高考数学分项版解析 专题11 概率和统计、算法 理-天津版高三数学试题

第十一章概率和统计、算法

一.基础题组

1.【2005天津，理7】某人射击•次击中的概率是0.6,经过3次射击，此人至少有两次击

中目标的概率为

A81„54八36八27

A、——B、——C、——1)、——

125125125125

【答案】A

【解析】三次射击行为互不影响。击中两次的可能性为C；(O.6『(O.4)i,击中3次的可

能性为C；(OS7(04广,经计算C；(0.6)2(0.4广+C；(0.6)'(0.4)3-3=2

本题答案选A

2.12005天津，理15】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利

12%,一旦失败，一年后将丧失全部资金的50他下表是过去200例类似项目开发的实施结

果：

投资成功投资失败

192次8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是(元)。

【答案】4760

192-8

【解析】投奥成功的概率是碗，失败的概率是碗，所以所求的数学期望应该是:

50000x^1^xl2%-^x50%^-5x(129x6-4x50)-4760

本题答案填写：

■4760■________________

3.12009天津，理5】阅读下面的程序框图，则输出的S等于()

A.26B.35C.40I).57

【答案】C

【解析】实质是求数列an=3n—1的前5项和,对应的S=40.

4.【2009天津，理11】某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生.为了调查这些学生勤工

俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380

名学生,B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取名学生.

【答案】40

【解析】由题知C专业有学牛」200—380—420=/100,那么（:专业应抽取的学生数为

…八400，八

120x-----=40

1200名.

5.【2010天津，理4】阅读下边的程序框图，若输出s的值为一7,则判断框内可填写（）

A./<3?B./<4?C.7y5?I)./<6?

【答案】D

【解析】由s=2,i=l,s=2—1=1,i=3,s=l—3=—2,i=5,s=—2—5=—7,i=

7.

可知应填i<6?.

6.12010天津，理11】甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间

一列的数字表示零件个数的H立数，两边的数字表示零件个数的个位数.则这10天甲、乙

两人日加工零件的平均数分别为__________和—

【答案】2423

18+19+20+22+23+21+20+35+31+31~

【解析】解析：/----------------------------------------------------------------------=24,

1()

19+17+11+21+24+22+24+30+32+30

-23

10

7.12011天津，理3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出，•的值为

A.3B.4C.5D.6

（开始）

【答案】B

'【解析】i=l时，a=lxl+l=2；-

i=2时，a=2x2+1=5j

I■

i=3时，0=3x5+1=16；

i=4时，o=4xl6+l=65>50,.•・$就i=4,故选B.

I■I

8.12011天津，理9】一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法

从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为—.

【答案】12

n=21

【解析】设抽取男运动员人数为〃，则4848+36,解之得〃=12.

9.12012天津，理3】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入*的值为一25时,

输出*的值为（）

A.-1B.1C.3D.9

【答案】C

【解析】x=|-25|>1,x=J-25|-1=4;

x=|4|>l,x=〃-1=1;

x=|l|>l不成立，

.*.x=2Xl+l=3.

10.【2012天津，理9】区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法

从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中

学中抽取所学校.

【答案】189

【解析】共有学校150+75+25=250所，.••小学中应抽取:30x受=18所,中学中应抽

250

取：30x二=9所.

250

11.【2013天津，理3】阅读下边的程序框图，运行相应的程序.若输入x的值为1,则输

出S的值为（）.

/¥45/

A.64B.73

C.512I).585

【答案】B

【解析】由程序框图，得x=l时，S=l：x=2时，S=9：x=4时，S=9+64=73,结束循

环输出S的值为73,故选B.

12.12013天津，理4】已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的上，则其体积缩小到原来的1;

28

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

③直线＞+y+l=0与圆相切，

2

其中真命题的序号是（）.

A.①②®B.①@

C.①③D.②g

【答案】C

【解析】设球半径为R，缩小后半径为r,则而V=±兀『=

23

兀叱，所以该球体枳缩小到原来的故①为真命题：两组数

33（2J838

据的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x2+y2=1的圆心到I'[线x

+y_H=O的距离＜]=j==Y2,因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为

V22

真命题.故选C.

13.12014天津，理3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）

(A)15(B)105(C)245(D)945

【答案】B.

rEWl-1

试题分析：采用多摩法引出运算各步结果

勺=Lj=lfr=3,S=lx3=3J=2f7=5,S=3x5=15J=3fT=7,S=15x7=lO5/=4,结束■

JI法，愉出5=105,故选B.

■■■

考点：算法与程序框图.

14.12014天津，理9】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用

分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生.中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该

校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6,则应从一年级本科

生中抽取名学生.

【答案】60.

【解析】

4

试题分析：应从•年级抽取300?------------60名.

4+5+5+6

考点：等概型抽样中的分层抽样方法.

