专题11 直线和圆的方程中的最值（范围）及新定义问题（压轴题9大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

1/10专题11直线和圆的方程中的最值（范围）及新定义问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、点到直线的距离最值（范围）问题 1类型二、两点间的距离最值（范围）问题 4类型三、两平行线间的距离最值（范围）问题 8类型四、三点共线类的最值（范围）问题（含将军饮马） 10类型五、点与圆的位置关系最值（范围）问题 16类型六、直线与圆中的位置关系中的最值（范围）问题 19类型七、圆与圆中的位置关系中的最值（范围）问题 24类型八、代数式的几何意义类最值（范围）问题 28类型九、直线与圆中的新定义问题 34压轴专练 39类型一、点到直线的距离最值（范围）问题点到直线的距离公式：点到直线的距离．1．（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.【详解】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小，点到直线的距离，故、两点间距离的最小值为.故选：B.2．（24-25高二上·四川绵阳·月考）若点在直线：上，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．5 D．3【答案】A【分析】根据表达式特征求出点到直线的距离即可.【详解】易知代表点与点之间的距离，因此当两点连线与直线垂直时，取得最小值，其最小值为点到直线的距离.故选：A3．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线不过第二象限，则原点到直线的距离的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线不过第二象限，可得到的范围，再由点到直线的距离可求出其范围.【详解】，即令，解得，∴直线过定点∵直线不过第二象限，∴或，解得则原点到直线的距离故选：B4．已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得.【详解】因为两直线交于，则，即，且，则；由原点到直线的距离由，则，当且仅当时，取最大值，此时.即两直线重合时，原点到直线的距离最大.故选：B.5．（24-25高二下·上海松江·月考）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为．【答案】【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可.【详解】由，即，令，解得，则直线恒过定点，当时，点到直线的距离最大，此时最大距离为.故答案为：.6．（24-25高二上·福建厦门·月考）已知实数，则的取值范围是．【答案】【分析】设直线，则的几何意义为点到直线的距离，求解即可.【详解】设直线，设点，则点到直线的距离为，因为，所以，则直线的斜率为，若直线的斜率不存在，，所以，当时，，所以.故答案为：.类型二、两点间的距离最值（范围）问题点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：．1．（25-26高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解．【详解】由所求的式子的形式想到距离之差，，可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差，则（当且仅当三点共线时取等号），所以的最大值为．故选：B.2．（24-25高二上·北京·月考）若点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C．13 D．【答案】C【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值.【详解】因为点在直线上运动，所以，所以，表示轴上一点到两定点的距离之和.在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以，当三点共线时，，此时最小值为，即的最小值为.故选：C.3．（23-24高二上·山东枣庄·月考）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据题意，作出点(或点)关于直线的对称点（），作直线（）与直线相交，则交点则就是使取最大值的点,求出点（点）坐标，即得最大距离即（）.【详解】如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值.(原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时,在直线上另取点,连接,则,)不妨设点，则有：解得：即,故故选：C.4．（23-24高二上·河南·月考）函数的最小值为．【答案】【分析】分析可知，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，数形结合可知，当点、、三点共线时，取最小值，即可得解.【详解】因为，所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，即，如下图所示：由图可知，当点、、三点共线时，取最小值，且.故答案为：.5．（23-24高二上·江苏无锡·月考）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为．【答案】【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案.【详解】相当于动点到的距离之和，因为四边形为矩形，所以，所以当为矩形对角线交点时，，此时最小，最小为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小.类型三、两平行线间的距离最值（范围）问题直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：．1．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知分别是直线与上的动点，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得的最小值即为两平行直线与的距离，代公式计算可得．【详解】，直线与平行，的最小值，即为两平行直线与的距离，化直线方程为，由平行线间的距离公式可得故选：B．2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值.【详解】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，又点是直线上的动点，点是直线上的动点，且直线与直线平行，所以的最小值即为直线与直线之间的距离，所以的最小值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解.3．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案.【详解】由题意知实数满足，则，故点在直线上，点在直线上，而表示点和点之间的距离的平方，故的最小值为两平行线和间距离的平方，最小值为，故选：B4．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是.【答案】5【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案.【详解】由于直线，整理得：，故，解得，即直线恒过点，则过点作直线，且，则最大距离为点与点的距离，即.故答案为：55．两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为．【答案】【分析】由过定点的两条平行直线可得，极限思想可得出其最小要大于重合时的距离，最大时为与直线垂直时.【详解】由极限思想可得，两直线的距离，而当平行线，与直线垂直时，两平行线的距离最大，即，所以，．故答案为：类型四、三点共线类的最值（范围）问题（含将军饮马）1、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则AP+BPmin=AB'(当点2、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP3、点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB 1．（24-25高二上·安徽六安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出点A关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果．【详解】设关于直线的对称点，如图所示，则且，解得，即，则，在直线上取点P，由对称性可得，所以，当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立，所以，“将军饮马”的最短总路程为．故选：B．2．（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆的性质可知，求点C关于l的对称点为，根据对称性转化，并结合几何性质运算求解.【详解】因为圆的圆心为，半径，因为，当且仅当点在线段上时，等号成立，设点C关于l的对称点为，则，解得，即，则，所以的最小值为．故选：C.3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，圆，点在圆上，点在圆上，点在轴上，则的最大值为（

