九年级数学上册高效培优讲义《考点易错题》含答案

初中初中专题02考点易错专训（第21-24章）一．一元二次方程的定义1．（2025春•高青县期中）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．±2．（2025春•安庆期中）若关于x的方程(k−2)xk2−2+4x−3=03．（2025春•合肥期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝．二．一元二次方程的解4．（2025春•金安区校级期中）若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2020﹣2m2+8m的值为（）A．2016 B．2018 C．2022 D．20245．（2025春•金安区校级期中）如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣26．（2025春•温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（）A．﹣m B．1m C．m D．7．（2025春•莱州市期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的解是x1=5+1，x2=5−1，则方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+A．x1=5+1，x2=5−1 B．x1=5−C．x1=5+3，x2=5三．根的判别式8．（2025•驿城区模拟）若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定9．（2025春•肥东县校级期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则x=1t是方程nx2+A．1 B．2 C．3 D．4四．根与系数的关系11．（2025秋•九龙坡区校级月考）设a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2023b的值为（）A．2024 B．﹣2024 C．2023 D．﹣202312．（2025•山东校级二模）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则1xA．﹣2 B．−12 C．2 13．（2024秋•宝应县期末）已知方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，则m2A．﹣2024 B．﹣1 C．1 D．202414．（2025•临沭县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且x12+A．53或−3 B．﹣3 C．5315．（2024秋•海港区期末）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x13−2024xA．4049 B．4048 C．2024 D．1五．一元二次方程的应用16．（2025•济宁校级三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（）元/个时，月利润为9600元A．32 B．28 C．32或36 D．32或2817．（2025秋•宝安区校级月考）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以a2和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取CD=a2，则AD的长为所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝225，CD：ADA．10 B．16 C．18 D．2018．（2025秋•锦江区校级月考）为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个，每天能售出50个．（1）求该吉祥物两次降价的平均百分率；（2）若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查发现，每降价2元，每天可多售20件，若每天利润为2730元，则每件降价多少元？六．配方法的应用19．（2025春•东台市期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（）A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣1620．（2025春•滨湖区期中）已知x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，求xy的值为（）A．3 B．6 C．9 D．2721．（2025春•碑林区校级期中）已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（）A．14 B．5 C．9 D．不存在22．（2025春•大丰区期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N23．（2024春•广陵区期中）若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定七．二次函数图象与系数的关系（共4小题）24．（2025•谷城县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个25．（2024秋•枣阳市期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．526．（2024秋•郸城县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象关于直线x＝1对称，则下列四个结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③5a+b+c＞0；④若k≠1，则a（k2﹣1）+b（k﹣1）＞0．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个27．（2025秋•朝阳区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是（填序号）．八．二次函数图象上点的坐标特征28．（2025•晋中二模）若点A（﹣1，y1），B（2，y3），C（3，y3）都在二次函数y＝x2﹣4x﹣n的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y129．（2024秋•勉县校级期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（52，y3）三点，则y1，y2，y3A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y230．（2024秋•莱阳市期末）设函数y1=−(x−m)2，y2=−(x−n)2，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，aA．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜n＜1，则a1＜a2 C．