湖北省省级示范高中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

高二数学试卷考试时间：2025年11月12日14:30-16:30试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.F的左焦点1的直线交椭圆于A,B两点，2为椭圆的右焦点，则2的周长为A.32B.202.已知直线(k-3)x+(4-k)y+1=0与2(k-3)x-2y+3=0平行，那么k的值为()A.C.D4.在空间直角坐标系中，若a=(1,1,-√3),b=(1,-1,x),5.已知直线l:y=kx-2的一个方向向量为(√3,1),则直线l的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验结果，设事件E:x+y=8;事件F:至少有一颗点数为6;事件G:x>4;事件H:y<4.则下列说法正确的是()A.事件E与事件F为互斥事件B.事件F与事件G为互斥事件C.事件E与事件G相互独立D.事件G与事件H相互独立7.若两条直线l₁:y=x+a,l₂:y=x+b与圆x²+y²-4x-2y+m=0(m<5)的四个交点能构成矩形，则a+b=()A.-1B.1C8.已知点P(1,0)及圆C:x²+y²=2,点M,N在圆C上A.[√3-1,√3+1]B.[2-√2,2+√2]C.[2-√3,2+√3]D.[2-√2,2+√3]二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.A,B9.已知椭圆C分别个动点，下列结论中正确的有()A.短轴长是3B.VF₁PF2的周长为15C.离心率D.若∠F₁PF2=90°,11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨设点P的轨迹为圆C,下列结论正确的是()C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l距离为2,该直线斜率为士D.在直线y=2上存在异于A,B的两点D,E,使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.、CD=4e₁+2e₂+8e₃,若A,C,D三点共线，则λ=13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用a1,a2,bi,b2,C1,C2表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件M=14.棱长为√6的正四面体A-BCD中，点M为△BCD所在平面内的动点，且满足AM=√5,则直线四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.4,0.5,0.75,他们能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.3,若后三关之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率；(2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率.(2)求异面直线AC与BD₁所成角的余弦值.17.已知圆C过两点A(-1,1)、B(1,3),且圆心C在直线x-2y+1=0上.(2)求过点P(3,4)的圆C的切线方程；(3)若直线I的横截距为a(a>1),纵截距为b(b>1),直线I被圆C截得的弦长为2√3,求ab的最小(3)线段PC上是否存在一点E,使得平面BDE与平面PAD所成角(即两个平面相交时所成的锐二面角)的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.已知圆与圆相外切.高二数学试卷考试时间：2025年11月12日14:30-16:30试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.F的左焦点1的直线交椭圆于A,B两点，2为椭圆的右焦点，则2的周长为A.32B.20【解析】【分析】根据椭圆的定义，即可求解三角形的周长.2.已知直线(k-3)x+(4-k)y+1=0与2(k-3)x-2y+3=0平行，那么k的值为()【答案】C【解析】【分析】讨论k的取值，结合两直线平行列式求解，即得答案；也可采用排除法.另解：把k=1代入已知两条直线方程，得-2x+3y+1=0与-4x-2y+3=0,此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k≠1,排除A,B,D.A.D【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得.【解析】即可求解.因为a⊥b,可得a·b=1-1-Bx=0,解得x=0,所以b=(1,-1,0),5.已知直线l:y=kx-2的一个方向向量为(√3,1),则直线l的倾斜角为()A.30°B.60°C【解析】【分析】先根据方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角.【详解】已知直线l的一个方向向量为(√3,1),根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率因为直线的斜率且0≤α<π,所6.抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用V表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验结果，设事件E:x+y=8;事件F:至少有一颗点数为6;事件G:x>4;事件H:y<4.则下列说法正确的是()A.事件E与事件F为互斥事件B.事件F与事件G为互斥事件C.事件E与事件G相互独立D.事件G与事件H相互独立【答案】D【解析】【分析】A选项，写出事件E,F包含的情况，得到E∩F≠ø,A错误；B选项，写出事件G包含的情P(EG)≠P(E)P(G),C错误；D选项，写出事件H和G∩H包含的情况，得到P(GnH)=P(G)P(H),D正确.【详解】A选项，事件E:x+y=8包含的情况有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),事件F:至少有一颗点数为6包含的情况有B选项，事件G:x>4包含的情况有故F∩G≠Ø,事件F与事件G不为互斥事件，B错误；C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有6×6=36种情况，事件E∩G包含的情况为(5,3),(6,2),古D选项，事件H:y<4包含的情况有故因为P(GnH)=P(G)P(H),所以事件G与事件H相互独立，D正确.7.若两条直线l₁:y=x+a,l₂:y=x+b与圆x²+y²-4x-2y+m=0(m<5)的四个交点能构成矩形，则a+b=()A.-1B.1C【答案】D【解析】【分析】根据点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意，直线L1,l₂平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且a≠b,由圆x²+y²-4x-2y+m=0的圆心为(2,1),圆心到l2:y=x+b的距离为整理得到(a-b)(a+b+2)=0,-2.故选：D.A.[√3-1,√3+1]B.[2-√2,2+√2]C.[2-√3,2+√3]D.[2-√2,2+√3]【答案】A【解析】【分析】得出答案.值.由图可知PM所在直线斜率k=1,则PM方程为y=x-1,则PM与圆x²+y²=2的两个交点分别为M、M',二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.A,B个动点，下列结论中正确的有()A.