）A． B． C． D．9【答案】D【分析】结合图形，先得到，作圆关于轴的对称圆，则得，则，即当三点共线时，取得最大值.【详解】如图，由圆，圆可得，两圆半径依次为，因点是轴上一点，点分别是圆和圆上一点，则，如图作圆关于轴的对称圆，其圆心为，半径为，由图知，则，当且仅当三点共线时，等号成立，即的最大值为9.故选：D.4．（24-25高二下·浙江·期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为．【答案】【分析】作出点关于轴的对称点为，由圆的几何性质可得出，即可得解.【详解】如下图所示：点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为，由于为轴上的动点，由对称性知，所以，当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.5．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为【答案】【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值.【详解】如图，设关于直线的对称点为，则，解得，则，于是，结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值，即取得最小值为故答案为：6．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有．(1)求点的轨迹方程；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）设，和列方程化简可得；（2）求出点关于直线的对称点为，结合图形分析即可得解.【详解】（1）设，如图，连接，为切点，，由勾股定理得，又，，，整理得．点的轨迹方程为．（2）如图，作出直线，设关于直线的对称点为，连接，则，解得，．连接，则，当三点共线时，取得等号．则的最大值为．类型五、点与圆的位置关系最值（范围）问题1、若点M在圆内，则MNmin=2、若点M在圆外，则MNmin=3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，为圆半径，则PEmin=P1．（23-24高二上·四川广安·月考）已知点，点Q为圆上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先确定点在定直线上，根据的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径求解.【详解】因为，所以在直线即上.又圆心到直线的距离为：，所以的最小值为：.故选：C2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（

）A． B． C．4 D．2【答案】B【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径，设关于直线的对称点为，则，解得，则，，所以“将军饮马”的最短路程为.故选：B

