3.1椭圆及其标准方程课件（第一课时）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线发展简史圆锥曲线最早由古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年-公元前190年），通过平面截圆锥发现，并通过几何法推导出圆锥曲线大部分重要性质。17世纪法国数学家笛卡尔提出平面直角坐标系后，使得圆锥曲线与平面直角坐标系相结合，发现了圆锥曲线的焦点、离心率。平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.平面内一个定点定长问题1

若一个动点的轨迹是圆，则该动点应满足什么条件？课本实验：给你一根细绳和一支铅笔，如何画椭圆？绳长大于两定点间的距离

绳长大于两定点间的距离

绳长等于两定点间的距离

绳长小于两定点间的距离问题3你能归纳出椭圆的定义吗？1.椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距。|MF1|+|MF2|=2aMF1F2记焦距为2c，椭圆上的点M与F1，F2的距离和记为2a.>|F1F2|=2c注重本质、理解概念：定义的数学表达式：思考：为什么要求2a>2c?

当绳长等于两定点间距离即2a=2c时,轨迹为线段；当绳长小于两定点间距离即2a<2c时,轨迹不存在；问题2

回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？建系建立适当的平面直角坐标系设点设曲线上任意一点M的坐标为(x,y)列式找出限制条件P(M)，并列出几何等式代换把坐标代入限制条件P(M)列出方程化简化简方程

类比这个方法，我们开始求椭圆的标准方程建立平面直角坐标系一般遵循的原则：对称、简洁xOyM方案一♦探讨建立平面直角坐标系的方案问题3：如何建立椭圆的标准方程？如何建系？方案二xOy标准方程的推导：F1F2xyM(x,

y)以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．

设M(x，y)是椭圆上任意一点，设M与F1，F2的距离的和等于2a，椭圆的焦距为2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0).

结论：焦点在x轴上的椭圆标准方程为：

思考：如果椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆方程又会是什么呢？

a,b,c的关系：a2=b2+c2总结归纳—椭圆及其标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点坐标三者之间的关系焦点位置的判断OxyOxy“谁大在谁家”

题型一：定义的应用例1平面内到点A(0，－3)和B(3，1)距离的和为6的动点轨迹为(

)A．椭圆 B．圆C．线段 D．射线跟踪训练已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8．求点Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值．A

课堂练习：

18解：由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义得从而b2=a2-c2

=10-4=6.因此,所求椭圆的标准方程为(a>b>0)又c=2,定义法题型二：求椭圆的标准方程

19由已知c=2,得a2-b2=4.①

另解：由题意,椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为你还能用其他方法求它的标准方程吗？联立①②解方程组,得a2

=10,b2=6.所以,所求椭圆的标准方程为(a>b>0)②

待定系数法

20(2)由已知得b2=a2-c2=16-15=1,

解得a=6,b=4.∴a-b=2,c2=a2-b2=(a+b)(a-b),

由2.

求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a=4,b=1,焦点在x轴上;

a-b=2.a+b=10,

课堂练习：小结：求椭圆的标准方程，要先定“位”，

a,b,c满足的关系有：根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值；通用性强，适用于已知椭圆上点的坐标或多个参数的题目。用定义寻找a,b,c的方程；小巧高效，适用于已知焦点坐标和定长的题目。(1)定义法：(2)待定系数法：即求a,b

的大小.即确定焦点的位置；其次是定“量”，求椭圆标准方程的主要方法有：总结归纳—求椭圆标准方程22所以

x2+4y2=4,解:设点M的坐标为(x,y),

例3

如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？因为点P在圆x2+y2=4上,xyMPDO(x,y)所以点M的轨迹是椭圆.相关点代入法即题型四：与椭圆有关的轨迹问题由例2我们发现,圆通过“压缩”可得到椭圆,你能描述一下图像变换的过程吗？23Oxy你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？Oxy纵向压缩圆x2+y2=4x2+(2y)2=4

横坐标保持不变纵坐标变为原来的2倍纵向拉伸

横坐标保持不变纵坐标变为原来的圆x2+y2=4

24所以点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.化简,得点M的轨迹方程为

MOxy解：设点M的坐标为(x,y),得到椭圆的方法有定义，圆的伸缩，到两定点斜率乘积为定值你还有别的方法得到椭圆吗？课堂小结（1）椭圆的定义：（2）椭圆的标准方程：对称美、简洁美

2、本节课的数学方法、数学思想有哪些?（1）具体方法：坐标法、待定系数