高考备考教案数学 第七章 突破2 空间几何体的截面(交线)问题

第七章立体几何与空间向量突破2空间几何体的截面(交线)问题目

录Contents01练习帮练透好题精准分层命题点1

截面的形状问题例1

[多选/2023岳阳市联合体联考]用一个平面截正方体，所得的截面不可能是

(

BCD

)A.锐角三角形

B.直角梯形C.有一个内角为75°的菱形

D.正五边形BCD训练2例1训练1例2训练3例3[解析]对于A，如图1，截面的形状可能是正三角形，故A可能；对于B，首先考虑

截正方体得到的截面为梯形，且

QR

与

AA

1不平行，如图2所示，不妨假设

PQ

⊥

QR

，因为

AA

1⊥平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

PQ

⊂平面

A

1

B

1

C

1

D

1，所以

AA

1⊥

PQ

，又

AA

1与

QR

相交，所以可得

PQ

⊥平面

A

1

ABB

1，这是不可能的，故B不可能；对于C，当平面截正方体得到的截面为菱形(非正方形)时，只有如下情形，如图3，其中

P

，

R

为所在棱的中点，易知当菱形为

PBRD

1时，菱形中的锐角取得最小值，训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3思维拓展1.正方体的基本截面用一个平面截正方体，可以得到的截面形状如下：横截竖截斜截正方形正方形如图所示注意

正方体的斜截面不会出现直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形.训练2例1训练1例2训练3例32.圆柱体的基本截面用一个平面截圆柱，可以得到的截面形状如下：横截竖截斜截圆形，如图1矩形，如图2如图3，4，5所示训练2例1训练1例2训练3例3训练1

[2024江西高三联考]已知在长方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

BB

1＝2

BC

，点

P

，

Q

，

T

分别在棱

BB

1，

CC

1和

AB

上，且

B

1

P

＝3

BP

，

CQ

＝3

C

1

Q

，

BT

＝3

AT

，则平面

PQT

截长方体所得的截面形状为(

C

)A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形C训练2例1训练1例2训练3例3[解析]如图，连接

QP

并延长，交

CB

的延长线于点

E

，连接

ET

并延长，交

AD

于

点

S

，过点

S

作

SR

∥

EQ

交

DD

1于点

R

，连接

RQ

，则五边形

PQRST

即平面

PQT

截

该长方体所得的截面多边形.故选C.训练2例1训练1例2训练3例3命题点2

截面的面积问题例2

[全国卷Ⅰ]已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α

截此正方体所得截面面积的最大值为(

A

)A训练2例1训练1例2训练3例3[解析]如图，记该正方体为

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1，要使正方体的每条棱所在直线

与平面α所成的角都相等，那么平面α必须与正方体的体对角线

AC

1垂直.连接

B

1C

，

B

1

D

1，

CD

1，易知平面α与平面

B

1

CD

1平行或重合.设截面与棱

A

1

D

1，

A

1

B

1，

BB

1，

BC

，

CD

，

DD

1的交点分别为

E

，

F

，

G

，

H

，

I

，

J

.

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧求解截面的面积(或面积的最值)问题，关键是准确判断截面的形状.(1)如果截面的几何图形确定，那么可以利用平面几何知识求出其面积的大小；(2)如果截面的几何图形不确定，那么可以讨论截面几何图形面积的最大、最小值，

此时求解需要根据题意设立相关点的位置参量，建立截面面积的目标函数，然后利

用函数知识求解.注意

在求解截面面积的最值时，需要根据几何体和截面的变化来确定相关参量的

取值范围.训练2例1训练1例2训练3例3

ABCA.对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形B.当AC⊥BD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ是正方形C.当m＝1时，截面MNPQ的周长与n无关D.当AC⊥BD，且AC＝BD＝2时，截面MNPQ的面积的最大值为2训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3命题点3

截面的交线问题

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧1.作截面的三种常用方法一是直接法，解题关键是截面上的点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，可以

直接借助基本事实2作出截面.二是作平行线法，解题关键是截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一

条直线与几何体的某一个面平行，可借助线面平行的性质定理和面面平行的性质定

理作出截面.三是延长交线得交点，解题关键是截面上的点中至少有两个点在几何体

的同一个面上，可通过由作延长线得到的交点辅助得出截面与立体几何图形的交

点，进而得交线和截面图形.2.求解截面的交线长度问题，关键是准确找到截面与几何体相交的轨迹形状，突破

口是找到截面与几何体的公共点的位置和变化轨迹.常见的轨迹形状为特殊四边形

(正方形、平行四边形、菱形、梯形)的组合图形、圆周或圆弧、圆锥曲线的部分等.训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

1.[2023长沙重点中学摸底考试]棱长为2的正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的所有顶点均

在球

O

的球面上，

E

，

F

，

G

分别为

AB

，

AD

，

AA

1的中点，则平面

EFG

截球

O

所

得圆的半径为(

B

)

B1234567892.[2023南通市部分学校第一次联考]祖暅是南北朝时代的伟大数学家，他于公元5世

纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等

高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现

有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图

④分别是圆锥、圆台和半球，则可以用来验证祖暅原理的两个几何体为

(

D

)①

②

③

④A.①②B.①③C.②④D.①④D123456789

1234567893.[2024安徽滁州中学模拟改编]如图，已知四面体

ABCD

的各条棱长均等于4，

E

，

F

分别是棱

AD

，

BC

的中点.若用一个与直线

EF

垂直，且与四面体的每一个面都相

交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大

值为(

B

)B.4D.6B123456789

1234567894.[2023福州质检]已知正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱长为4，

E

，

F

分别是棱

AA

1，

BC

的中点，则平面

D

1

EF

截该正方体所得的截面图形周长为(

D

)A.6[解析]如图，取

CC

1的中点

G

，连接

BG

，则

D

1

E

∥

BG

，取

CG

的中点

N

，连接

FN

，

D

1

N

，则

FN

∥

BG

，所以

FN

∥

D

1

E

.

延长

D

1

E

，

DA

交于点

H

，连接

FH

交

AB

于点

M

，连接

ME

，则平面

D

1

EF

截该正方体所得的截面图形为多边形

D

1

EMFN

.

D123456789

1234567895.[2023广西联考]已知正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的外接球表面积为27π，点

E

为棱

BB

1的中点，且

DE

⊥平面α，点

C

1∈平面α，则平面α截正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1

所得的截面图形的面积为(

D

)D123456789

123456789

1234567896.[多选/2023襄阳市三校联考]已知正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱长为2，直线

AC

1⊥平面α，平面α截此正方体所得截面有如下四个结论，其中正确的是

(

ACD

)A.截面形状可能为正三角形B.截面形状可能为正方形C.截面形状不可能是正五边形ACD123456789

123456789

123456789

123456789

[解析]如图所示，取

AB

的中点为

E

，连接

CE

，

DE

，因为四面体

ABCD

是正四面

体，所以

AB

⊥

CE

，

AB

⊥

DE

，又

CE

∩

DE

＝

E

，

CE

，

DE

⊂平面

CDE

，所以

AB

⊥平面

CDE

.

123456789

123456789

[解析]

如图，正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，设

CD