2.4.2+圆的一般方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程

人教A版（2019）选择性必修一学习目标1.在平面直角坐标系中，探究并掌握圆的一般方程,体现逻辑推理能力（重点）2.能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题，体现数学运算能力（难点）1新课导入我们知道，方程

(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以(1,－2)为圆心，2为半径的圆.可以将此方程变形为

x2＋y2－2x＋4y＋1＝0.那么,仿照上述圆的标准方程的变形，根据这节课的知识我们来总结一下圆的其他形式的方程——圆的一般方程.新课学习34一般地，圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(2)的形式.反过来，形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？例如，对于方程

x2＋y2－2x－4y＋6＝0，对其进行配方，得

(x－1)2＋(y－2)2＝－1，因为任意一个点的坐标(x，y)都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.新课学习34一般地，圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(2)的形式.反过来，形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？

所以，形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表示，形如(2)的方程不一定是圆.新课学习方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的

D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？将方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的左边配方，并把常数项移到右边，得(1)当

D2＋E2－4F＞0

时，比较方程和圆的标准方程，(2)当

D2＋E2－4F=0

时，新课学习(3)当

D2＋E2－4F＜0时，方程没有实数解，它不表示任何图形.因此，当D2＋E2－4F＞0时，方程表示一个圆.方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的

D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？新课学习圆的一般方程的概念我们把二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程.此时方程表示以为

圆心，

为半径的圆．圆的一般方程具有如下结构特征：①方程中二次项

x2，y2的系数相等且均为1；②方程中不含

x

与

y

的乘积项.新课学习圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？圆的标准方程圆的一般方程方程(x－a)2+(y－b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2–4F>0）圆心半径长特点

①易于看出圆心与半径；②方程几何特征明显；(a，b)r①特殊的二元二次方程；②方程代数特征明显.新课学习例4：求过三点

O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．分析：将点

O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．设圆的方程是

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．①因为

O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关于

D，E，F的一个三元一次方程组新课学习例4：求过三点

O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．解这个方程组，得所以，所求圆的方程是

x2＋y2－8x＋6y＝0．由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,-3)，半径新课学习与例2的方法比较，你有什么体会？本题解答过程中，先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解．这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些．

容易的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组．

而用圆的标准方程求解，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项，一般来说，解一次方程比解二次方程要容易新课学习求圆的方程常用待定系数法的步骤(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据已知条件列出关于

a，b，r或

D，E，F的方程组；(3)解出

a，b，r或

D，E，F(D2＋E2－4F＞0)的值．新课学习例5：已知线段

AB的端点

B的坐标是(4，3)，端点

A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段

AB的中点

M的轨迹方程．分析：如图，点

A运动引起点

M运动，而点

A在已知圆上运动，点

A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4．建立点

M与点

A坐标之间的关系，就可以利用点

A的坐标所满足的关系式得到点

M的坐标满足的关系式，求出点

M的轨迹方程新课学习例5：已知线段

AB的端点

B的坐标是(4，3)，端点

A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段

AB的中点

M的轨迹方程．设点M的坐标是(x,y)，点A的坐标是(x0,y0)．由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，所以

于是有

x0＝2x－4，y0＝2y－3．①因为点

A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点

A的坐标满足圆的方程，即(x0＋1)2＋y02＝4．②新课学习例5：已知线段

AB的端点

B的坐标是(4，3)，端点

A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段

AB的中点

M的轨迹方程．把①代入②，得

(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4整理，得这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．

点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.新课学习拓展：求动点的轨迹方程时，通常采用代入法求轨迹方程，其主要步骤如下：OxyB(x2，y2)A(x1，y1)M(x，y)1.设动点坐标为(x,y)（求谁设谁）2.用动点坐标把相关点的坐标表示出来3.把相关