旁内角？如图，∠C与哪个角是同旁内角？答：∠1和∠2是内错角；∠1与∠4，∠C是同旁内角；∠C与∠1，∠CDA，∠4，∠CBA是同旁内角．巩固同位角、内错角、同旁内角的概念．要求说理，为后续学习平行线做好铺垫．巩固识别同位角、内错角、同旁内角的方法．体会分类思想．总结1．本节课研究的主要内容是没有公共顶点的两个角相对于三条直线的位置关系，即同位角、内错角、同旁内角；2．在解决复杂题目时，先寻找截线，再确定两条被截线，有利于准确识别图形．梳理本节课所学内容．作业作业1（1）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．①②（2）如图，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C进行同样的讨论．作业2请你总结一下判断两个角是否为同位角、内错角或同旁内角的步骤．巩固同位角、内错角、同旁内角的概念．体会分类思想．综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的是()2.如图所示,经过平移,三角形ABC的顶点A,B,C分别移到点D,E,F,得到三角形DEF,则下列说法中错误的是()A.∠ACB=∠DFEB.AD∥BEC.AB=DED.平移距离为线段BD的长3.下列各数中,可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()A.32 B.16 C.8 D.44.如图所示,在四边形ABCD中,若AD∥BC,连接AC,则下列说法中正确的是()A.∠1=∠4 B.∠2=∠3C.∠1+∠2=∠3+∠4 D.∠B=∠D5.(内蒙古中考)如图所示,直线l1和l2被直线l3和l4所截,∠1=∠2=130°,∠3=75°,则∠4的度数为()A.75° B.105° C.115° D.130°6.如图所示,下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是()A.∠1=∠3 B.∠2=∠3C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°7.如图所示,某人骑自行车从A处向正东方向前进,行至B处后,行驶方向改变,行驶到C处后,再次改变行驶方向,向正东方向(射线CD)继续行驶,则∠BCD的度数是()A.15° B.30° C.135° D.165°8.如图所示,l1∥l2,点O在直线l2上,将三角尺的直角顶点放在点O处,三角尺的两条直角边与l1相交于A,B两点.若∠1=46°,则∠2的度数为()A.34° B.44° C.46° D.54°9.下列条件:①∠C=∠BFD,②∠AEC=∠C,③∠BEC+∠C=180°,其中能判断AB∥CD的是()A.①②③ B.①③C.②③ D.①10.(山东潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其底部支架AB与吊线FG平行,灯杆CD与底部支架AB所成的锐角α=15°.顶部支架EF与灯杆CD所成的锐角β=45°,则EF与FG所成的锐角的度数为()A.60° B.55° C.50° D.45°二、填空题11.如图所示,立定跳远比赛时,小明从点A处起跳,落在沙坑内的点B处.跳远成绩是2.3m,则起跳点A到落脚点B的距离2.3m(填“大于”“小于”或“等于”).

12.将命题“两个面积相等的三角形的周长相等”改写成“如果……那么……”的形式:.

13.斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的,在保证安全的前提下,按照如图所示的方式分别测出∠1=∠2=83°,这种验证方法依据的基本事实是.

14.光线从水中射向空气时,发生折射.由于折射率相同,在水中平行的光线,折射后的光线在空气中也是平行的.如图所示,从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射,水面与玻璃杯的底面平行.若∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4=.

15.如图所示,AB∥CD,EF⊥DB,垂足为点E,∠1=50°,则∠2的度数是.

16.(山东东营中考)如图所示,将三角形DEF沿FE方向平移3cm至三角形ABC,若三角形DEF的周长为24cm,则四边形ABFD的周长为cm.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并判断它们是正确的还是错误的;若是错误的,请举出反例.(1)绝对值相等的两个数一定相等;(2)等角的余角相等.18.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠BOE∶∠BOD=5∶2,若∠AOC=32°,求∠AOE的度数.19.读下列语句,并画出图形.点P是直线AB外一点,直线CD经过点P,且与直线AB平行.直线EF经过点P且与直线AB垂直.20.如图所示,直线a,b被直线c所截.(1)请利用∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6这6个角(不能出现其他角),写出能够证明a∥b的条件;(最少写3个)(2)若∠1=∠5,求证a∥b.21.如图所示,AB∥CD,AE,CD相交于点F,点G在AB上,GH⊥BF,垂足为点H,∠1=∠2,试说明AE⊥BF.请将下面的解答过程补充完整(在“”上填数字或式子,在“()”里填理由).

