专题03 空间向量中的探索性及最值（范围）问题（压轴题7大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

1/10专题03空间向量中的探索性及最值（范围）问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 2类型一、平行中的探索性问题 2类型二、垂直中的探索性问题 3类型三、距离中的探索性问题 6类型四、线面角的最值（范围）问题 7类型五、线面角中的探索性问题 9类型六、二面角、平面与平面所成角中的最值（范围）问题 10类型七、二面角、平面与平面所成角中的探索性问题 13压轴专练 151、用向量法处理立体几何中的探索性、存在性问题探索性、存在性问题是条件不完备、结论不确定的问题,利用向量的方法将这类问题由立体几何问题转化为代数的方程(不等式)的解的问题,考查了化归、转化的数学思想,培养了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.2、用向量的坐标运算解决几何问题用向量的坐标运算解决几何问题,使几何问题代数化,以数助形,体现了数形结合的思想.同时本题还运用了方程的思想,通过列方程、解方程使问题得以解决.这足以说明“向量的坐标运算”是“几何”与“代数”间的一座新的桥梁.这类问题的基本形式是判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立,解决这类问题的基本策略是假设题中的数学结论成立,在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定证明.3、对于存在判断型问题：通常应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.4、对于位置探究型问题：通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.类型一、平行中的探索性问题利用空间向量证明平行关系的方法和步骤1、要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上.2、要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内.3、要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行).一、解答题1．（24-25高二上·广东佛山·月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题：(1)证明：直线平面；(2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．2．（23-24高二上·湖北孝感·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由.3．（23-24高二下·江苏南京·月考）如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点.(1)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值；(2)是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.类型二、垂直中的探索性问题利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤1、要证明线线垂直，需证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.2、要证明线面垂直，需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或先通过向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明.3、要证明面面垂直，需证明两个平面的法向量垂直.一、解答题1．（23-24高二上·四川成都·月考）如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.(1)证明：当为棱的中点时，平面；(2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由.2．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．(1)设平面平面，若P为的中点，求证：；(2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．3．（24-25高二上·浙江嘉兴·月考）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

(1)证明：平面平面；(2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．(3)点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．4．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点.(1)若，证明：平面；(2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由.5．（24-25高二上·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.

(1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.类型三、距离中的探索性问题一、解答题1．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点.(1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.2．（24-25高二上·广东梅州·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．

(1)求平面与平面的夹角余弦值；(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．3．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点.(1)若，求证：平面；(2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由.类型四、线面角的最值（范围）问题一、解答题1．（2025·湖南·三模）如图，在长方体中，，，，点是棱的中点，点，分别是线段，的中点.(1)求证：平面平面；(2)平面与平面的交线记为直线，点为直线上一动点，求直线与平面所成角的范围.2．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，，，，.

(1)求证：平面；(2)过直线与线段的中点E的平面与线段交于点F.（i）试确定F点位置；（ii）若H点为线段上一动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值.3．（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为．(1)求圆台的体积；(2)设，分别是圆台的两条母线．（ⅰ）求证：；（ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．4．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点．(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．(3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围.类型五、线面角中的探索性问题一、解答题1．（23-24高二上·北京顺义·期中）在梯形中，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面.

(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且.(1)求线段的长；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.3．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，．(1)求该多面体的体积V；(2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．4．（23-24高二下·广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．

(1)当为何值时，平面平面?(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．类型六、二面角、平面与平面所成角中的最值（范围）问题一、解答题1．（24-25高二上·山东枣庄·月考）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面，.

(1)若点为EF的中点，求平面APB与BFC的交线与平面ABCD所成的角正弦值(2)点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.2．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．．(1)证明：平面(2)证明：(3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．3．（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N．(1)求证：;(2)记二面角的大小为，求的最大值．4．（24-25高二下·河南商丘·月考）如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为.(1)求的长；(2)若平面，请确定点的位置；(3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.5．（23-24高二上·上海奉贤·月考）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的大小；(3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.6．（24-25高二下·河南新乡·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，为锐角，，，分别是，，的中点．(1)证明：∥平面．(2)求二面角的余弦值的最大值．类型七、二面角、平面与平面所成角中的探索性问题一、解答题1．（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为．(1)求直四棱柱的高；(2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由．2．（23-24高二上·河北邯郸·月考）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上的一点．(1)求证：；(2)线段上是否存在点使得平面与平面所成面面夹角为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.3．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．

(1)证明：平面；(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．4．（23-24高二上·湖南娄底·月考）如图，在三棱柱中，平面，．(1)求证：；(2)若，在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为．5．（24-25高二上·广东深圳·月考）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且，.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由一、解答题1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点.(1)在平面内确定一点，使平面；(2)证明：棱上不存在点，使平面平面.2．（2024·贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点.(1)证明:平面；(2)求直线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由.3．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由．4．（24-25高二上·山东临沂·月考）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．(1)求证：平面；(2)求点B到平面的距离；(3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．5．（20-21高二上·北京朝阳·期末）在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分别为棱的中点.（I）求点F到直线EC的距离；（II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；（III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平面EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由.6．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．(1)求线段的长度；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．7．（2025·山东青岛·三模）如图，已知底面是正三角形，平面，平面，．(1)若，是中点，证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．8．（2024·四川南充·二模）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，．(1)证明：平面PAC；(2)，是否存在常数，满足，且直线AM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．9．（24-25高二上·四川德阳·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点.(1)若为中点，证明：平面；(2)若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由.10．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体.(1)求证：平面平面；(2)若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由.11．（24-25高二上·辽宁大连·月考）如图，在三棱柱，平面平面，四边形为矩形，，且.(1)求二面角的正弦值(2)设为棱上的