专题08 直线与方程重点题型全归纳（压轴题8大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）一（原卷版）

1/10专题08直线与方程重点题型全归纳目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、直线与线段有交点问题 1类型二、斜率公式的应用（三点共线） 2类型三、斜率公式的几何意义 3类型四、两条直线平行与垂直 4类型五、直线的截距式方程 6类型六、直线过定点问题 7类型七、直线的交点坐标 8类型八、直线中点到点、点到线、线到线的距离公式 9压轴专练 11类型一、直线与线段有交点问题倾斜角与斜率的关系直线的情况平行于轴由左向右上升垂直于轴由左向右下降的大小的取值范围不存在的增减性—随的增大而增大—随的增大而减增大一、单选题1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（）A． B． C． D．3．（24-25高二上·广东阳江·月考）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（

）A． B． C． D．二、填空题5．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是．类型二、斜率公式的应用（三点共线）解决三点共线的步骤第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步；第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线．一、单选题1．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（

）A． B． C．2 D．42．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题3．（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则．类型三、斜率公式的几何意义利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意1、直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）；2、在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理．一、填空题1．若，则的取值范围为.2．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是．3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为．类型四、两条直线平行与垂直1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．3、一般式方程下的平行与垂直（1）平行与垂直的系数关系已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0）①若②若（2）平行与垂直的直线系方程①平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为②垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为一、单选题1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（

）A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-14．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知，直线，，若，则（

）A． B． C． D．二、解答题5．（24-25高二上·广东江门·期中）已知直线和点.(1)求经过点，且与直线平行的直线的方程；(2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程：类型五、直线的截距式方程1、截距式方程应用的注意事项（1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；（3）要注意截距式方程的逆向应用．2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择（1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于轴的直线的斜率为0，垂直于轴的直线的斜率不存在．（2）若已知直线的斜率，通常用斜截式．（3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合．（4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化．一、单选题1．（24-25高二上·浙江·月考）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限2．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·湖南·月考）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为．5．（24-25高二上·上海·月考）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为．类型六、直线过定点问题直线方程过定点问题常用的三种方法（1）直接法：将方程化为点斜式，其中为参数，求得直线恒过定点．（2）分离参数法（方程法）：将方程变形，把作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得的值，即直线过的定点的坐标．（3）赋值法（特殊法）：因为参数取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，即为直线过的定点的坐标．一、单选题1．（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．3．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(

)A． B． C．5 D．10二、填空题4．（24-25高二上·福建泉州·月考）当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为.5．（24-25高二上·湖南常德·月考）已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是.类型七、直线的交点坐标过两条直线交点的直线系方程设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0），则我们将直线方程（其中为参数，且）称为经过直线与交点的直线系方程．当时，此方程即为直线的方程；当时，此方程即为直线的方程．一、单选题1．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（

）A． B． C． D．二、填空题2．（23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为．3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为.三、解答题4．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程．类型八、直线中点到点、点到线、线到线的距离公式1、平面上两点间的距离公式的应用平面内两点，间的距离公式为：.【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：．（1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解．（2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形．2、点到直线距离公式的应用点到直线的距离（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可．（2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．（3）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点求的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解．（4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题．平行线间距离公式的应用两条平行直线，，它们之间的距离为：【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等．（1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点，转化点到直线的距离求解．（2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为，，那么两条平行直线间的距离．一、单选题1．（2025高二·全国·专题练习）到直线的距离为1的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（

）A． B． C．或 D．或3．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（

）A． B．C． D．4．函数的最小值为（

）A．5 B． C． D．5．（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为．7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点，，，则的形状为．8．（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为．9．两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为．10．（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为．11．已知，，则的最小值为.三、解答题12．（25-26高二上·全国·课后作业）设直线，，其中实数，满足．(1)证明直线与相交；(2)证明直线与的交点到原点的距离为定值．一、单选题1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·上海·月考）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·陕西西安·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A． B．C． D．6．（23-24高二上·江苏盐城·月考）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（

）

A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.87．（24-25高二上·山东临沂·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（

）A．； B．；C．； D．；8．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足，，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（

）A． B． C． D．10．已知、，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题11．（24-25高二上·全国·课后作业）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（

）A． B． C． D．三、填空题12．（2025高二·全国·专题练习）已知两直线，，则，则.13．（24-25高二上·重庆·月考）过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为.14．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为；15．（24-25高二下·上海·月考）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为.16