解:∵AB∥CD(已知),∴∠1=().

∵∠1=∠2(已知),∴=(等量代换).

∴∥().

∵GH⊥BF,即∠GHB=90°,∴∠AFB=∠GHB=90°().

∴.

22.台球运动蕴含数学知识:如图①所示,台球桌面是一个长方形,两组对边分别平行.过台球与桌边碰撞的点作桌壁的垂线,该垂线平分台球碰撞前后运动所形成的夹角.(1)如图②所示,已知长方形桌面PQRS中,PQ∥RS,一个球从桌面上的点A处滚向桌边PQ,碰到PQ上的点B后反弹,再碰到桌边RS上的点C后,再次反弹进入底袋点Q.在球碰到桌边反弹的过程中,AB,BC,CD都是直线,且∠1=∠2,∠3=∠4,BN⊥PQ,CM⊥RS.求证:AB∥CD.(2)如图③所示,若球在桌面的点A处,经过两次反弹后碰到桌边PQ上的点D处.已知长方形桌面PQRS中,PQ∥RS,∠R=90°.通过观察猜想AB与CD的位置关系,并说明理由.答案：1.D2.D3.D解析:A选项中,32是偶数,且是8的4倍;B选项中,16是偶数,且是8的2倍;C选项中,8是偶数,且是8的1倍;D选项中,4是偶数,是8的12,不是8的倍数.故选D4.A解析:∵AD∥BC,∴∠1=∠4.故A选项正确,符合题意;无法得到B,C,D三个选项中的结论,故B,C,D选项错误,不符合题意.故选A.5.B解析:∵∠1=∠2=130°,∴l1∥l2.∴∠5+∠4=180°.∵∠5=∠3=75°,∴∠4=180°-75°=105°.故选B.6.B解析:A选项中,∵∠1=∠3,∴l1∥l2,故A选项不符合题意;B选项中,当∠2=∠3时,无法判断l1∥l2,故B选项符合题意;C选项中,∵∠4=∠5,∴l1∥l2,故C选项不符合题意;D选项中,∵∠2+∠4=180°,∴l1∥l2,故D选项不符合题意.故选B.7.D解析:如图所示,继续行驶的路线按射线CD方向.根据题意得,AB∥CD,∠CBE=15°,故∠BCD=180°-∠CBE=180°-15°=165°.故选D.8.B解析:∵l1∥l2,∴∠1+∠BOA+∠OBA=180°.∵∠1=46°,∠BOA=90°,∴∠OBA=44°.∴∠2=∠OBA=44°.故选B.9.C解析:①由∠C=∠BFD,根据“同位角相等,两直线平行”能判断BF∥CE;②由∠AEC=∠C,根据“内错角相等,两直线平行”能判断AB∥CD;③由∠BEC+∠C=180°,根据“同旁内角互补,两直线平行”能判断AB∥CD.故选C.10.A解析:过点E作EH∥AB.∵AB∥FG,∴AB∥EH∥FG.∴∠BEH=α=15°,∠FEH+∠EFG=180°.∵β=45°,∴∠FEH=180°-45°-15°=120°.∴∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°=60°.即EF与FG所成的锐角的度数为60°.故选A.11.大于解析:由题意可知,BC=2.3m,由垂线段最短可知,AB>BC.故答案为:大于.12.如果两个三角形的面积相等,那么它们的周长相等13.同位角相等,两直线平行14.105°解析:由光线平行,知∠3=∠1=45°.由水面和玻璃杯的底部平行,知∠2+∠4=180°.故∠4=180°-∠2=180°-120°=60°.故∠3+∠4=45°+60°=105°.故答案为105°.15.40°解析:在直角三角形EFD中,∠D=180°-∠DEF-∠1=180°-90°-50°=40°.∵AB∥CD,∴∠2=∠D=40°.故答案为40°.16.30解析:将三角形DEF沿FE方向平移3cm至三角形ABC,知AD=BE=3(cm),DE=AB.因为三角形DEF的周长为24cm,所以DE+EF+DF=24,即AB+EF+DF=24.所以四边形ABFD的周长为AB+BF+DF+AD=AB+BE+EF+DF+AD=(AB+EF+DF)+BE+AD=24+3+3=30(cm).故答