3.2.1++单调性与最大（小）值++教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1单调性与最大(小)值教学设计一、教学目标（1）理解函数单调性、最值的定义，掌握单调性判定方法，能求简单函数的最值。（2）通过图像分析与代数证明，提升数形结合能力，培养逻辑推理与抽象概括素养。（3）体会函数变化规律，为解决实际问题奠基，激发数学探究兴趣。二、教学重难点1.教学重点（1）函数单调性定义的理解与单调区间的判断，尤其是含绝对值、分段函数等复杂函数的单调区间分析。（2）用定义证明函数单调性的规范步骤：取值、作差、变形、判断符号、下结论，核心是作差后的变形方向与技巧。（3）函数最大（小）值的定义应用，能结合图像或定义求二次函数、一次函数等常见函数在指定区间上的最值。2.教学难点（1）对单调性定义中“任意两个自变量x₁,x₂”的理解，突破“用特殊值代替任意值”的思维误区。（2）作差变形的技巧性突破，尤其是分式函数、二次函数等类型的作差后因式分解、配方或通分方法。（2）含参数函数的单调性判断与最值求解，需精准把握参数对函数图像的影响，合理分类讨论。（3）区间端点对最值的影响，明确“闭区间”与“开区间”在最值问题上的差异。三、教学方法与工具1.教学方法：采用“问题驱动式”教学法，结合启发引导、小组合作探究与讲练结合模式。通过生活情境引发思考，用图像直观辅助抽象，以例题示范规范步骤，靠变式练习深化理解，实现“感知—概括—应用—提升”的教学闭环。2.教学工具：多媒体课件（动态展示函数图像变化、呈现例题与练习）、几何画板（直观演示单调性与参数的关系）、板书（突出核心定义、证明步骤与思想方法）。四、教学环节设计（一）情境导入，激发共鸣1.展示生活素材：①某快递公司1-12月快递量变化折线图；②某物体沿直线运动的速度-时间图像。2.递进式提问：①从图像中，你能说出快递量（速度）在哪些月份（时间段）呈“上升”趋势，哪些呈“下降”趋势吗？②“上升”意味着当自变量（时间）增大时，函数值（快递量、速度）如何变化？③这种“上升”“下降”是函数的一种重要性质，如何用数学语言精准描述，而不是仅靠“看图像”？3.引出课题：通过学生对生活实例的直观感知，自然引出“函数的单调性”，进而延伸到“单调性与最大（小）值”，激发学生对抽象概念的探究欲望。（二）新知探究，构建体系1.函数单调性：从直观到抽象（1）直观感知：展示三个典型函数图像——①f(x)=2x+1（全定义域递增）；②f(x)=x²（在(-∞,0]递减，在[0,+∞)递增）；③f(x)=-1/x（在(-∞,0)和(0,+∞)分别递增，但不能说在定义域内递增）。引导学生分组讨论：用“当x增大时，f(x)的变化趋势”描述每个函数的图像特征。（2）抽象定义：教师引导学生从“具体数值比较”过渡到“任意性比较”——若仅取两个特殊值x₁<x₂且f(x₁)<f(x₂)，能说函数递增吗？（举例反证：f(x)=x³-3x，取x₁=-1,x₂=0时f(-1)=2>f(0)=0，取x₁=0,x₂=1时f(0)=0<f(1)=-2，说明特殊值不可靠）。由此提炼定义：①增函数：对于函数y=f(x)的定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，则称函数y=f(x)在区间D上是增函数，D称为函数的单调递增区间。②减函数：类比增函数定义，强调“当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)”，明确单调递减区间概念。（3）关键强调：①“定义域I内的某个区间D”：单调性是“局部性质”，而非整体性质（如f(x)=x²）；②“任意两个”：是定义的核心，避免特殊值判断的错误；③区间表示规范：不能用“∪”连接不连续的单调区间（如f(x)=-1/x的递增区间是(-∞,0)和(0,+∞)，而非(-∞,0)∪(0,+∞)）。