3．（23-24高二上·江苏无锡·期中）（多选题）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】ABC【分析】根据的取值，计算的取值范围，即可判断选项.【详解】圆，代入点，则，则点在圆外，所以的最大值为，最小值为，，所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7.故选：ABC4．设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为．【答案】【分析】求出的值，即可得出的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，因为，所以的最大值为．故答案为：.5．（24-25高二下·上海·月考）已知实数满足关系：，则的最小值.【答案】【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，进而求解即可.【详解】把圆的方程化为标准方程得：，则圆心坐标为，圆的半径，设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离，而圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的距离的最小值为.故答案为：.类型六、直线与圆中的位置关系中的最值（范围）问题1、圆上的点到直线的最大、最小距离设圆心到直线的距离为，圆的半径为（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和；（2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和，此时；（3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和0．2、设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为1．（24-25高二下·河南商丘·月考）直线被圆截得的最短的弦长为（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解.【详解】原圆方程配方得，所以圆心为，半径，因为直线，所以直线过定点，因为定点和圆心的距离，所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为，所以弦长最短为.故选：C.2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离.【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径.根据点到直线的距离公式，则.根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径.由勾股定理，当取最小值时，最小，此时.故选：B.3．已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将直线方程变形求出直线所过的定点，再结合点与圆的位置关系，分析点到直线距离的最值情况，进而确定距离的取值范围.【详解】直线：，可化为，由，解得，，所以过定点，又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径，所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为，此时，所以直线的斜率为1，即，无解，故直线不存在，所以；当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0，故点到直线的距离的取值范围为．故选：B．4．（24-25高二上·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圆心到直线的距离，可求出点到直线距离的最大值，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，则，点到直线距离的最大值为，所以，面积的最大值为.故选：A.5．（24-25高二上·海南·月考）曲线与直线有公共点，则k的取值范围是.【答案】【分析】通过化简知曲线是圆心为，半径为的上半圆，再借助数形结合的方法，利用直线与半圆相切时直线的斜率可得结果.【详解】直线过定点，由得，故曲线是圆心为，半径为的上半圆，如图所示：当直线与半圆相切时，设切线倾斜角为，，则，∴切线的斜率，所以曲线与直线有公共点，则k的取值范围是.故答案为：.6．直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为．【答案】【分析】先结合题意并利用圆的性质得到，进而分析出当最大时，的值最小，再利用圆的性质得到此时，进而结合斜率公式求出，再利用点到直线的距离公式求出，最后利用勾股定理求出的最小值即可.【详解】因为直线与圆交于两点，所以当的值最大时，其为圆的直径，而的最大值为4，得到，则圆的方程为，设圆心到直线的距离为，如图，记圆心，直线必过定点，由圆的性质得，当时，最大，此时的值最小，由斜率公式得，此时，由题意得，则，由点到直线的距离公式得，由勾股定理得，解得，综上可得的最小值为.故答案为：7．（24-25高二下·上海·期中）已知为圆上一动点，则的最大值为．【答案】8【分析】设，由题意直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离与半径的关系可以求解.【详解】设，则在直线上，又因为在圆上，所以直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，解得.所以的最大值为.故答案为：.类型七、圆与圆中的位置关系中的最值（范围）问题1．已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为.【答案】12【分析】用数形结合可知的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径求解即可.【详解】设圆的圆心为，圆的圆心为，所以，

如图，可知，的最大值是圆心距加两个圆的半径，即.故答案为：122．（24-25高二上·江苏常州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上任一点，点为的中点，若点满足，则线段长度的最大值为.【答案】7【分析】相关点法求出点的轨迹方程，得到点在以为圆心，1为半径的圆上，直接法得到点在圆上，数形结合得到当点时，取得最大值，最大值为7.【详解】设，由于，点为的中点，故的坐标为，将其代入中得，，化简得，即点在以为圆心，1为半径的圆上，设，则，整理得，故点在圆上，画出两圆，可以看出当点时，取得最大值，为7.故答案为：73．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是．【答案】【分析】先得到，设关于直线的对称点为，求出的最小值，进而得到的最小值．【详解】的圆心为，半径为1.，圆心为，半径为2．因为，所以两圆相离，如图所示．则，当且仅当三点共线，三点共线且在之间，在之间时，等号成立．设关于直线的对称点为，连接，与直线交于点，此时，故即为的最小值，故的最小值为．故答案为：.4．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为；若点是圆上的动点，则的最大值为【答案】/【分析】根据直线经过定点以及两直线垂直可判断的轨迹是以的中点为圆心，即可根据圆心和半径求解轨迹，利用圆心距与半径的求解最值.【详解】因为直线，即，令，解得，可知直线过定点，同理可知：直线：过定点，又因为，可知，所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心，为半径的圆，故点的轨迹为圆；的圆心，半径，所以的最大值是．故答案为：，5．已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为.【答案】【分析】设关于直线的对称点为，求出，要使的值最大，转化为（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，利用该直线过两点可得答案.【详解】设关于直线的对称点为，则，解得，故，则圆关于对称的圆的方程为，要使的值最大，则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，且该直线过两点，如图，其最大值为.

