16.3.1+平方差公式+课件+++2025-2026学年人教版八年级数学上册

16.3.1平方差公式第十六章

整式的乘法

人教版2024·八年级上册素养目标，三维聚焦数学抽象：从多项式乘法特例中抽象出平方差公式的结构特征，能用符号语言精准表达公式，建立“具体实例→一般规律”的抽象思维；逻辑推理：通过代数推导与几何验证（割补法）双向论证公式合理性，培养演绎推理与数形结合的推理能力；数学建模：运用平方差公式解决实际问题（如面积计算、简便运算），体会数学模型在解决实际问题中的应用价值.数学运算：熟练掌握公式直接应用、符号变形、整体代换等运算技巧，提升运算准确性与简便运算意识;情境激趣温故导入我去商店买了单价是9.8元/千克的苹果10.2千克，售货员刚拿起计算器说道：9.8×10.2，我就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合！你知道这里的计算有什么技巧吗？复习巩固引出新知计算：（1）(x+1)(x-1)（2）(m+2)(m-2)（3）(2x+1)(2x-1)思考：多项式与多项式的乘法运算是怎样进行的？多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（a+b）（p+q）=

ap+aq+bq+bp=x2–1=m2–4=4m2–1探究本质推导公式计算：（1）(x+1)(x-1)（2）(m+2)(m-2)（3）(2x+1)(2x-1)=x2–1=m2–4=4m2–1都是形如

a+b

的多项式与

a–b

的多项式相乘x2–1m2–22(2m)2–1运算结果都是这两个数的平方的差猜想：(a+b)(a–b)=a2–b2探究本质推导公式(a+b)(a–b)+=a2(–ab)ab(–b2)++证明一：利用多项式乘多项式的法则.=a2–b2探究本质推导公式aba(a–b)纸片剩余面积：a2–b2拼成的长方形面积：(a–b)(a+b)(a–b)(a–b)(a+b)=a2–b2证明二：利用几何图形.b探究本质推导公式（乘法的）平方差公式文字语言

两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差．(a+b)(a−b)=a2−b2.注意用谁减谁平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中

p=a，q=–b

的特殊情形.理解感悟辨析概念思考1：下列各式能否用平方差公式进行计算？思考2：若能，请说出公式中的a和b,以及a2-b2.（1）(1+x)(1-x)（2）(-3+a)(-3-a)（3）(1+a)(-1+a)（4）(-x+1)(-x+1)（5）(0.3m-1)(-1-0.3m)能a=1b=xa2-b2=12-x2能a=-3b=aa2-b2=(-3)2-a2能a=ab=1a2-b2=a2-12不能能a=-1b=0.3ma2-b2=(-1)2-(0.3m)2结构特征：(相同项)2–(相反项)2典例精析规范过程

例1运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x–2)；(2)(–x+2y)(–x–2y).解：(1)原式=(3x)2–22=9x2–4(2)原式=(–x)2–(2y)2=x2–4y2分析：(1)a=___，b=____(2)a=___，b=____3x2–x2y变式训练理解公式（1）(a+3)(a-3)=a2-9变系数（2）(2a+3)(2a-3)=4a2-9变符号（3）(-2a+3)(-2a-3)=4a2-9变位置（4）(3-2a)(-2a-3)=4a2-9变指数（5）(3-2a2)(-2a2-3)=4a4-9变项数（6）(a+b+3)(a+b-3)=(a+b)2-9以不变应万变！典例精析规范过程例2

计算：(1)(x−1)(x+1)(x2+1)；(2)(y+2)(y−2)−(y−1)(y+5)；(3)102×98.

解：(1)原式=(x2−1)(x2+1)=x4−1；(3)原式=(100+2)(100−2)=1002−22=10000−4=9996.(2)原式=y2−22−(y2+4y−5)=y2−4−y2−4y+5=−4y+1能用平方差公式计算吗？通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.学以致用解决问题我去商店买了单价是9.8元/千克的苹果10.2千克，售货员刚拿起计算器说道：9.8×10.2，我就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合！你知道这里的计算有什么技巧吗？9.8×10.2=（10-0.2）×（10+0.2）=102-0.22=99.96综合实践简便运算利用平方差公式计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)

=(28-1)(28+1)

=216+1

归纳梳理深化认知整式的乘法平方差公式特殊情形(a–b)(a+b)=a2–b2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差平方差公式：达标检测教学互评1.下列算式不能运用平方差公式计算的是（

）A.(x+a)(x–a)B.(x+a)(–a+x)C.(a+b)(–a–b)D.(–x–b)(x–b)C2.

下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正?(1)(x+2)(x−2)=x2−2；(2)(−a−2)(a−2)=a2−4；(3)(x+2y)(−x−2y)=x2−4y2；(4)(3a+4b)(3a−4b)=9a2−4b2.不正确不正确不正确原式=x2−4原式=4−a2原式=−x2−4xy−4y2不正确原式=9a2−16b2（1）(a+3b)(a–3b)；（2）(3+2a)(–3+2a)；（3）(xy+1)(x2y2+1)(xy–1)；(1)原式=解：(2)原式=达标检测教学互评

a2–(3b)2=a2–9b2(2a)2–32=4a2–9(3)原式=(xy+1)(xy–1)(x2y2+1)=[(xy)2–12](x2y2+1)=(x2y2–1)(x2y2+1)=(x2y2)2–12=x4y4–1（4）(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2)；(4)原式=达标检测教学互评(3x)2–42–(6x2–4x+9x–6)=9x2–16–6x2–5x+6=3x2–5x–10=3x2–5x–10达标检测教学互评4.运用平方差公式计算：