专题04 空间向量在立体几何中的折叠、轨迹、截面问题的应用（压轴题3大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

1/10专题04空间向量在立体几何中的折叠、轨迹、截面问题的应用注意：本节专题提前涉及到直线与圆的部分简单概念目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、折叠问题 1类型二、轨迹问题 4类型三、截面问题 7压轴专练 10类型一、折叠问题解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。一般步骤：①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；③利用判定定理或性质定理进行证明。一、解答题1．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．

(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.2．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）如图甲，已知在等腰梯形中，AB∥CD，且，，且，沿AE将折起使平面平面，如图乙．

(1)求点E到平面的距离；(2)设P为棱DC上一点（不与P，C重合），当二面角为60°时，DP与DC的比值．3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面.(1)若是中点，证明：平面；(2)若是直线的一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值.4．（24-25高二上·浙江金华·月考）如图，是正方形的中心，把正方形沿对角线折成二面角，，分别为，的中点，

(1)当折成直二面角时（图1），求直线与所成角的大小；(2)当折成二面角的平面角为（图2），求直线与平面所成角的正弦值．5．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点．(1)证明：；(2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值；(3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值．6．（24-25高二上·云南昆明·期末）如图，平面四边形中，，且，现将△沿折起，使得，如图．(1)证明：平面⊥平面；(2)点在线段上，平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．7．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.(1)求证：平面；(2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离；(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.类型二、轨迹问题1、由动点保持平行性求轨迹（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.2、动点保持垂直求轨迹（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹.4、由动点保持等角（或定角）求轨迹（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面；（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；（3）利用空间坐标系计算求轨迹.5、投影求轨迹（1）球的非正投影，可能是椭圆面；（2）多面体的投影，多为多边形.6、翻折与动点求轨迹（1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利用空间坐标运算求轨迹.一、单选题1．（24-25高二上·重庆·月考）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．22．（23-24高二上·四川泸州·月考）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（

）.A． B． C． D．3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（24-25高二上·福建三明·月考）在正方体中，，，则（

）A．若，则点的轨迹为线段B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段C．若，则三棱锥的体积为定值D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为5．（23-24高二上·山东·月考）在棱长为2的正方体中，点在底面正方形内及边界上运动，则（

）A．存在点，使得平面B．若，则动点的轨迹长度为C．若平面，则动点的轨迹长度为D．若平面，则三棱锥的体积为定值三、填空题6．（24-25高二上·安徽铜陵·期末）正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为．7．（24-25高二上·安徽·期中）如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为．类型三、截面问题1、截面问题的理论依据（1）确定平面的条件①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线（3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（4）如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行2、截面问题的基本思路（1）定义相关要素①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.（2）作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面3、作截面的具体步骤（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面4、作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点方法：两点成线相交法或者平行法特征：①三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；②“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.方法一：相交法，做法如下图.方法二：平行线法，做法如下图.5、正方体中的基本截面类型一、单选题1．（24-25高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（

）

A． B． C． D．二、多选题2．（24-25高二上·福建泉州·月考）如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，过AE的截面与棱，分别交于点F，G，则下列说法中正确的是（）A．线段长度的取值范围是B．当点F与点B重合时，三棱锥的体积为C．存在点F，使得D．当点F为棱中点时，截面的周长为3．（24-25高三上·云南曲靖·月考）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（

）A．当平面时，不可能垂直B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C．当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为D．当时，的最小值为三、填空题4．（24-25高二上·上海徐汇·期中）棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为．5．如图所示的一块长方体木料中，已知，设E为底面ABCD的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为．

6．（24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为.一、单选题1．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（

）A．

B．

C．

D．

二、多选题3．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（

）

A．存在点满足B．满足的点的轨迹长度是C．满足平面的点的轨迹长度是D．满足的点的轨迹长度是4．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）如图，在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，是侧面内的动点，是空间内任意一点，下列说法中正确的是（

）A．存在点，使B．若，则动点的轨迹为圆的一部分C．当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为D．，直线与所成角的正切值的取值范围为5．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（

）A．过点的平面截该正方体所得截面面积为B．当平面时，点的轨迹长度为C．当时，三棱锥的体积为D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为三、填空题6．如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为．7．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则长方体的外接球表面积为，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为．8．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为.

四、解答题9．（24-25高二上·湖北襄阳·月考）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示．(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成线面角为，求的最大值．10．（24-25高二上·湖北武汉·期末）如图（1），在平面四边形中，，，，，过点作，垂足为.如图（2），将沿折起，使得点到达点处，且.(1)证明：.(2)若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.11．（24-25高二上·山东泰安·期末）如图，在平面四边形中，，点满足，，将沿折起至位置，使得点不在平面内．(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．12．（24-25高二上·湖北十堰·期中）如图1，在梯形中，为的中点，与交于点.将沿折起到的位置，得到三棱锥，使得二面角为直二面角（如图2）.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的大小；(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.13．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，使得，点是线段上的动点（包含端点）.

+(1)若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证