3.2.2函数的奇偶性+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

前面我们用符号语言精确地描述了函数图像在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质。单调性复习回顾

函数单调性的定义

函数单调性的定义

这一节我们研究函数的另一种性质。单调性复习回顾奇偶性3.2.2函数的奇偶性

授课教师：肉孜·艾散生活中的对称美新课引入【思考1】哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？【思考2】什么是轴对称图形，什么是中心对称图形呢？轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍然是这个图形的上面，就称图形关于该直线成轴对称图形，这条直线称作轴对称图形的对称轴。中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一点的对称点仍然是这个图形的上面，就称图形关于该点成中心对称图形，这个点称作中心对称图形的对称中心。温故知新请同学们观察下列两个函数的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？可以发现,这两个函数的图像都关于y轴对称。f(x)=x2g(x)=2-|x|问题1：请同学们观察下列两个函数的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？类比函数单调性，你能用数学符号语言准确描述“函数图象关于y轴对称”的这种特征吗?f(x)=x2g(x)=2-|x|问题1：列出x,y的对应值表:x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…g(x)=2-|x|…-2-101210-1-2…新知探究可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值相等。如对函数f(x)=x2，f(-4)=16=f(4)，f(-3)=9=f(3)，f(-2)=4=f(2)，f(-1)=1=f(1)列出x,y的对应值表:x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…g(x)=2-|x|…-2-101210-1-2…新知探究我们发现，表格中列出的点具有上述性质，那么表格中没有出现的点是否也具有相同的性质呢？比如f(-2.5)=f(2.5)吗？问题2：x-xf(x)=x2f(x)f(-x)事实上，∀x∈R,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)具备这样特征的函数，我们称为偶函数函数f(x)=x2,x∈[-1,2]呢?函数f(x)=x2,x∈[-2,2]的图像关于y轴对称吗？它是偶函数吗？【思考3】结论：偶函数的定义域必须关于原点对称。偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D且f(-x)=f(x)那么函数f(x)叫做偶函数.新知探究函数的定义域关于原点对称必要条件：

偶函数

图像关于y轴对称代数特征几何特征偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D且f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数.新知探究函数的定义域关于原点对称必要条件：定义中，的常见变形有：

刚才两个函数图像关于y轴对称，那么现在又观察一下这两个函数图像有什么共同特征呢？可以发现,这两个函数的图像都关于原点对称。问题3刚才两个函数图像关于y轴对称，那么现在又观察一下这两个函数图像有什么共同特征呢？你能用数学符号语言准确描述“函数图象关于原点对称”的这种特征吗?问题3列出x,y的对应值表:x…-4-3-2-101234…

f(x)=x…-4-3-2-101234……-11…可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数。如对函数f(x)=x，有f(-4)=-4=-f(4)，f(-3)=-3=-f(3)，f(-2)=-2=-f(2)，f(-1)=-1=-f(1)列出x,y的对应值表:x…-4-3-2-101234…

f(x)=x…-4-3-2-101234……-11…同样地，表格中没有出现的其他点也符合上述规律，比如f(-2.5)=-2.5=-f(2.5)，具备这样特征的函数，我们称为奇函数。函数f(x)=x,x∈[-2,2]的图像关于原点对称吗？它是奇函数吗？函数f(x)=x,x∈[-1,3]呢?【思考4】结论：奇函数的定义域必须关于原点对称。问题4:类比偶函数的定义，大家能否用符号语言表述“函数图像关于原点对称”这一特征呢？奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D且f(-x)=-f(x)那么函数f(x)叫做奇函数.奇函数

图像关于原点对称代数特征几何特征注意：如果奇函数在处有定义，则

函数的定义域关于原点对称。必要条件：新知探究奇函数

图像关于原点对称代数特征几何特征新知探究定义中，的常见变形有：

新知探究追问：偶函数和奇函数定义中的“∀”可以删去吗？显然不可以，函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性。新知探究偶函数和奇函数相同点与不同点有哪些？相同点：①

定义域关于原点对称；定义域②

都是函数的整体性质。新知探究偶函数和奇函数相同点与不同点有哪些？不相同点：①

当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值是一对相反数；域②

偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像关于原点对称。解：函数f(x)定义域为R，∵∀x∈R,都有-x∈R，∴函数f(x)是偶函数【例题】判断下列函数的奇偶性：

且f(-x)=(-x)4=x4=f(x)解：定义域为R，定义域关于原点对称，∴函数f(x)是奇函数【例题】判断下列函数的奇偶性：

且

f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)∴f(x)是奇函数解：定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称

【例题】判断下列函数的奇偶性：

解：定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数【例题】判断下列函数的奇偶性：

课堂练习归纳总结刚刚我们解决了好几个函数的奇偶性有关的问题，那么同学们能不能归纳证明函数的奇偶性，有哪些步骤吗？根据奇（偶）函数的定义判断一个函数的奇偶性，我们可以按如下步骤进行：第一步，求出函数的定义域；第二步，判断定义域是否对原点对称，如不是对原点对称则函数不具有奇偶性，如果定义域对原点对称，则进行第三步；第三步，计算

f(-x)，若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数；若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，则f(x)是非奇非偶函数；若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。利用定义判断函数奇偶性的方法：一看看定义域定义域是否关于原点对称非奇非偶函数否二算

否非奇非偶函数三判断

偶函数

奇函数即奇函数又偶函数是是

1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整；Oxyf