（4）定义证明：以“证明f(x)=x²在[0,+∞)上是增函数”为例，示范“五步流程”：①取值：任取x₁,x₂∈[0,+∞)，且x₁<x₂；（核心：“任取”体现任意性）②作差：f(x₁)-f(x₂)=x₁²-x₂²；（目标：通过差的符号判断大小）③变形：因式分解得(x₁-x₂)(x₁+x₂)；（关键：将差式化为易判断符号的形式）④判断符号：∵x₁<x₂，∴x₁-x₂<0；又x₁,x₂∈[0,+∞)，∴x₁+x₂≥0，且x₁≠x₂（否则x₁=x₂），故x₁+x₂>0；∴(x₁-x₂)(x₁+x₂)<0，即f(x₁)-f(x₂)<f(x₂)；⑤结论：∴f(x)=x²在[0,+∞)上是增函数。同步提问：若证明f(x)=x²在(-∞,0]上是减函数，变形后的符号判断有何不同？（引导学生自主完成，强化步骤）2.函数最大（小）值：从图像到定义（1）直观感知：展示函数f(x)=-x²+2x+3的图像，提问：①图像的最高点在哪里？该点的函数值与其他点的函数值有何关系？②若限定x∈[0,3]，图像的最低点又在哪里？（2）定义提炼：结合图像特征，抽象出最值定义：①最大值：对于函数y=f(x)，设其定义域为I，如果存在实数M满足：ⅰ对任意x∈I，都有f(x)≤M；ⅱ存在x₀∈I，使得f(x₀)=M。则称M是函数y=f(x)的最大值。②最小值：类比最大值定义，强调“对任意x∈I，f(x)≥m”且“存在x₀∈I，f(x₀)=m”。（3）关键强调：①“任意性”：M是函数值的“上界”，m是“下界”；②“存在性”：必须有某个自变量能取到这个最值，否则不存在（如f(x)=1/x在(0,+∞)上无最大值和最小值）；③区间影响：闭区间上的连续函数一定有最值，开区间不一定（如f(x)=x在(1,2)上无最值）。（4）示例讲解：求f(x)=-x²+2x+3在区间[0,3]上的最大值与最小值。方法1（图像法）：先求对称轴x=1，对称轴在区间内，f(1)=4（最大值）；再算区间端点f(0)=3，f(3)=0，故最小值为0。方法2（定义法）：结合单调性，函数在[0,1]递增，在[1,3]递减，故最大值在x=1处，最小值在端点x=3处。对比总结：图像法直观，定义法严谨，需根据函数类型选择合适方法。（三）巩固练习，深化应用采用“基础巩固—能力提升—拓展创新”三级练习模式，配套详细解析，及时反馈纠错。1.基础题：聚焦核心概念（5分钟，学生独立完成，集体点评）（1）判断函数f(x)=2x-3的单调区间，并说明是增函数还是减函数。（2）求函数f(x)=x²-4x+5在区间[1,4]上的最大值与最小值。2.提升题：突破证明与参数难点（7分钟，小组讨论后展示）（3）证明：函数f(x)=x+1/x在区间(1,+∞)上是增函数。（4）已知函数f(x)=x²-2ax+3在[2,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围。3.拓展题：衔接实际应用（3分钟，启发思考）（5）某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价x（元/件）与销售量y（件）满足y=-10x+500，设利润为w（元），求售价x在[30,40]范围内时，利润w的最大值。（四）课堂总结，梳理脉络1.学生自主梳理：以“思维导图”形式，由学生代表总结本节课核心内容——①单调性的定义与证明步骤；②最值的定义与求解方法；③易错点（如“任意性”“区间表示”“参数讨论”）。2.教师升华总结：强调“数形结合”是研究函数性质的核心思想，“逻辑严谨”是证明问题的基本要求，函数单调性与最值不仅是数学概念，更是描述现实世界变化规律的重要工具，为后续学习导数奠定基础。（五）分层作业，落实目标1.基础作业：教材P86习题3.2第1、3、5题，巩固单调性判断与最值求解的基本方法。2.提升作业：①证明函数数f(x3.