15.（2015高考天津，理3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）

(A)-10(B)6(C)14(D)18

【答案】B

【解析】模拟法：输入S=20,i=l；

i=2xLS=20—2=18,2>5不成立；

i=2x2=4,S=18-4=14,4>5不成立

1=2x4=8,5=14-8=6»8>5成立

输出6,故选B.

【考点定位】本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.

16.12015高考天津，理16】(本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比

赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙

协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(【)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”

求事件A发生的概率；

(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】(I)£；

(11)随机变量X的分布列为

X1234

1331

P

147714

E(X)=|

【解析】(D由己知，有

pgC：C；+C；C；6

r(A)=———-=—

Ct35

所以事件A发生的概率为9.

35

(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4

z-fA：zi4-A

尸（丫=劝=爷_@=1,234）

所以随机变量X的分布列为

【考点定位】占典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.

17.12016高考天津理数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为

n=1

结束

（A）2（B）4

（C）6（D）8

【答案】B

【解析】

试题分析：依次循环：S=8,〃=2;S=2,〃=3;S=4,〃=4,结束循环，输出S=4,选B.

【考点】循环结构的程序框图

【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关

概念，包括选择结构、循环结构，其次要重视循环起始条件、循环次数、循环终止条件，更

要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求顶.

18.[2016高考天津理数】某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动

次数为1,2.3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座

谈会.

（I）设/为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件/发生的概率；

（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和

数学期望.

【答案】（1）,；（II）详见解析.

3

【解析】

试题分析：（I）先确定从这1。人中随机选出2人的基本事件种数：再确定选出的2人参加义工活动

次数之和为4所包含基本事件数：c；c：+c；,最后根据概率公式求概率（n）先确定随机变量的可能取值

为0,12再分别求出对应概率，列出分布列，最后根据公式计算数学期望.

C'C1+C2I1

试题解析：解：⑴由已知，有P（A）=3-4-3=、，所以,事件A发生的概率为一.

'C；。33

（II）随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P（x=。”受等4

jo

Go15

P（X=2）=等

VIO

所以，随机变量X的分布列为

X012

474

P

1515L5

474

随机变量X的数学期望七（X）=Ox石+1X石+2x石=1.

【考点】概率、随机变量的分布列与数学期望

【名师点睛】求均值、方差的方法：

I.已知随机变星的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义（公式）求解：

2.已知随机变量，的均值、方差，求，的线性函数的均值、方差和标准差,

可直接用f的均值、方差的性质求解；

3.如能分析所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），可直接利用它们

的均值、方差公式求解.

二.能力题组

1.12006天津，理18】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为:，且各次

射击的结果互不影响。

（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）：

（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）：

（3）设随机变量J表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求4的分布列.

【答案】（1），（2）.

3

【解析】解：（1）.・・每次射击击中目标的概率为勺，

且各次射击的结果互不影响，

・•・射手在三次射击时，每一个事件之间的关系是相互独立的,

设“射手射击1次，击中目标”为事件A

则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率

P1=P（A•/■彳）一尸（彳■/・/）一产（4・/・/）

=1X1X2-2X3X3_3X3X3=63

555555555125

（2）二•射手第3次击中目标时，恰好射击了4次，

表示在这四次射击时，前三次恰有两次击中目标，第四次一定击中目标，

・•・射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率

2.12007天津，理18】已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同

的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.

（1）求取出的4个球均为黑色球的概率；

（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（III）设彳为取出的4个球中红球的个数，求〈的分布列利数学期望.

【答案】（D1（IDA（m）4的分布列为

40123

1731

P

515To30

4的数学期望片4=0*1+1乂1+2乂3+3又-!-=2.

51510306

【解析】

(工)解：设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事

件A,B相互独立，目

p21C：2

•^―9

C5,

故取出的4个球均为黑球的概率为

121

P(4・6)=P(仆P(B)=1x^=^.

(II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，I

个是黑球”为事件C,“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出

的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C,D互斥，且

c：C\.C\4C\clI

P(C)==.^L=：,P(£>)=E.W=」

c：Cl15C；Cl5

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为

4I7

P(C+D)=P(C)+P(D)=—+-=—.

(in)解:(可能的取值为o,L23.由(D,(口)得

17

P(f=0)=-,P(^=l)=-,

J1J

又—3)啥*=看

3

从而P«=2)=l-P((f=0)-P(^=I)-P«=3)=-.

4的分布列为

C

g012J

\_731

p

5151030

~八1,7c3cl7

Eg=0x—4-1x—+2x--F3x—=一

的数学期望51510306.

3.12008天津，理18］甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为L

2

与p，且乙投球2次均未命中的概率为」

16

（1）求乙投球的命中率〃；

（II）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为g,求4的分布列和数学期望.

