重难点04 常用逻辑用语常考题型（七种）（解析版）

重难点04常用逻辑用语常考题型（七种）汇总题型1充分、必要条件的判断【例题1】（2022秋·全国·高一期末）设x∈R，则“x-1>1”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解绝对值不等式得到解集，得到xx>3是xx>2或【详解】x-1>1，解得x>2或x<0由于xx>3⫋xx>2或x<0，则“x-1>1故选：B.【变式1-1】1.（2023秋·上海普陀·高一校考期末）设p:x<5，q:x<6，那么p是q成立的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要．【答案】A【分析】根据充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】因为由x<5⇒x<6，由x<6推不出x<5，所以p是q成立的充分不必要，故选：A【变式1-1】2.（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐101中学校考期末）命题“∀x∈1,2A．a≤4 B．a≥4 C．a≤5 D．a≥5【答案】D【分析】求解命题“∀x∈1,2,x【详解】命题“∀x∈1,2,x2-a≤0”为真命题,则a≥x2所以命题“∀x∈1,2,x2-a≤0”为真命题的充分不必要条件需要满足是a故选：D【变式1-1】3.（2023秋·河南新乡·高一校联考期末）“a=b”是“a2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】化简已知条件，根据充分条件、必要条件的概念可得解.【详解】由a2+b即(a-b)2+(b-c)所以“a=b”是“a2故选：A【变式1-1】4.（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知x∈R，若集合M={1,x}，N={1,2,3}，则“x=2”是“M⊆N”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若x=2，则M=1,2，所以M⊆N若M⊆N，则x=2或3，显然必要性不满足；所以“x=2”是“M⊆N”的充分不必要条件.故选：A【变式1-1】5.（2023秋·浙江台州·高一统考期末）“x>2A．-2<x<2 B．-4<x≤2 C．x>-2 D．x>2【答案】D【分析】先解不等式|x|>2得x<-2或x>2，找“|x|>2”的一个充分不必要条件，即找集合{x∣x<-2或x>2}的真子集，从而选出正确选项.【详解】由|x|>2解得x<-2或x>2，找“|x|>2”的一个充分不必要条件，即找集合{x∣x<-2或x>2}的真子集，∵{x∣x>2}{x∣x<-2或x>2}，∴“|x|>2”的一个充分不必要条件是{x∣x>2}.故选：D.【变式1-1】6.（2023秋·江苏南通·高一统考期末）若p是q的必要不充分条件，p是r的充分不必要条件，则q是r的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用题给条件判断出q与r的逻辑关系，进而得到正确选项.【详解】若p是q的必要不充分条件，则q⇒p，p⇏q，p是r的充分不必要条件，则p⇒r,r⇏p，则有q⇒r，r⇏q，则q是r的充分不必要条件，故选：A．题型2充分、必要条件与参数【例题2】（2022秋·广东汕头·高一林百欣中学校考期末）已知条件p：-1<x<1，q：x>m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m|m≥-1 B．m|m<-1C．m|-1<m<0 D．m|m≤-1【答案】D【分析】根据p是q的充分不必要条件，由x|-1<x<1⫋x|x>m求解.【详解】解：因为p是q的充分不必要条件，所以x|-1<x<1⫋x|x>m，则m≤－1，故选：D.【变式2-1】1.（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）已知非空集合P=x|a+1≤x≤2a+1，Q=(1)若a=3，求∁R(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)∁(2)a|0≤a≤2【分析】（1）由交集、补集的运算求解即可；（2）转化为集合间关系后列式求解.【详解】（1）当a=3时，P=x|4≤x≤7，Q=则∁RP=x|x<4∁R（2）P是非空集合，“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则P是Q的真子集，所以2a+1≥a+1a+1≥-22a+1≤5且a+1=-2与2a+1=5不同时成立，解得故a的取值范围是a|0≤a≤2.【变式2-1】2.（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知全集U=R，集合A=xx-5x-2(1)当a=2时，求∁U(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)∁UA(2)a【分析】（1）当a=2时，求出集合A、B，利用补集和交集的定义可求得集合∁U（2）分析可知，BA，利用集合的包含关系可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.