故答案为：.类型八、代数式的几何意义类最值（范围）问题1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率；2、形如，可以转化为点和点的距离的平方；3、形如，可以转化为动直线纵截距1．已知实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，将其看作直线，由题知直线和圆有公共点，则利用圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，即可求出结果.【详解】设，将其看作直线，由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，即，解得，所以的最大值为，即的最大值为故选：D2．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知为圆上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆的性质及斜率坐标公式求解即得.【详解】圆的圆心，半径，依题意，，可看作圆上任意一点与定点确定直线的斜率，当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，如图，当直线切圆于点时，取得最大值，切圆于点时，取得最小值，直线，，直线的斜率，所以的最小值为.故选：D

3．（24-25高二上·安徽·月考）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，，的几何意义是圆上的点与点连线的斜率，设过点的圆的切线方程为：，即，圆心到切线的距离，解得：，，.故选：C.4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值.【详解】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，又点是直线上的动点，点是直线上的动点，且直线与直线平行，所以的最小值即为直线与直线之间的距离，所以的最小值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解.5．（25-26高二上·宁夏银川·月考）若对圆上任意一点的取值与x，y无关，则实数a的可能取值是（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【分析】利用几何意义得到的取值要想与x，y无关，只需圆位于直线与之间，利用点到直线距离公式列出不等式，求出a的取值范围，结合选项即可求解.【详解】设，设表示点到直线的距离，表示点到直线的距离，即，显然与平行，要使z为定值，则只需与分别在圆的两侧且与圆相离或相切，所以，即，解得或，当时，与位于圆心的同一侧，不合要求，舍去；当时，与位于圆心的两侧，满足题意.故，结合选项知选项D符合题意．故选：D6．（多选题）已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最大值为【答案】CD【分析】设，则只需直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围，可判断A；同理可判断D；设，利用几何意义求得t的范围判断B；设，则直线和圆有公共点，进而可得不等式求得k的范围判断C.【详解】由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为，对于A，设，则只需直线与圆有公共点，则，解得，

