《实数的知识结构梳理》教案

《实数的知识结构梳理》教案教学目标及教学重点、难点通过本节课复习进一步理解平方根、立方根、实数及有关概念，建立这些概念之间的联系；明确算术平方根和平方根之间的区别和联系，平方根和立方根的之间的区别和联系，有理数和无理数之间的区别,实数与数轴的关系.由于数的扩充的一致性，本章很多内容可以类比有理数的有关内容得出，引导学生注意体会类比的研究方法．因此，应该通过本节课的教学，让学生进一步体会数系扩充的一致性和发展性．实数与数轴是一一对应的，因此可以利用数轴把“数”与“形”联系起来，让学生初步认识数形结合的思想方法作用.学习目标：（1）梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的联系．（2）会进行开平方和开立方运算，会有理数估计无理数大致范围，会实数的相反数、绝对值，会进行实数运算．重点：（1）进一步加强学生对平方根、立方根以及实数概念的认识．（2）进一步强化平方根、立方根的联系，有理数与实数运算的联系．难点：无理数概念的理解，无理数大致范围估计及实数的运算.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们：我们今天复习第六章实数，老师将从本章知识结构梳理，知识回顾，典型例题解析，三方面和大家一起做一复习.开门见山，点明复习思路复习知识互逆本章知识结构互逆乘方开方立方根平方根乘方开方立方根平方根开立方开立方实数的概念实数的概念有理数有理数实数的运算实数实数的运算实数无理数无理数实数在数轴上的表示实数在数轴上的表示知识回顾平方根、算术平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根.这就是说，如果那么叫做的平方根.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即那么这个正数叫做的算术平方根.规定:0的算术平方根是0.立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.如果，那么叫做的立方根.平方根、算术平方根、立方根的区别和联系：符号被开方数特征平方根正数有两个平方根它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.算术平方根正数有一个算术方根是正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.立方根为任意实数正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.求一个数平方根的运算，叫做开平方.求一个数立方根的运算，叫做开立方开方运算与乘方运算互为逆运算.梳理本章知识，引导学生整体把握本章知识，形成知识系统.进一步理解平方根、算术平方根、立方根的概念，以及三者之间的区别和联系.理解开方运算和乘方运算是互逆运算.例题典型例题例判断下列说法是否正确:(1)5是25的算术平方根;(2)-7是49的算术平方根;(3)0.01是0.1的算术平方根;(4)2是-4的算术平方根.答案：(1)正确；(2)错误；(3)错误；(4)错误.小结：做好此类题的关键是理解平方根、算术平方根、立方根的概念，并会求一个数的平方根、算术平方根、立方根.例求下列各式中的解：解：（2）（3）解：解：解：解：通过对这组判断题的辨析，使学生对算术平方根的概念有进一步的理解.复习知识知识回顾无理数和有理数的比较定义举例有理数整数和分数（有限小数或无限循环小数）3，-1，0，0.6，，等无理数无限不循环小数π，，0.2020020002…(相邻两个2之间依次多一个0）等实数的概念和分类：有理数和无理数统称为实数.正有理数正有理数0｛0｛正无理数负有理数｛无理数有理数｛正无理数负有理数｛无理数有理数｛｛实数负无理数负无理数实数与数轴上的点有什么关系？实数与数轴上的点是一一对应的.实数的相反数：数的相反数是这里的表示任意一个实数.实数的绝对值：实数的运算：运算：加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算、而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.