若m＜1＜n，则a1＜a2 D．若m＜n＜1，则a2＜a131．（2025•广州校级模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1，则t的取值范围是（）A．t＜﹣4或t＞7 B．t＜﹣5或t＞8 C．t＜﹣5或t＞7 D．﹣t＜﹣4或t＞832．（2025•费县二模）已知二次函数y＝﹣mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（）A．若m＞1，则a+b+c+d＞0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＞0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d九．二次函数的最值33．（2024秋•纳溪区期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（）A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D．534．（2024秋•昭通期末）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣135．（2025•连州市三模）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（）A．5 B．﹣5或58 C．5或−5836．（2025•新城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为（）A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7十．抛物线与x轴的交点37．（2025•威海一模）如图，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），抛物线y＝﹣x2+px+n与x轴交点的横坐标为x3，x4（x3＜x4）．已知0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．x3＜x4＜x1＜x2 B．x3＜x1＜x2＜x4 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x1＜x3＜x4＜x238．（2024秋•江阳区校级期末）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第二象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC′是正方形，则a的值为（）A．−32 B．−23 C．3239．（2025秋•海安市月考）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（）A．m＜x1＜x2＜n B．m＜x1＜x2＜﹣n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n十一．垂径定理40．（2025秋•秦淮区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910 B．65 C．8541．（2025•池州开学）如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（）A．5−2 B．3−1 C．5+2十二．扇形面积的计算42．（2025•威海一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O．则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣4 B．π﹣2 C．2π D．143．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（）A．53−4π3 B．53+44．（2025•中卫校级二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣445．（2024秋•凉州区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，取AD的中点E，连接BE，CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是（）．A．2π﹣4 B．π﹣4 C．π﹣2 D．3π十三．旋转的性质46．（2025春•开江县月考）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB的中点，点E是边BC所在直线上的一动点，连接DE，在DE的右侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值是．47．（2024秋•荣成市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．将△ABC绕点A顺时针旋转m°得到△ADE（∠CAB＜m°＜180°）．CE与AB交于点F，设∠ABC＝n°（30≤n≤45），当m、n满足（）条件时，△BCF是等腰三角形．A．m＝2nB．n＝2m C．m+n＝180°或m＝2n D．n＝2m或m+n＝180°48．（2025•淄博）如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（）A．14 B．2−32 C．2专题02考点易错专训（第21-24章）一．一元二次方程的定义1．（2025春•高青县期中）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．±【答案】C【解答】解：由题意可知：|m−1|=2m−3≠0解得：m＝﹣1，故选：C．2．（2025春•安庆期中）若关于x的方程(k−2)xk2−2+4x−3=0【答案】见试题解答内容【解答】解：∵关于x的方程(k−2)x∴k﹣2≠0且k2﹣2＝2，解得k＝﹣2．故答案为：﹣2．3．（2025春•合肥期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝0．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程，∴m−4≠0|m−2|=2解得m＝0．故答案为：0．二．一元二次方程的解4．（2025春•金安区校级期中）若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2020﹣2m2+8m的值为（）A．2016 B．2018 C．2022 D．2024【答案】D【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，∴m2﹣4m+2＝0，∴m2﹣4m＝﹣2，∴2020﹣2m2+8m＝2020﹣2（m2﹣4m）＝2020+4＝2024．故选：D．5．（2025春•金安区校级期中）如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2【答案】C【解答】解：设它们相同的根为a，由题意得：a2+a+k＝0①，a2+ak+1＝0②，∴①﹣②得：a﹣ak+k﹣1＝0，（1﹣k）a＝1﹣k，∵a有且只有一个值，∴1﹣k≠0，∴a＝1，把a＝1代入①得：1+1+k＝0，解得：k＝﹣2，故选：C．