即的最大值为，A正确；对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，而上的点到原点距离的最大值为，即t的最大值为，故的最大值为，B正确；对于C，设，则，则直线和圆有公共点，则，解得，即的最大值为，C错误；对于D，设，则直线与圆有公共点，则，解得，即的最大值为，D错误；故选：CD7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知x和y满足，则的最大值为，最小值为.【答案】【分析】由题意知表示圆上的点到坐标原点距离的平方，先求出原点到圆心的距离为，圆上的点到坐标原点的最大、小距离为，求解即可.【详解】的圆心为，，由题意知表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点到圆心的距离为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为，最小距离为，因此的最大值和最小值分别为和.故答案为：；.8．（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是．【答案】【分析】根据条件得到点在以为圆心，为半径的半圆上，而表示半圆上的点与点连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果.【详解】由得到，所以是以为圆心，为半径的半圆，如图所示，令，即，由图知，当过点时，最小，将代入，得到，当与半圆相切时，最大，由，得到，解得或（舍），所以的取值范围是，故答案为：.类型九、直线与圆中的新定义问题1．（24-25高二上·全国·课后作业）对于平面直角坐标系中任意两点，，我们将定义为PQ两点的“耿直距离”.已知，，，，设是平面直角坐标系中的一个动点，若使得点M到A，B，C，D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过所求图形，求出最小值，利用特殊点求解点到A、B、C、D的“耿直距离”之和，逐项判断即可．【详解】由题意可知满足所有阴影，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12.当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12，排除C；当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为14，排除A；当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12，排除D.故选：B2．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】分析得到点，的“对称距离”，相当于点关于直线：的对称点与点的距离，设圆关于的对称圆为圆，转化为两圆上的点，的距离的最小值，由于两圆外离，点到的距离的最小值的两倍即为所求，得到答案.【详解】点，的“对称距离”，相当于点关于直线：的对称点与点的距离，所以当点，在圆上时，点在圆关于的对称圆上，又圆心到直的距离，所以圆与相离，从而圆与圆外离．所以，的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点，的距离的最小值，也即点到的距离的最小值的两倍，其中点到的距离最小值为圆心到直的距离减去半径，即，所以所求最小值为．故选：D3．（23-24高二下·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设，，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为【答案】【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解.【详解】由题意得，圆，圆心，半径，设点，则，故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，则，，则，即的最大值为.故答案为：.4．（24-25高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，定义点到直线的有向距离.(1)若直线，分别求；(2)若点，直线满足，点是上的动点，求的最小值；(3)若是圆上一动点，直线，求的取值范围.【答案】(1)，.(2)10(3)【分析】（1）根据有向距离的定义直接代入计算可得结果；（2）分情况讨论直线斜率是否存在，再利用点关于直线对称问题求得两点间距离公式计算可得结果；（3）利用参数方程思想设点，求出关于的表达式，再由三角函数值域即可求得结果.【详解】（1）由有向距离的定义可知，.（2）若的斜率不存在，设其方程为，则，所以，不符合题意，故的斜率存在，设其方程为，即，则，解得，所以的方程为.易知点位于直线的同侧，设点关于的对称点为，则解得，即.，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为10.（3）设.由题可得，所以.因为，所以，所以的取值范围是.5．（24-25高二上·江西·月考）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”(1)求点P所在曲线的方程.(2)已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.（ⅰ）求直线的方程.（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）存在，【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程；（2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解；（ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解.【详解】（1）因为点P为圆A的“黄金点”，所以，即，所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，故点P所在曲线的方程为（2）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则所以，即点P在圆上，则P是圆和的交点.因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，故直线的方程为.(ii)设的圆心为，半径为，的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S到直线的距离为，则，所以圆H的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.【点睛】关键点点睛：在（2）(ii)中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题.1．（23-24高二上·四川雅安·月考）已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解.【详解】的圆心为，半径为，由题意得，故在圆外，所以的最大值为．故选：D2．（24-25高二上·广东深圳·月考），分别为直线与上任意一点，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值.【详解】由，可得两条直线相互平行，所以最小值为平行线之间的距离，可化为，所以，.故选：A3．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系可知，点P到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径．【详解】圆C的方程可化为，所以，半径，则C到直线l：的距离为，所以所求距离的最小值为．故选：C4．（24-25高二上·江苏·期中）已知，为上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】的最小值即为与的距离的平方的最小值，然后求点到直线的距离即可求解.【详解】由于，所以的最小值即为与的距离的平方的最小值，则点到直线上的最小值即为点到直线的距离，故，所以的最小值为.故选：C.5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两圆的位置关系数形结合计算即可.【详解】易知圆的圆心为原点，半径，由圆，故其圆心为，半径，两圆圆心距为，所以两圆相交，则，如图所示.故选：A6．（24-25高二上·湖北·期中）已知实数，满足方程，则的最大值为（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】根据点和圆、直线和圆的位置关系求得正确答案.【详解】由得，所以在以为圆心，半径为的圆上，表示圆上的点和点连线的斜率，设过的圆的切线方程为，到直线的距离，解得或，所以的最大值为.故选：D7．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足，，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，是直线上的点，是直线上的点，则两直线平行，的最小值是平行直线之间的距离的平方，可得最小值为.故选：D8．（24-25高三上·湖南衡阳·月考）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．3【答案】C【分析】求出切线长，得出最小时，最小，再由点到直线距离公式求解可得.【详解】连接，则，当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为，则，故的最小值为.故选：C.9．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解.【详解】由得，直线经过定点，如图，，当直线与半圆相切时，，所以恰有两个公共点时，由图可知，，故选：D．10．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，作圆关于轴对称的圆，其圆心因此，当且仅当是线段与轴的交点时取等号，所以的最小值为.故选：C11．（24-25高二上·陕西·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】可以验证点与点关于直线对称，从而，结合三角不等式即可得解.【详解】设，注意到点，，所以中点为，满足，且，所以点关于直线对称，从而，等号成立当且仅当三点共线，所以的最大值为.故选：A.12．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得.【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为，由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，由图可知，当且仅当共线时取等号，因为，所以的最小值为.故选：B

