1.4.1-3空间直线、平面的垂直+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1-3空间中直线、平面的垂直新课程标准解读核心素养1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)2．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理．(逻辑推理)3．能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系．(逻辑推理)用向量刻画空间中直线、平面的平行线线平行：线面平行：面面平行：复习回顾情景引入

上节课我们用直线的方向向量和法向量，解决了线线，线面平行，面面平行的问题，是否可以利用空间向量解决直线、平面的垂直问题？l2思考1：如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直？u1u2l1探究新知设直线l1,l2的方向向量分别为则lun思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？探究新知设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则

n1思考3：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？

n2探究新知设平面α,β的法向量分别为则怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？提示：(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．运用新知直线方向向量平面法向量转化例1(课本P20-例2)

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1,

D1B1的中点，求证：EF⊥DA1.

OADCBA1D1C1B1EF证明：典例分析

利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．规律方法【基底法】比【坐标法】更具有一般性典例分析例2

(课本P32-例4)

如图示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AB=AD=AA1=1，求证:直线A1C⊥平面BDD1B1.分析：典例分析例2

(课本P32-例4)

如图示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AB=AD=AA1=1，求证:直线A1C⊥平面BDD1B1.证明：

用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直（判定定理）：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直；(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．

规律方法例3(课本P32-例5)

证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.l证明：典例分析

利用空间向量证明面面垂直的方法：1、利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；2、直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．说明：向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．规律方法课堂小结利用空间向量解决平行与垂直问题时①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②通过向量的运算，研究平行与垂直问题；③把运算结果“翻译”成相应的几何意义.课堂小结说明：向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．1.已知是直线l的方向向量，是平面α的法向量.

(1)若l//α，求a,b的关系式;(2)若l⊥α,求a,b的值.课后练习2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，

为单位正交基底建立空间直角坐标系，求证:A1C⊥BC1.ADD1A1B1C1BCxyz课后练习3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A