6．（2025春•温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（）A．﹣m B．1m C．m D．【答案】D【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根，∴am2+bm+c＝0，∴a+1mb+∴c（−1m）2﹣（−1m）∴−1m是方程cx2﹣bx+a＝0（故选：D．7．（2025春•莱州市期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的解是x1=5+1，x2=5−1，则方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+A．x1=5+1，x2=5−1 B．x1=5−C．x1=5+3，x2=5【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的解是x1=5+1，x2∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0（a≠0）中x﹣2=5+1或x﹣2解得：x1=5+3，x2故选：C．三．根的判别式8．（2025•驿城区模拟）若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定【答案】B【解答】解：方程x2﹣mx+n＝0的判别式Δ＝（﹣m）2﹣4n，∵点P（m，n）在第四象限，∴m＞0，n＜0，∴（﹣m）2＞0，∴Δ＝（﹣m）2﹣4n＞0，方程mx2+x+n＝0有两个不相等的实数根．故选：B．9．（2025春•肥东县校级期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则x=1t是方程nx2+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：①对于方程x2+mx+n＝0，∴Δ＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n，若m﹣2n＝1，则m＝2n+1，∴Δ＝m2﹣4n＝（2n+1）2﹣4n＝4n2+4n+1﹣4n＝4n2+1＞0，∴方程x2+mx+n＝0一定有两个不相等的实数根；故①正确；②由①可知，Δ＝m2﹣4n，若m2﹣2n＜0，则m2＜2n，即2n＞m2≥0，则4n＞2n＞m2≥0，∴Δ＝m2﹣4n＜0，∴方程没有实数根；故②正确；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，∴t2+mt+n＝0，∵t≠0，∴t2+mt+n＝0两边同除以t2得，1+m⋅1即n(∴x=1t是方程nx2+mx+1＝0的一个根，故③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则n2﹣mn+n＝0，即n（n+m+1）＝0，∴n＝0或n+m+1＝0，即n＝0或m+n＝﹣1，故③错误；综上可知，①②④正确，共3个．故选：C．四．根与系数的关系11．（2025秋•九龙坡区校级月考）设a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2023b的值为（）A．2024 B．﹣2024 C．2023 D．﹣2023【答案】D【解答】解：∵a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1，∴a3+a2+3a+2023b＝（a2+a）a+3a+2023b＝2020a+3a+2023b＝2023（a+b）＝﹣2023，故选：D．12．（2025•山东校级二模）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则1xA．﹣2 B．−12 C．2 【答案】A【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣3，∴1x故选：A．13．（2024秋•宝应县期末）已知方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，则m2A．﹣2024 B．﹣1 C．1 D．2024【答案】B【解答】解：方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，∴m2﹣2024m+1＝0，mn＝1，∴m2＝2024m﹣1，1n∴m2故选：B．14．（2025•临沭县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且x12+A．53或−3 B．﹣3 C．53【答案】C【解答】解：根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得m＞−5根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，∵x1∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0，∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1=53，m∵m＞−5∴m的值为53故选：C．15．（2024秋•海港区期末）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x13−2024xA．4049 B．4048 C．2024 D．1【答案】A【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，∴x12−2024=x1，x1x2＝﹣2024，xx1故选：A．五．一元二次方程的应用16．（2025•济宁校级三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（）元/个时，月利润为9600元A．32 B．28 C．32或36 D．32或28【答案】D【解答】解：设销售价应定为每件x元，根据题意根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个可得：（x﹣20）[1000﹣100（x﹣30）]＝9600，整理得x2﹣60x+896＝0，（x﹣32）（x﹣28）＝0，x＝32或x＝28，答：该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元．故选：D．17．（2025秋•宝安区校级月考）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以a2和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取CD=a2，则AD的长为所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝225，CD：ADA．10 B．16 C．18 D．20【答案】B【解答】解：由题意得可知，BC＝CD=12m，AB设CD＝CB＝8y，则AD＝9y，∴AC＝CD+AD＝17y，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2+AB2＝AC2，即（8y）2+152＝（17y）2，整理得：y2＝1，解得：y1＝1，y2＝﹣1（不符合题意，舍去），∴CD＝8y＝8，∴12m解得：m＝16，即m的值为16，故选：B．