3

【答案】（I）一，（II）2

4

【解析】解：

（I）设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B

由题意得

（I-P（B））2=（I-P）2=±

16

353

解得〃二一或二（舍去），所以乙投球的命中率为二

444

（II）由题设和（I）知p⑷=L咐=L?（B）=q,而|=：

4可能的取值为0,1,2,3,故

雄=0）=响而㈤!用/

3117

2XXX

-一

4-4-2-

32

i/qVn

P（^=3）=P（A）P（BB）=-x-=—

zIq./3乙

^=2）=1-P仁=0）-P（J=1）-哈3）=称

4的分布列为

0123

17159

P

32323232

15.2=2

J的数学期望EJ=0x3-Fix--+2nx—+3x

4.[2009天津，理18]在10件产品中，有3件一等品,4件二等品，3件三等品.从这10件产

品中任取3件，求:

(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

931

【答案】3)历：川)西

【解析】解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为Gl，从10件产品中任取3件，其中

恰有k件一等品的结果数为C；。尸，那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的

概率为

「女「13-氏

P(X=k)=3二,k=o,1,2,3.

Go

所以随机变量X的分布列是

X0123

72171

P

244040Ho

79|719

X的数学期望EX=Ox—+lx-+2x—+3X」一二N

24404012010

⑵设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和

2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事

件A3.由于事件Al,A2,A3彼此互斥，且A=A1UA2UA3,

C'C2371

而「但)=胃=左，P(4)=P(X=2)=左，P(A.)=P(X=3)=—,

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为

37131

2(4)=尸(4)+尸(4,)+尸(4)=—+—+——=——.

■4040120120

2

5.12010天津，理18】某射手每次射击击中目标的概率是且各次射击的结果互不影响.

3

(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率：

(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；

(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分.在3次

射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加I分.若3次全击中，则额外加

3分.记f为射手射击3次后的总得分数，求f的分布列.

【答案】（1）毁，（2）g，（3）

2438

€01236

12488

P

T792727Z7

2

【解析】解：（1）设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X〜B（5,-）,在5次射击

3

中，恰有2次击中FI标的概率P（X=2）=C；X（：）2X（l-；）3=w.

⑵设“第i次射击击中目标"为事件/"=123,4,5）射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2

次未击中目标”为事件A,则

尸（⑷二尸（444工五）+P（4444兀+尸（Z4444）

=(?)3X(l)a4-lx(-)3xl+(i)3X(-)3=—.

333333381

（3）由题意可知,€的所有可能取值为0,1,2,3,6.

------------11

3

〃(4=o)=〃(A4A3)=(-)=—；

尸(f=1)=P(4&4)+P(A44)+?(4A?4)

22

=lx(-!-)+lx-xi+(l)x-=-;

33333339

——2124

P(&=2)=P(A\A,虺)=-X-X—=一：

•33327

P(f=3)=尸(44A?)+P(A44)=(-)2X-+-X(2)2=_L

33332*7

八R

P(f=6)=^(AiAzAz)=(-)3=—.

327

所以€的分布列是

01236

12488

P

7792727Y7

三.拔高题组

1.12011天津，理16】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个

黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱

子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.1每次游戏结束后将球放回原

箱)

(I)求在1次游戏中，

(i)摸出3个白球的概率;

(ii)获奖的概率;

(II)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).

]_2_Z

【答案】(I)二：(II)10：(III)5'

【解析】(I)(i)解：设“在I次游戏中摸出i个白球”为事件4=(，=04，2,3),则

21

P(4)=与C.C与」I.

c；C；5

(ii)解：设“在1次游戏中获奖”为事件B,则8=又

尸⑶-或%*；或一1

且A2,A3互斥，所以尸(B)=P(4)+P(4)=g+g=3-

(II)解：由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.

7n9

P(X=0)=(l--)2=—.

10100-

7771

P(T=1)=C^—(1—)=—

101050:

7i49

P(X=2)=(—/=—.

10100

所以X的分布列是

xo2

p92149

10050Too

921497

E(X)=0x——+lx—+2x——=-.

X的数学期望100501005

2.12012天津，理16】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加

者选择.为增加趣味性，约定：每个人逋过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,

掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

(1)求这1个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)用尤V分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记f=X-Y\,求随机变

量f的分布列与数学期望£(f).

Q

【答案】(D—，

27

这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为g,去参加乙游戏的概率

【解析】解：依题意,

设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=O,1,2,3,4),

12「

则p(4)=c;qy(§)4T.

122

22

⑴这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)-C*(-)(-)-^.

(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则8=

A3UA4.由于A3与A4互斥，故

P(B)=P(A3)-t-P(A4)

=c*(g)+c：(y

所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为

（3）自的所有可能取值为0,2,4.

由于A1与A3互斥，AO与A4互斥，故

g

P（€=O）=P（A2）=—,

27

40

P（^=2）=P（A1）4-P（A3）=—,

o1

17

P（^=4）=P（A0）+P（A4）=一.

81

所以自的分布列是

g024

84017

p

278181