1.2空间向量基本定理课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理第一章空闾向量与立体几何人教A版(2019)选择性必修第一册学习目标核心素养1.理解空间向量基本定理及其意义，会用基底表示空间向量.

(重点)直观想象2.了解正交分解的意义，体会空间向量基本定理求解

立体几何问题的方法.

(难点)逻辑推理我们知道，平面内的任意一个向量p

都可以用两个不共线的向量

a,b

来表示(平面向量基本定理).类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c

来表示呢?新课引入从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.如图，设

i,j,k

是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点0.对于任意一个空间向量p=0P,设

0Q为

OP

在

i,j所确定的平面上的投影向量，

则

OP=0Q+QP.新知学习□又向量

QP,k共线，因此存在唯一的实数z,使得QP=zk,

从而

OP=0Q+zk.而在i,j所确定的平面上，

由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y),

使

得

0Q=xi+yj.

从而

OP=0Q+zk=xi+yj+zk.

新

知学习如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z)

,

使得

p=xi+yj+zk

.

我们称

xi,yj,zk分

别为向量p在

i,j,k上的分向量

.新知学习工是唯一的.证明如下：若

p=xi+yj+zk=xi+yj+zk,

则(x-x)i+(y-y);+(z-z)k=0.因为

i,j,k

不共面，所以x-x=y-y′=z-z=0,即

x=x,y=y,z=z,所以有序实数组

(x,y,z)是唯一的.另外，根据

OP的表示过程，由平面向量基本定理可

知(x,y)

是唯一的，由共线向量定理可知z

是唯一的，所以实数组(x,y,z)是唯一的.新知学习

你能证明唯

一性吗?在空间中，如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,

你能得出类似的结论吗?新知学

习

探究空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个

空间向量p,

存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.新知学习□基底与基向量：如果三个向量a,b,c

不共面，那么所有空间向量组成的集

合就是{plp=xa+yb+zc,x,y,z

∈R}

.这个集合可看作由向量a,b,c

生成的

我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c

都叫做基向量

.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.新知学习

单位正交基底：特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表

示

.新知学习

正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a,均可以分解

为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk

.像这样，把一个空间向量分解为三个

两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解

.新知学习足新知学习由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的

运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便.分析：0A,OB,OC是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{OA,OB,OC},OP

可以用基底{OA,OB,OC}表示出来.例1如图

，M

是四面体

OABC的棱BC的中点，点N在线段

OM

上，点P在线段AN

上，且

,用向量

OA,OB,OC

表示OP.ACB例题巩固例题巩固解：例2如图，在平行六面体ABCD-A₁

B₁C₁

D₁AB=4,AD=4,AA₁=5,∠DAB=60°,∠BAA₁=60°,∠DAA₁=60°,M,N分别为

D₁C₁,C₁B₁中

点

.

求

证

MN⊥AC₁

.分

析：要证

MN⊥AC₁

,

只需证明MN

·AC₁=0.中

，的由已知，{

可构成空间的

一个基底

.把MN

和AC₁

分别用基底表示，然后计算

MN·AC₁

即

可

.证明：设AB=a,AD=b,AA₁=c,这三个向量不共面，{a,b,c}构成空间的一个基底，我们用它们表示MN,AC₁,贝,AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c,例题巩固所以MN⊥AC₁

.例

3如图，正方体ABCD-A'B'C'D′的棱长为1,E,F,G

分别为CD'A'D,D'D

的中点

.(1)求证：EF//AC;(

2

)

求

CE

与

AG

所成角的余弦值.分析：(1)要证明EFIAC,只需证明

EF

与

AC

共线

.设DA=i,DC=j,DD=k,

则{i,j,k}构成空间的一个单位正交基底，把

EF

和

AC

分别用基向

量表示，作相应的运算证明它们共线即可.

(2)要求

CE

与

AG

所成角的余弦

值，只需求

CE,AG

所成角的余弦值即可.(1)

证明：设DA=i,DC=j,DD=k,则{i,j,k}

构成空间的一个单位正交基底.所以

,CA=DA-DC=i-j所以所以EF//AC.例题巩固所以CE

与AG

所成角的余弦值为例题巩固(2)

解：因为解析：因为AC₁=AB+BC+CC₁,且AC=xAB+2yBC+3zC₁C,所以x=1,2y=1,3z=-1,即x=1,2.在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁

中，若AC₁=xAB+2yBC+3zC₁C,A.1

B

随堂练习D

C

3.若{a,b,c}是空间的一个基底，且向量m=a+

b,n=a-b,

则可以与

m,n构成空间的另一个基底的向量是(C)A.a

B.b

C.cD.2a解析：由题意知，a,b,c

不共面，对于A,故a,m,n共面，排除A;对于B,

故

b,m,n共面，排除B;对于C,易知c,m,n不共面，故可以构成空间的另一个基底，C

正确；

对于D,

由

A得，2a=m+n,故2a,m,n共面，排除D.故选C.解析：A

选项，当a,c不共线时，a·(b·c)与

a

共线，(a·b)·c与

c共线，故a·(b·c)=(a·b)·c不可能成立，故A不正确.B选项，{a,b,c}是空间的一组基底，

故三个向量不共面且两两共面不共线，假设x,y,z

不全为0,不妨设x≠0,

此时有xa=0,故a=0,矛盾；不妨设x≠0,y≠0,此时xa+

yb=0,故

a,b共线，矛盾；若三者均不为0,即xa+yb+zc=0,此时

a,b,c

共面，矛盾，综上，假设不成立，故x=y=z=0,B正确.C选项，a

在b上的投影向量为C正确.D

选项，设a+b=m(b-c)+n(c+2a),

即无解，故a+b,b-c,c+2a不共面，一定能构成空间的一组基底，D正确.故选BCD.5.已知{e₁,e₂,e₃}是空间的一个基底，向量a=e₁+e₂+e₃

,b=e₁+e₂-e₃,C=e₁-e₂+e3,d=e₁+2e₂+3e₃

.若d=xa+yb+zc,则

x,y,z的值分别随堂练习解析：

xa-yb+zc=x(e₁+e₂+e₃)+y(e₁+e₂-e=(x+y+z)e₁+(x-y-z)e₂+(x-y+z)e₃=e₁+₃)+z(e₁-e₂+e₃)2e₂+3e₃,由空间向量基本定理，得随堂练习

印随堂练习6.已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD

为正方形，G为△PCD

的重心，AB=i,AD=j,AP=k,用基底{i,j,k}表示向量BG,则

解析：如图所示，延长PG交

CD

于点E,

则

E

为

CD

的中点.随堂练习7.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°,AC与

BD交于点

O,EC⊥底面ABCD,F为

BE

的中点，AB=CE.(1)求证：DE//平面ACF;

(用向量方法证明)(2)求〈EO,AF〉的余弦值.DLA解析：设AB=CE=1,CD=a,CB=b,CE=c,则

|a=b=c|=1,<a,c〉=<