专题10 圆的方程重点题型全归纳（压轴题11大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

1/10专题10圆的方程重点题型全归纳目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、求圆的方程 1类型二、点与圆的位置关系 3类型三、圆中过定点的问题 4类型四、圆的方程中对称条件的突破 4类型五、圆的轨迹方程与实际问题 5类型六、直线与圆的位置关系判断及参数问题 6类型七、切线方程、切线长、切点弦问题 7类型八、直线与圆相交（含弦长问题） 9类型九、圆与圆的位置关系及参数问题 10类型十、公切线问题 12类型十一、公共弦问题 13压轴专练 13类型一、求圆的方程求圆的方程的两种方法1．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程：(1)圆心在点，且过点；(2)过点和点，半径为；(3)过三点.2．（23-24高二上·辽宁·期中）分别求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点，圆心在轴上；(2)经过直线与的交点，圆心为点.3．（23-24高二上·四川遂宁·月考）分别根据下列条件，求圆的方程：(1)过点，，且圆心在直线上；(2)过、、三点．4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的圆的方程（用标准式表示）(1)圆心为且经过点(2)经过两点且圆心在直线上(3)圆心在正半轴上，并且与直线都相切类型二、点与圆的位置关系一、判断点与：位置关系的方法1、几何法（优先推荐）设到圆心的距离为，则①则点在外②则点在上③则点在内2、代数法将点带入：方程内①点在外②点在上③点在内二、已知点和圆的一般式方程：（）则点与圆的位置关系：①点在外②点在上③点在内在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（

）A．点在圆上 B．点在圆内C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定2．（24-25高二上·浙江台州·期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（）A． B．C． D．4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（

）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定5．“”是“圆不经过第三象限”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件类型三、圆中过定点的问题1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（

）A． B．C． D．2．（24-25高二下·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点3．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：．(1)当取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点．类型四、圆的方程中对称条件的突破1．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．3．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知圆关于直线对称，则实数（

）A．4 B．5 C．6 D．84．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（

）A． B． C． D．类型五、圆的轨迹方程与实际问题1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法（1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．（2）定义法：根据圆的定义列方程求解．（3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．（4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．2、坐标法求轨迹方程的步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；（2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标；（3）列式：列出关于的方程；（4）化简：把方程化为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．1．（24-25高二上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是．2．（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（

）A． B．C． D．3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（

）A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线4．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（

）A．5 B． C．15 D．5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（

）A．（且） B．（且）C．（且） D．（且）6．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（

）A． B． C． D．类型六、直线与圆的位置关系判断及参数问题直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能3．若直线与圆相切，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．已知直线和圆相离，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（

）A．4 B．2 C．1 D．3类型七、切线方程、切线长、切点弦问题1、求圆的切线方程的三种方法（1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程．（2）代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程．（3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程．2、与圆的切线相关的结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过上一点的圆的切线方程为：（3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：．（4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（

）A． B．C． D．2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（

）A． B． C． D．53．（24-25高二下·云南·开学考试）过点作的切线，切点分别为，则（

）A． B． C． D．24．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（

）A． B． C．±3 D．5．（24-25高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．6．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则．7．（25-26高二上·河南驻马店·月考）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点．(1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；(2)求弦的中点M的轨迹方程．类型八、直线与圆相交（含弦长问题）弦长问题（1）利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．（3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．1．（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（

）A． B． C．2 D．3．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·福建厦门·期末）轴被圆截得的弦长为．5．（25-26高二上·全国·课后作业）经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是．6．（24-25高二上·湖北孝感·月考）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点.(1)求点M的轨迹方程；(2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程．7．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)问是否存在满足以下两个条件的直线：①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.8．在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点．(1)若直线l的斜率为1，求；(2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．类型九、圆与圆的位置关系及参数问题（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d．位置关系外离外切相交内切内含图示交点个数01210d与，的关系（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．消元，一元二次方程1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切2．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离3．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2025高二·全国·专题练习）已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（

）A．1或3 B．2 C．3 D．1或56．（24-25高二下·河南信阳·月考）已知圆和圆相切，则类型十、公切线问题1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．2、两圆公切线的条数位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数4条3条2条1条无公切线3、两圆公切线方程的确定（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（

）A．3 B．5 C． D．43．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选题）与圆和圆都相切的直线方程可能为（

）A． B．C． D．4．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是．5．（24-25高二上·山东潍坊·月考）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为.6．圆与圆的一条公切线长为（填入一个答案即可）．类型十一、公共弦问题1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程3、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．1．（24-25高二下·海南海口·月考）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为．2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为．3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为．1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（

）A． B． C． D．无数条2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（

）A．外离 B．相切C．内含 D．相交3．（24-25高二上·江苏·期中）已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．设直线与圆相交于两点，且，则为（

）A．2 B． C．3 D．5．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（

）（参考数据，）.A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（

）A．B．C．D．8．已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．9．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（23-24高二上·重庆·月考）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切11．（24-25高二上·广东梅州·期末）（多选题）圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（24-25高二上·广东深圳·期末）（多选题）已知圆，圆，则（

）A．的面积为B．若，则内切C．若外切，则D．当时，相交弦所在直线的方程为13．（23-24高二上·山东青岛·期中）（多选题）已知圆，圆，则下列说法正确的是（

）A．点在圆内B．圆上的点到直线的最小距离为1C．圆和圆的公切线长为2D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为14．（多选题）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（

）A．圆与圆内切 B．C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为15．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是.16．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若圆与圆外切，则.17．（24-25高二下·湖南·月考）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为．18．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是条．19．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为.20．（24-25高二上·上海·随堂练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为．21．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是．22．（24-25高二上·广东潮州·