4.1.1++n次方根与分数指数幂+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

长沙市明达中学高一数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂必修第一册高一数学组新课标人教版高中数学学习目标教学目标素养目标1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.(重点)3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质.(重难点)数学抽象数学建模引言公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数

的诞生.这就是本节课我们要学习的根式.新知探究——n次方根与根式问题1

(1)若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x2＝－3呢？(2)若x3＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x3＝－3呢？(3)若x4＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x4＝－3呢？(4)若x5＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x5＝－3呢？新知探究——n次方根与根式问题2

根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？当n为偶数时呢？新知探究——n次方根与根式知识梳理——n次方根与根式n次方根n为奇数n为偶数a∈Ra>0a＝0a<0x＝____x＝_____x＝0不存在根式根指数被开方数1.n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的

，其中n>1，且n∈N*.2.n次方根的性质3.根式式子

叫做

，这里n叫做

，a叫做

.4.根式的性质(1)

没有偶次方根.负数0a

，a≥0，－a，a<0a知识梳理——n次方根与根式知识梳理——n次方根与根式注意点：例1

化简下列各式：典例解析——n次方根与根式典例解析——n次方根与根式反思感悟——n次方根与根式跟踪训练1

化简下列各式：∵a≤1，∴3a－3≤0，跟踪训练——n次方根与根式跟踪训练——n次方根与根式问题3

观察下列各式，你能得出什么结论？提示通过观察两式可以得出，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.新知探究——分数指数幂问题4

类比以上两式，你能运用分数指数幂表示出下列各式吗？由此你能得出什么结论？可以得出：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.新知探究——分数指数幂提示能.新知探究——分数指数幂根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数幂的意义是

＝_____(a>0，m，n∈N*，n>1).(2)规定正数的负分数指数幂的意义是

＝

＝_____(a>0，m，n∈N*，n>1).(3)规定0的正分数指数幂等于

，0的负分数指数幂

.注意点：分数指数幂

不可理解为

个a相乘，它是根式的一种写法.0没有意义知识梳理——分数指数幂例2

求值：(1)

；

＝23＝8.(2).典例辨析——分数指数幂例3

用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a>0)：典例辨析——分数指数幂根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数

分数指数的分母，被开方数(式)的指数

分数指数的分子.(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.反思感悟——分数指数幂跟踪训练——分数指数幂原式＝a·＝

.跟踪训练——分数指数幂问题6

整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂吗？提示可以.新知探究——有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).知识梳理——有理数指数幂的运算性质知识梳理——有理数指数幂的运算性质注意点：(1)有理数指数幂运算性质的记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘；例4

计算下列各式(式中字母均是正数)：(1)

；原式＝典例辨析——有理数指数幂的运算性质原式＝

＝a0＝1.典例辨析——有理数指数幂的运算性质关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.反思感悟——有理数指数幂的运算性质跟踪训练3

计算下列各式(式中字母均为正数)：(1)

·(－3a－1b)÷；·(－3a－1b)÷＝跟踪训练——有理数指数幂的运算性质(2)

.

＝a.跟踪训练——有理数指数幂的运算性质1.知识清单：(1)n次方根的概念、表示及性质.(2)根式的概念及性质.(