拓展作业：探究函数f(x)=x³的单调性，结合定义证明，并思考“奇函数的单调性有何规律？”五、重点知识归纳1.函数单调性核心要点核心要素具体内容定义关键任意x₁,x₂∈D，x₁<x₂时，f(x₁)与f(x₂)的大小关系证明步骤取值→作差→变形→判断符号→下结论常见变形技巧因式分解（二次函数）、配方（二次函数）、通分（分式函数）、有理化（根式函数）区间表示规范不连续区间用“和”连接，不用“∪”；闭区间包含端点，开区间不包含2.函数最值核心要点核心要素具体内容定义关键“任意性”（对所有x∈I成立）+“存在性”（有x₀∈I取到最值）求解方法图像法（看最高点/最低点）、定义法（结合单调性）区间影响闭区间[a,b]：最值可能在端点或极值点；开区间(a,b)：可能无最值常见函数类型二次函数：看对称轴与区间的位置关系；一次函数：在闭区间上最值在端点3.易错点警示混淆“单调区间”与“定义域”：单调性是局部性质，不可脱离区间谈单调性。“特殊值”代替“任意值”：证明单调性时，必须用“任取x₁,x₂”，不能用具体数值举例。参数问题漏讨论：含参数的二次函数，需根据对称轴与区间的位置关系分类讨论单调性。开区间最值错误：如f(x)=1/x在(0,1)上无最大值，不可误认为x趋近于0时函数值为无穷大就是最大值。六、练习及答案解析1.基础题解析（1）解：函数f(x)=2x-3的定义域为R。任取x₁,x₂∈R，且x₁<x₂，则f(x₁)-f(x₂)=2(x₁-x₂)。∵x₁<x₂，∴x₁-x₂<0，故f(x₁)-f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)。∴函数f(x)=2x-3在R上是增函数，单调递增区间为(-∞,+∞)，无单调递减区间。（2）解：函数f(x)=x²-4x+5是二次函数，对称轴为x=2，在区间[1,4]内。①单调性：函数在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增；②最值：最小值在对称轴x=2处，f(2)=2²-4×2+5=1；端点值f(1)=1-4+5=2，f(4)=16-16+5=5，故最大值为5。综上，最大值为5，最小值为1。2.提升题解析（3）证明：①取值：任取x₁,x₂∈(1,+∞)，且x₁<x₂；②作差：f(x₁)-f(x₂)=(x₁+1/x₁)-(x₂+1/x₂)=(x₁-x₂)+(1/x₁-1/x₂)=(x₁-x₂)+(x₂-x₁)/(x₁x₂)；③变形：提取公因式得(x₁-x₂)(1-1/(x₁x₂))=(x₁-x₂)(x₁x₂-1)/(x₁x₂)；④判断符号：∵x₁,x₂∈(1,+∞)且x₁<x₂，∴x₁-x₂<0，x₁x₂>1（故x₁x₂-1>0），x₁x₂>0，∴整个差式<0，即f(x₁)<f(x₂)；⑤结论：∴f(x)=x+1/x在(1,+∞)上是增函数。（4）解：函数f(x)=x²-2ax+3是二次函数，开口向上，对称轴为x=a。二次函数开口向上时，在对称轴右侧单调递增。已知函数在[2,+∞)上递增，故对称轴x=a≤2（若a>2，则区间[2,+∞)跨越对称轴左侧，函数先减后增，不满足单调递增）。∴实数a的取值范围是(-∞,2]。3.拓展题解析（5）解：①构建利润函数：利润w=（售价-进价）×销售量=(x-20)(-10x+500)=-10x²+700x-10000；②分析函数性质：这是开口向下的二次函数，对称轴为x=35，在区间[30,40]内；③求最值：最大值在对称轴x=35处，w=-10×35²+700×35-10000=2250；端点值f(30)=-10×900+21000-10000=2000，f(40)=-10×1600+28000-10000=2000，故最小值为2000。∴售价在[30,40]时，利润w的最大值为2250元。七、教学反思1.学生对“任意性”的理解可能仍存误区，需通过反例反复