13．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】求出点C关于直线的对称点，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答.【详解】点在直线上，圆的圆心，半径，而点在圆上，则，因此，令点关于直线对称点，，则有，解得，即，因此，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号，直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点，所以当点与重合时，，.故选：C14．（24-25高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得.【详解】因为表示到点和的距离之和.又在直线上，关于的对称点为，所以，三点共线时等号成立，所以，所求最小值为：.故选：B15．已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，利用数形结合转化求解即可．【详解】因为，、，在圆上，，因为，则是等腰直角三角形，表示、到直线的距离之和的倍，原点到直线的距离为，如图所示：，，是的中点，作于，且，，，，当且仅当三点共线，且在的两侧时等号成立，又，故的最大值为的最大值为．故选：B．16．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值.【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则.设，则有，解得，所以.设第一象限内的点，则，所以，而，，所以点到轴的距离为，所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为的最小值，此时与重合.又，所以的最小值为.故选：B.17．设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值.【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径．可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点.又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图，设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形．设，则，结合，，可得，所以,，当且仅当，即时取等号．综上所述，当时，取得最大值．故选：B.18．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（

）A．20 B． C．10 D．【答案】A【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解.【详解】对于圆，整理可得：，可知圆心为，半径为，令，则，解得或，即；令，则，解得或，即；因为与相外切，则，可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

则点的轨迹方程为，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知点的轨迹方程为，且，进而利用基本不等式即可得结果.19．（多选题）定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（

）A．若，则直线与直线平行B．若，则直线与直线垂直C．若，则直线与直线垂直D．若，则直线与直线相交【答案】BCD【分析】根据有向距离的定义可得直线的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误.【详解】设，对于A，即为，故，所以直线的方程为：，因为，直线与直线平行，故A正确；对于B，设直线，取，则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误；此时也成立，故C错误；对于D，仍取直线，取，此时，故成立，此时与直线重合，故D错误.故选：BCD.20．（24-25高二上·山西太原·期中）（多选题）已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为【答案】ABD【分析】根据斜率，两点间的距离，以及直线的纵截距的集合意义即可求解.【详解】由圆可知，圆心为，半径为，A选项，设，则，当直线与圆相切时，有最值，则，解得，则的最小值为，故A选项正确；B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和，故，则，故B选项正确；C选项，当时，此时，故C选项错误；D选项，令，则当直线与圆相切时有最值，即，解得，所以的最大值为，故D选项正确；故选：ABD21．（23-24高二下·吉林延边·月考）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为．【答案】【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解.【详解】圆的圆心，半径，表示圆上的点到原点之间的距离，因为，所以原点在圆外，，所以，即，即.故答案为：.22．（24-25高二上·海南海口·期中）已知点和直线，则点到直线的距离最大值为．【答案】【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可.【详解】由，即，令，解得，则直线恒过定点，当时，点到直线的距离最大，此时最大距离为.故答案为：.23．（24-25高二上·湖北·月考）实数、满足，则的最大值是．【答案】【分析】根据几何意义为圆上的点与距离的平方，找出圆上的与的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设，，则为圆上的点，圆的圆心,半径，则表示圆上的点与距离的平方，又因为,所以；故的最大值是.故答案为：.24．（23-24高二上·广西·月考）在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为.【答案】【分析】求出点关于的对称点，利用求解即可.【详解】设点关于的对称点，则,

则，当且仅当三点共线时等号成立.故答案为：25．（24-25高二上·内蒙古赤峰·月考）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望