运算律：加法交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律.充分理解无理数与有理数区别，从而进一步理解实数的定义、分类.利用数轴联系起“数”与“形”，从而进一步帮助学生理解实数有关概念和运算.帮助学生理解随着数扩充，数的运算的发展.例题典型例题例把下列各数分别填到相应的集合中：……（相邻的两个1之间0的个数逐次增加）……（相邻的两个1之间0的个数逐次增加）答案：是有理数.…是无理数.小结：完成本题的关键，正确理解无理数与有理数的概念.例试比较下列各数大小（1）π与3.146；（2）与（3）4与解：（1）由π=3.1415926…，可知π≈3.142，因为3.142<3.146，所以π<3.146.（2）因为所以，即是负数，是正数，所以.（3）因为即，所以.例分别求，的相反数和绝对值.解：因为所以的相反数是因为，所以的相反数是.因为所以==，因为，==例计算：解答过程：原式===0例计算：解答过程：原式==.理解无理数与有理数的区别，巩固实数概念、性质.训练了学生用有理数估计无理数大小，以及掌握无理数大小比较方法.进一步复习实数的相反数、绝对值的意义.数扩充到实数后，让学生进一步体会有理数运算律、运算性质适用于实数运算，体会运算的一致性.巩固练习练习下列各式是否有意义，为什么？（2）（3）（4）答案：（1）有意义，（2）无意义，（3）有意义，（4）有意义.练习已知一个正数的平方根分别是和，则正数是_____.解答过程：根据题意得，解得当时，则正数的平方根为1，所以练习请你写出界于哪两个相邻的整数之间？解：因为36<38<49，所以，所以因此界于整数6和7之间.应用一组练习题进一步巩固复习的知识.课堂小结本节课我们梳理了本章的知识结构，对算术平方根，平方根、立方根，无理数和有理数，开方运算和乘方运算，实数与数轴等知识进行了回顾，还利用典型例题复习了相关概念、特征、实数运算及运算律.总结本节课所学习的内容，逐步构建相应的知识网络.作业课本61页第8题8.计算下列各式的值：（1）（2）综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.若一个数的算术平方根是3,则这个数是()A.9 B.3 C.±9 D.32.下列式子中表示“16的平方根是±4”的是()A.16=±4 B.±16=±4 C.316=±4 D.-3163.在同一条数轴上分别用点表示实数-1.5,0,-11,|-4|,其中最左边的点表示的实数是()A.-11 B.0 C.-1.5 D.|-4|4.完全相同的4个小正方形面积之和是100,则小正方形的边长是()A.2 B.5 C.10 D.205.我们知道,球的体积公式是V=43πR3.一个乒乓球的体积为32π3cm3A.2cm B.3cmC.4cm D.5cm6.如图所示,正方形ABCD的面积为7,顶点A在数轴上表示的数为1.若点E在数轴上(点E在点A的左侧),且AD=AE,则点E所表示的数为()A.7 B.-2+7C.1+7 D.1-77.若37=a,则30.A.0.1a B.a C.1.1a D.10.1a8.若a的平方根是2m-1和5-m,则a的值是()A.9 B.81 C.9或81 D.29.有一款计算器,显示屏最多能显示14位(包括小数点)的数,例如:计算6时,显示2.449489742783.现在,想利用这款计算器知道2.449489742783中3的下一位数字是什么,可以用这款计算器计算下面()的值.A.106 B.10(6-2) C.1006 D.6-210.课堂上老师提出一个问题:“一个数是74088,它的立方根是多少?”小明脱口而出:“42”.老师十分惊奇,忙问计算的奥妙.小明给出以下方法:①由103=1000,1003=1000000,能确定374②由74088的个位上的数是8,因为23=8,能确定374③如果划去74088后面的三位088得到数74,而43=64,53=125,由此能确定374(提示:63=216,73=343,83=512,93=729)已知3205379为整数,请利用以上方法,则3A.19 B.15 C.12 D.14二、填空题11.计算:3-9=.

