湖北省恩施高级中学、十堰一中、十堰二中等2025年数学高二第一学期期末经典模拟试题含解析

湖北省恩施高级中学、十堰一中、十堰二中等2025年数学高二第一学期期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设等比数列的前项和为，若，则的值是（）A. B.C. D.42．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.3．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（）A.0.01245 B.0.05786C.0.02865 D.0.037454．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）A. B.C.8 D.125．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.6．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（）A. B.C. D.7．已知直线、的方向向量分别为、，若，则等于（）A.1 B.2C.0 D.38．为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（）A. B.C. D.9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（）A. B.C. D.10．若向量，，则（）A. B.C. D.11．在的展开式中，的系数为（）A. B.5C. D.1012．函数f(x)＝－1＋lnx，对∀x0，f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是________14．在中，，，，则__________.15．万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为________cm.16．直线的倾斜角的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在①，②，③，，成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列中，公差不等于的等差数列满足_________，求数列的前项和.18．（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物．为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量．现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度和产卵数的观测数据于表Ⅰ中．根据绘制的散点图决定从回归模型①与回归模型②中选择一个来进行拟合表Ⅰ温度x/℃20222527293135产卵数y/个711212465114325（1）请借助表Ⅱ中的数据，求出回归模型①的方程：表Ⅱ（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09（2）类似的，可以得到回归模型②的方程为，试求两种模型下温度为时的残差；（3）若求得回归模型①的相关指数，回归模型②的相关指数，请结合（2）说明哪个模型的拟合效果更好参考数据：.附：回归方程中，相关指数.19．（12分）如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，为的中点，是棱上的一点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）已知椭圆：经过点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.22．（10分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意，由等比数列的性质可知成等比数列，从而可得，即可求出的结果.【详解】解：已知等比数列的前项和为，，由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1即成等比数列，，，.故选：B.2、A【解析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.3、D【解析】设出事件，利用全概率公式进行求解.【详解】用事件A，B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则，且A，B互斥，故故选：D4、B【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意知，该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，正三角形的边长为：，正三角形边上的一条高为：，所以一个正三角形的面积为：，所以多面体的表面积为：.故选：B5、B【解析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知故选：B6、D【解析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.【详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可解决.7、C【解析】由可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】若，则，所以，所以，解得.故选：C8、A【解析】由组合知识结合古典概型概率公式求解即可.【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.故选：A9、D【解析】由题设条件求出垂直平分线的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得，且中点为，∴垂直平分线的斜率，故垂直平分线方程为，∵，则△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△的欧拉线的方程为.故选：D10、D【解析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断【详解】由已知，，，与不垂直，若，则，，但是，，因此与不共线故选：D11、C【解析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项12、B【解析】由导数求得的最小值，由最小值非负可得的范围【详解】定义域是，，若，则在上恒成立，单调递增，，不合题意；若，则时，，递减，时，，递增，所以时，取得极小值也是最小值，由题意，解得故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、平行，相交或者异面【解析】由空间中两直线的位置关系求解即可【详解】由题意与同一条直线都相交的两条直线的位置关系可能是：平行，相交或者异面，故答案为：平行，相交或者异面，14、【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值【详解】解：因为在中，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，则故答案为：15、20【解析】求出大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，然后求解小椭圆的长轴长【详解】在大椭圆中，，，则，.因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等，所以在小椭圆中，，结合，得，所以小椭圆的长轴长为20.故填：20.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，对椭圆相似则离心率相等这一基础知识的考查16、【解析】先求出直线的斜率取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求出【详解】可化为：，所以，由于，结合函数在上的图象，可知故答案为：【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系的应用，以及直线的一般式化斜截式，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、详见解析【解析】根据已知求出的通项公式.当①②时，设数列公差为，利用赋值法得到与的关系式，列方程求出与，求出，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选②③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，解出与，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选①③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，发现无解，则等差数列不存在，故不合题意.【详解】解：因为，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，选①②时，设数列公差为，因为，所以，因为，所以时，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.选②③时，设数列公差为，因为，所以，即，因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.选①③时，设数列公差为，因为，所以时，，所以.又因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而无解，所以等差数列不存在，故不合题意.【点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了错位相减法在数列求和中的应用，考查了转化能力与方程思想，属于中档题.18、（1）（或）（2）模型①：1.54；模型②：65.54（3）模型①【解析】（1）利用两边取自然对数，利用表中的数据即可求解；（2）分别计算模型①、②在时残差；（3）根据相关指数的大小判断摸型①、②的残差平方和，再得出那个模型的拟合效果更好.【小问1详解】由，得，令，得，由表Ⅱ数据可得，，，所以，所以回归方程为（或）.【小问2详解】由题意可知，模型①在时残差为，模型②在时残差为.【小问3详解】因为，即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，由相关指数公式知，模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，因此模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好.19、（1）见解析；（2）.【解析】（1）推导出PQ⊥AD，从而PQ⊥平面ABCD，连接AC，交BQ于N，连接MN，则AQ∥BC，推导出MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMQ（2）连结BD，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣P的余弦值【详解】（1）由已知PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊂面PAD，∴PQ⊥平面ABCD，连接AC，交BQ于N，连接MN，∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC，∴△ANQ∽△BCN，，又，∴，∴MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，∴PA∥平面BMQ（2）连结BD，∵底面底面是菱形，∴△ABD是正三角形，∴由（1）知PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），设平面BMQ的法向量＝（x，y，z），∴，由（1）知MN∥PA，∴，∴，取z＝1，得，平面BQP的法向量，