18．（2025秋•锦江区校级月考）为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个，每天能售出50个．（1）求该吉祥物两次降价的平均百分率；（2）若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查发现，每降价2元，每天可多售20件，若每天利润为2730元，则每件降价多少元？【答案】（1）该吉祥物两次降价的平均百分率为12.5%；（2）每个降价16元．【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意列一元二次方程得：64（1﹣x）2＝49，整理得，64x2﹣128x﹣15＝0，解得：x1＝0.125＝12.5%，x2＝1.875（不合题意，舍去），答：该吉祥物两次降价的平均百分率为12.5%；（2）设每个商品应降价y元，由题意列一元二次方程得：(49−y−20)(50+20解得y1＝8，y2＝16，为了减少库存，应取y＝16，答：每个降价16元．六．配方法的应用（共5小题）19．（2025春•东台市期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（）A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16【答案】A【解答】解：∵m﹣n2＝2，∴n2＝m﹣2≥0，m≥2，∴m2+2n2+4m﹣3＝m2+2m﹣4+4m﹣3＝m2+6m+9﹣16＝（m+3）2﹣16，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16＝9．故选：A．20．（2025春•滨湖区期中）已知x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，求xy的值为（）A．3 B．6 C．9 D．27【答案】D【解答】解：由题意，∵x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，∴x2﹣2xy+y2+y2﹣6y+9＝0．∴（x﹣y）2+（y﹣3）2＝0．∴x﹣y＝0，y﹣3＝0．∴x＝y＝3．∴xy＝33＝27．故选：D．21．（2025春•碑林区校级期中）已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（）A．14 B．5 C．9 D．不存在【答案】B【解答】解：根据题意得：x+y＝4a2+4ab+14+b2﹣6b﹣12a＝（4a2+4ab+b2）﹣6（b+2a）+14＝[（2a+b）2﹣6（b+2a）+9]+5＝（2a+b﹣3）2+5．∵（2a+b﹣3）2≥0，∴x+y的最小值是5．故选：B．22．（2025春•大丰区期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N【答案】A【解答】解：∵M﹣N＝4a2﹣4a+3﹣（3a2﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，∴M≥N，故选：A．23．（2024春•广陵区期中）若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定【答案】D【解答】解：由题意，作差：M﹣N＝（2x2+x）﹣（x2﹣3x﹣2）＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2．令M﹣N＝0，∴（x+2）2﹣2＝0．∴x＝﹣2±2．考查函数y＝（x+2）2﹣2，∵a＝1＞0，∴当x＜2−2或x＞2+2时，当x＝﹣2±2时，y＝0；当2−2＜x＜2+2∴当x＜2−2或x＞2+2时，M＞当x＝﹣2±2时，M＝N；当2−2＜x＜2+2时，M故选：D．七．二次函数图象与系数的关系24．（2025•谷城县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号，则ab＜0．由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故该结论错误；②由该抛物线的对称轴是直线x＝1知，x=−b2a=1，则2a故该结论正确；③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞0．故该结论正确；④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0．故该结论正确；综上所述，正确的结论有3个．故选：B．25．（2024秋•枣阳市期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∵−b∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确，符合题意；②由题意可得：b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②符合题意；③当x＝0和x＝2时函数值相等，都小于0，∴y＝4a+2b+c＜0，故③不符合题意；④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④符合题意；⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意．故选：C．26．（2024秋•郸城县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象关于直线x＝1对称，则下列四个结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③5a+b+c＞0；④若k≠1，则a（k2﹣1）+b（k﹣1）＞0．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线x=−b2a=1∴a＞0，b＝﹣2a＜0，c＜0，∴2a+b＝0，abc＞0，故①②正确；由图象可知：当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，∴a+b﹣2b+c＞0，∵b＝﹣2a，∴a+b﹣2b+c＝a+b+4a+c＝5a+b+c＞0；故③正确；∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，函数值最小为a+b+c，当x＝k（k≠1）时，y＝ak2+bk+c＞a+b+c，∴ak2﹣a+bk﹣b＞0，∴a（k2﹣1）+b（k﹣1）＞0；故④正确；故选：D．27．（2025秋•朝阳区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是①④⑤（填序号）．【答案】①④⑤．【解答】解：由于抛物线的开口向上，则a＞0，由于抛物线的对称轴在y轴右边，则a、b异号，所以b＜0，由于抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c＜0，故abc＞0，故①正确；由于抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误；当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故③错误；因为对称轴为x=−b2a=1，则b＝﹣2a，所以2a+b当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故⑤正确；故答案为：①④⑤．