12.一块面积为7m2的正方形桌布,其边长为.

13.若a,b互为相反数,c为-8的立方根,则2a+2b-c=.

14.若x2=(-2)2,则x=;若y3=-64,则y=.

15.一个正方形的面积是10,它的边长a对应的点落在如图所示的数轴的段上(填序号).

16.数学解密:若第一个式子是9=4+1,第二个式子是25=9三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(1)计算:36+(2)将下列实数表示在数轴上,并比较它们的大小(用“<”连接):-5,3,2,-18.求下列各式中x的值:(1)25(x-1)2=64;(2)(x+2)3=-27.19.如图,请根据对话内容回答下列问题.(1)求该魔方的棱长;(2)求该长方体纸盒的长.20.已知实数a,b满足关系式a-3+|b-4|=(1)求a,b的值;(2)求a2+b2的算术平方根.21.我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”.例如:对于-9,-4,-1这三个数,由于(-9)×(-4)=6,(-9)×(-1)=3,(-4)×(-1)=2,因为6,3,2都是整数,所以-9,-22.某路边开辟一块长方形荒地建设公园,已知这块地的长是宽的2倍,面积是800m2.(1)求这块地的长和宽;(2)现要在这块长方形地中建设一个圆形花圃和一个圆形喷泉,它们的面积分别是105πm2和95πm2,剩余部分铺上草坪,试求出这两个圆形的半径,并判断是否符合要求?23.根据下表中数据的规律,解答下列问题:a1414.114.214.314.414.514.614.714.8a2196198.81201.64204.49207.36210.25213.16216.09219.04(1)213.16的平方根是;

(2)204.49=,2.0449=(3)210.25的整数部分是m,求m-答案：1.B2.B3.A解析:∵|-4|=4,3<11<4,∴-4<-11<-3.∴-11<-1.5<0<|-4|.故最左边的点表示的实数是-11.故选A.4.B解析:由完全相同的4个小正方形面积之和是100,知一个小正方形的面积为100÷4=25,故小正方形的边长为25=5,故选B.5.A解析:∵V=43πR3∴R=33V4故选A.6.D解析:由正方形的面积为7,知正方形的边长为7.故AE=AD=7.因为点A在数轴上表示的数为1,所以点E表示的数为1-7.故选D.7.D解析:0.007可由7将小数点向左移动三位得到.∵37=a,∴3类似地,7000可由7将小数点向右移动三位得到,∴37000=10a.∴30.007+370008.B解析:若a>0,则2m-1与5-m互为相反数,则2m-1+5-m=0,得m=-4.∴5-m=5-(-4)=9.∴a=92=81.若a=0,则2m-1=5-m=0,不符合题意.综上所述,a=81.故选B.9.B解析:∵6≈2.449489742783,∴106≈24.49489742783,有14位,A选项不符合题意;10(6-2)≈10×0.449489742783=4.49489742783,有13位,B选项符合题意;1006≈100×2.449489742783=244.9489742783,有14位,C选项不符合题意;6-2≈0.449489742783,有14位,D选项不符合题意.故选B.10.D解析:①由103=1000,1003=1000000,能确定3205②由205379的个位上的数是9,因为93=729,能确定3205③如果划去205379后面的三位379得到数205,而53=125,63=216,由此能确定3205379即32053793205379的每位数上的数字之和为5+9=14.11.0解析:3-9=3-3=0.12.7m13.2解析:∵a,b互为相反数,∴a+b=0.∵c为-8的立方根,∴c=-2.则2a+2b-c=2(a+b)-c=2×0-(-2)=2.故答案为2.14.±2-4解析:∵x2=(-2)2=4,(±2)2=4,∴x=±2.∵(-4)3=-64,∴y=-4.故答案为±2,-4.15.④解析:由正方形的面积是10,知正方形的边长为10.∵9<∴3<10<4.故边长a对应的点落在题中数轴的④段上.故答案为④.16.1089=289+256解析:25=9+481=25+16∴第五个式子为(25+1)17.解:(1)36=6-38-5+=6-2-5+7=6.(2)如图所示.用“<”连接为-π<-5<3<18.解:(1)∵25(x-1)2=64,∴(x-1)2=6425∴x-1=±85解得x=135或x=-3(2)∵(x+2)3=-27,∴x+2=-3.解得x=-5.19.解:(1)设该魔方的棱