短轴长是3B.VF₁PF2的周长为15C.离心率D.若∠F₁PF2=90°,则VF₁PF2的面积为9【解析】股定理以及椭圆的定义求出PF₁||PF2|可判断D.【详解】A,由可得a=5,b=3,c=4,所以椭圆C的短轴长为2b=6,故A不正确；D,Q∠F₁PF₂=90,PF₁l²+|PF₂²=|F所以,故D正确.A.C₁D//平面EFGB.BD₁//平面EFG【答案】ABD【解析】判断D.令AB=2,则C₁(2,2,2),D(0,2,0),B(2,0,0),D₁(0,2,2),E(1,0,0),G(1,1,2),F(2,0,1),B₁(2,0,2),A则EG=(0,1,2),FE=(-1,0,-1),对于A,平面EFG,则CD//平面EFG,A1对于B,i对于C,GF=(1,-1,-1),B₁B=(0,0,-2),CB=(0,-2,0),AB=(2,0,0),11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值入(λ≠1)的点的轨设点P的轨迹为圆C,下列结论正确的是()C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l距离为2,该直线斜率为士D.在直线y=2上存在异于A,B的两点D,E,使得【答案】ABD【解析】【分析】根据A(-4,2),B(2,2),点P满足,设点P(x,y),求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.化简得：x²+y²-8x-4y+4=0,即(x易知直线的斜率存在，设直线l:kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线l距离为2,则圆心到【点睛】关键点点睛：本题关键是根据求出点P的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求12.设向量e₁,e₂,e,不共面，已知AB=3e₁-e₂+2e₃,BC=ei+λe-6e,CD=4e₁+2e₂+8e₃,若A,C,D三点共线，则λ=【答案】0【解析】【分析】方法一、根据题意，得到AC,CD,根据A,C,D三点共线得CD=yAC,再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设el,e2,e₃}为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可.因为A,C,D三点共线，所以存在唯一的实数y,使得CD=yAC,即即即方法二、因为向量e1,e2,e₃不共面，所以可假设{e1,e2,e3}为空间的一个单位正交基底，则AB在此基底下的坐标为(-3,-1,2),同理BC=(1,λ,-6),CD=(4,2,8),若A,C,D三点共线，则AC||CD,解得λ=0.故答案为：0.13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用a1,a2,b1,b2,C1,C2表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件M=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”,则事件M的概率是_【答案】【解析】【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.则从中有放回取出2只的所有可能为：(a1,ai),(a1,a2),(a1,bi),(a1,b2),(a1(az,ai),(a2,a2),(az,bi),(a2,b2),(a(bi,a1),(bi,a2),(bi,bi),(bi,b2),(bi(b2,a1),(b2,a2),(b2,bi),(b2,b2),(b2,(ci,ai),(ci,a2),(ci,bi),(ci,b2),(c其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，14.棱长为√6的正四面体A-BCD中，点M为△BCD所在平面内的动点，且满足AM=√5,则直线【答案】【解析】【详解】首先，记A在底面BCD内的投影为0,则AO⊥底面BCD,因为CO,OMC平面BCD,所以AO⊥因为正四面体A-BCD,所以△BCD是由题意得AM=√5,则OM=√5-22=所以AM=cosa,sinα,-2,BD=d60,)故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.4,0.5,0.75,他们能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.3,若后三关之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率；(2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率.【答案】(1)0.06【解析】【分析】(1)分别求甲、乙能进入政审这一关的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解；(2)分析可知恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】【小问2详解】∠AAD=b·AA=(2)求异面直线AC与BD1所成角的余弦值.【解析】【分析】(1)应用空间向量的加减法计算求解；【小问1详解】BD₁=AD₁-AB=AD+AA₁-AB=-a+b+c;【小问2详解】所以AC·BD₁=(a+b)(-a+b+c)=-a+a-c+b²+b·c=-1+2+4+4=9,BD|=√(-a+b+c)²=√a²+b²+2²BD17.已知圆C过两点A(-1,1)、B(1,3),且圆心C在直线x-2y+1=0上.(1)求圆C的标准方程；(2)求过点P(3,4)的圆C的切线方程；(3)若直线l的横截距为a(a>1),纵截距为b(b>1),直线I被圆C截得的弦长为2√3,求ab的最小值.【答案】(1)C:(x-1)²+(y-1)²=4【解析】【分析】(1)设圆心为C(2t-1,t),根据CA=|CB|结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆C的半径，由此可得出原C的标准方程；(2)分析可知，点P在圆C外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率的存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综合可得出切线的方程；(3)利用直线截圆的弦长可得出圆心C到直线l的距离为d=1,求出直线l的方程，利用点到直线的距离公式可得出ab+2=2(a+b),利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得ab的最小值.【小问1详解】解：因为圆心C在直线x-2y+1=0上，设圆心为C(2t-1,t),因为点A4(-1,1)、B(1,3)在圆C上，所以CH丰CB,所以圆心C(1,1),半径r=|04=2,所以圆的标准方程为C:(x-1)²+(y-1)²=4.【小问2详解】解：由(1)可得圆C:(x-1)²+(y-1)²=4,则圆心C(1,1),半径r=2,因为(3-1)²+(4-1)²>4,则点P在圆C外，当过点P(3,4)的直线斜率不存在，则直线方程为x=3,圆心C到直线x=3的距离为2,故直线x=3为圆C的切线；当过点P(3,4)的直线斜率存在，圆心C到该直线的距离由直线kx-y-3k+4=0可得4k²-12k+9=4k²+4,与圆C相切，则d=r,此时，直线方程为【小问3详解】 由a+b≥2√ab,得ab+2=2(a+b)≥4√ab,(1)证明：平面ABCD⊥平面PAB;(2)求点C到平面PAD的距离；(3)存在，【解析】【分析】(1)由线面垂直得到PA⊥BC,进而得到线面垂直，最后得到平