八．二次函数图象上点的坐标特征（共5小题）28．（2025•晋中二模）若点A（﹣1，y1），B（2，y3），C（3，y3）都在二次函数y＝x2﹣4x﹣n的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【答案】D【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣n，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=−−4∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|＞|2﹣2|，∴y2＜y3＜y1；故选：D．29．（2024秋•勉县校级期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（52，y3）三点，则y1，y2，y3A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2【答案】D【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+c的开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点（﹣2，y1）、（0，y2）、（52，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2+c∴点（52，y3）关于对称轴x＝1的对称点是（−12，∵﹣2＜−1∴y1＞y3＞y2，故选：D．30．（2024秋•莱阳市期末）设函数y1=−(x−m)2，y2=−(x−n)2，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，aA．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜n＜1，则a1＜a2 C．若m＜1＜n，则a1＜a2 D．若m＜n＜1，则a2＜a1【答案】B【解答】解：如图所示，若1＜m＜n，则a1＞a2，故A不符合题意；如图所示，若m＜1＜n，则a1＞a2或a1＜a2，故C不符合题意；如图所示，若m＜n＜1，则a1＜a2，B符合题意，D不符合题意；故选：B．31．（2025•广州校级模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1，则t的取值范围是（）A．t＜﹣4或t＞7 B．t＜﹣5或t＞8 C．t＜﹣5或t＞7 D．﹣t＜﹣4或t＞8【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣bx+c，∴图象开口向上，对称轴为直线x=−−b∵﹣1＜b＜4，∴−1∵x2﹣x1＝t，﹣2＜x1＜2，∴t﹣2＜x2＜t+2，∴t﹣4＜x1+x2＜t+4，∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1，∴当t＞0时，x2＞x1，点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，则x1+x22＞2，即∴t﹣4＞4，∴t＞8，当t＜0时，x2＜x1，点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点在对称轴的左侧，则x1+x22＜−1∴t+4＜﹣1，∴t＜﹣5，综上，t的取值范围是t＜﹣5或t＞8，故选：B．32．（2025•费县二模）已知二次函数y＝﹣mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（）A．若m＞1，则a+b+c+d＞0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＞0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d【答案】D【解答】解：由解析式可知抛物线对称轴为直线x=−2(m+1)当m＞1时，则﹣m＜0，∴函数的图象开口向下，∴m+1m此时对称轴在x轴的正半轴，抛物线的开口方向向下，∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越大，∵A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），∴点A与点B关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，∴a+b2∴a+b2即a+b+c+d＞0，故A选项不符合题意；由条件可知d＜a＜b＜c或d＜b＜a＜c或c＜b＜a＜d或c＜a＜b＜d，故B选项不符合题意；当m＜﹣1时，则0＞m+1，∴m+1m此时对称轴在x轴的正半轴，抛物线的开口方向向上，∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越小，由条件可知点A与点B关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，∴a+b2∴a+b2即a+b+c+d＞0，故C选项不符合题意；∵p＜q，越靠近对称轴的x所对应的函数值越小，∴a＜d＜c＜b或a＜c＜d＜b或b＜c＜d＜a或b＜d＜c＜a，故D选项符合题意；故选：D．九．二次函数的最值33．（2024秋•纳溪区期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（）A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D．5【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），代入，得0＝9﹣3m+n，即3m﹣9＝n，二次函数对称轴为直线x=−b然后分情况讨论：①对称轴为直线x=−m2≤−此时在﹣3≤x≤0上，y随x的增大而增大，∴当x＝﹣3时，y有最小值0，不符合题意，舍去；②对称轴为直线x=−m2满足﹣3＜−m此时二次函数的顶点在﹣3≤x≤0范围内，顶点的纵坐标为最小值﹣4，二次函数顶点纵坐标公式为y=4ac−b24a，将a＝1，b＝m，可得（m﹣2）（m﹣10）＝0，解得m＝2或m＝10，∵0＜m＜6，∴m＝2；③对称轴为直线x=−m2≥此时在﹣3≤x≤0上y随x的增大而减小，∴当x＝0时，y有最小值3m﹣9，令3m﹣9＝4，解得m=5故答案为m＝2，故选：C．34．（2024秋•昭通期末）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣1【答案】C【解答】解：当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，当y＝﹣1时，有x2+4x+2＝﹣1，∴x1＝﹣1，x2＝﹣3．∵y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），当x＜﹣2时，y随x的增大而减少，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值﹣1，若﹣2＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是﹣1，∴a＝﹣1；若a≤x≤a+2＜﹣2时，当x＝a+2时，y的最小值是﹣1，∴a+2＝﹣3，a＝﹣5，故选：C．35．（2025•连州市三模）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（）A．5 B．﹣5或58 C．5或−58【答案】C【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，解得：m＝5；②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，解得：m=−5故选：C．36．（2025•新城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为（）A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7【答案】B【解答】解：∵将二次函数解析式化为顶点式可得：y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点，①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大，∴当x＝t+2≤2，即t≤0，函数有最大值4，∴﹣（t+2）2+4（t+2）+9＝4，∴t＝±3，∵t≤0，∴t＝﹣3；②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小，∴当x＝t≥2时，即函数有最大值4，∴﹣t2+4t+9＝4，∴t＝5，t＝﹣1，∵t≥2，∴t＝5；故选：B．十．抛物线与x轴的交点37．（2025•威海一模）如图，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），抛物线y＝﹣x2+px+n与x轴交点的横坐标为x3，x4（x3＜x4）．已知0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．x3＜x4＜x1＜x2 B．x3＜x1＜x2＜x4 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x1＜x3＜x4＜x2【答案】B【解答】解：由题意可知，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），抛物线y＝﹣x2+px+m与直线y＝m﹣n的交点坐标为（x3，m﹣n），（x4，m﹣n），∵0＜m＜n，∴m﹣n＜0，∴直线y＝m﹣n与y轴交于负半轴，如图所示，观察图象可知，x3＜x1＜x2＜x4，故选：B．38．（2024秋•江阳区校级期末）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第二象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC′是正方形，则a的值为（）A．−32 B．−23 C．32【答案】B【解答】解：∵y=ax∴抛物线的顶点坐标为：(5∵抛物线y＝ax2﹣5ax+4a不经过第二象限，与x轴交于A，B两点，其顶点为C，∴a＜0，顶点在x轴上方，∴CC'=2×(−9把y＝0代入y＝ax2﹣5ax+4a可得：ax2﹣5ax+4a＝0，解得x1＝1，x2＝4，∴AB＝4﹣1＝3，∵四边形ACBC′是正方形，∴AB＝CC′，∴−9∴a=−2故选：B．39．（2025秋•海安市月考）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（）A．m＜x1＜x2＜n B．m＜x1＜x2＜﹣n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n【答案】A【解答】解：抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点，设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，∴m＜x1＜x2＜n，故选：A．十一．垂径定理40．（2025秋•秦淮区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910 B．65 C．85【答案】D【解答】解：如图，设DE的中点为O，连接CO并延长交AB于点F，连接ON，∵DE为直径，且DE＝3，∴OC＝ON=12DE当CF⊥AB时，CF最小，则弦心距OF最小，此时弦MN的值最大，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC=A由S△ABC=1∴OF＝CF﹣OC=9∴NF=O∵CF⊥AB，∴MN=2NF=12故选：D．41．（2025•池州开学）如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（）A．5−2 B．3−1 C．5+2【答案】B【解答】解：如图，连接AC，过点G作GM⊥AC于点M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB．在Rt△AGO中，AG＝2OG，OA=2∴∠GAO＝30°，AB=2AO=23，∠AGO由条件可知∠GCA＝∠GAC．∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC=2AO=23，MG=∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，点F在以AC为直径的⊙M上运动，∴FM=3当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FM−MG=3故选：B．十二．扇形面积的计算（共4小题）42．（2025•威海一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O．则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣4 B．π﹣2 C．2π D．1【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴正方形的对角线的长为22∴半径的长为2，∵阴影部分面积＝圆的面积﹣正方形的面积，∴阴影部分面积=π(故选：A．43．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（）A．53−4π3 B．53+【答案】A【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝BC＝4．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC．∵BE=1∴AE=3∴S△AEC同理可得，S△AFC∴S四边形AECF∵S扇形CEF=120⋅π⋅∴中间空白部分两边形的面积为43∴阴影部分的面积为43故选：A．44．（2025•中卫校级二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣4【答案】B【解答】解：由题意可知AG＝BH＝CE＝DF＝5，