【详解】（1）因为A=xx-5x-2≤0=因为全集U=R，则∁UA=xx≤2或x>5，因此，∁UA∩（2）易知集合B=x因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，则BA，所以，a-1≥2a+1≤5，解得3≤a≤4因此，实数a的取值范围是a3≤a≤4【变式2-1】3.（2022秋·云南·高一统考期末）已知命题P:∃x∈R(1)求实数a的取值集合A；(2)设集合B=x|3m<x<m+2，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m【答案】(1)A=(2)m|m≤-3或m≥1【分析】（1）根据一元二次方程无解，即可由判别式求解，（2）根据集合的包含关系，即可分类讨论求解.【详解】（1）当a=0时，原式为2x-1=0，此时存在x=12使得当a≠0时，要使P:∃x∈R,a故A=a|a<-1（2）由题意可知B是A的真子集；当B=∅时，3m≥m+2⇒m≥1；当B≠∅时，m+2>3m所以m的取值范围是xm≤-3或m≥1【变式2-1】4.（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知命题p:∃x∈R，x2(1)求实数m的取值集合B；(2)设A=x3a<x<a+4，若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数【答案】(1)B=(2)a【分析】（1）由题意可得Δ<0，即可求得集合B（2）分析可知AB，分A=∅、A≠∅两种情况讨论，可得出关于实数a的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围.【详解】（1）解：由题意可得Δ=16-4m<0，解得m>4，故B=（2）解：由题意可知AB.当A=∅时，则3a≥a+4，解得a≥2，此时AB成立；当A≠∅时，则3a<a+43a≥4，解得4综上所述，实数a的取值范围是aa≥【变式2-1】5.（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）设集合A=x2<x<6，B=x|(1)若A∪B=R，A∩B=5,6，求实数a，b(2)若“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)a=-7，b=10(2)2,5【分析】（1）根据集合A,B的交集与并集，确定集合B，再结合一元二次不等式的解集得实数a，b的值；（2）由“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件得集合A,C之间的包含关系，列不等式即可求得实数m的取值范围．【详解】（1）设方程x2+ax+b=0的两根分别为由A∪B=R，A∩B=5,6，由于A=x2<x<6即x1=2，所以-a=2+5=7，b=2×5=10，即a=-7，b=10．（2）由C=x|x2又“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件，则C是A的真子集，则m≥2m+1≤6，解得2≤m≤5所以m的取值范围是2,5．题型3充要条件的论证【例题3】（2022秋·河北衡水·高一校考阶段练习）当m,n∈Z时，定义运算⊗：当m,n>0时，m⊗n=m+n；当m,n<0时，m⊗n=m⋅n；当m>0,n<0或m<0,n>0时，m⊗n=m+n；当m=0时，m⊗n=n；当n=0时，(1)计算-2⊗(2)证明，“a=0,b=-2或a=-2,b=0”是“a⊗b=-2”的充要条件．【答案】(1)1；(2)证明见解析【分析】（1）先理解⊗的运算，然后求解即可；（2）先证充分性，再证必要性即可．【详解】（1）-2⊗（2）先证充分性：当a=0,b=-2或a=-2,b=0时，则a⊗b=-2，即a=0,b=-2或a=-2,b=0是a⊗b=-2的充分条件；再证必要性：当a⊗b=-2时，显然当ab>0时，a⊗b>0，当ab<0时，a⊗b≥0，即ab>0与ab<0均不合题意，当a=0时，由a⊗b=-2，则b=-2，当b=0时，由a⊗b=-2，则a=-2，即“a=0,b=-2或a=-2,b=0”是“a⊗b=-2”的必要条件，综上，命题得证．【变式3-1】1.（2023·江苏·高一专题练习）证明：“m<0”是“关于x的方程x2【答案】证明见解析【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证.【详解】充分性：若m<0，则关于x的方程x2当m<0时，Δ=-2所以方程x2设两根分别为x1，x2，则x1故充分性成立，必要性：若“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”，则设方程x2-2x+m=0一正一负根分别为x1，x所以m<0，所以若“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”，则故必要性成立，所以“m<0”是“关于x的方程x2【变式3-1】2.（2021秋·安徽阜阳·高一安徽省阜阳第一中学校考阶段练习）已知集合A=2,3,m2+4m+2，B=0,7,【答案】证明见解析【分析】根据集合的交集，分析可得m2+4m+2=7，且m2+4m-2=3或m2+4m+2=7，且【详解】证明：若A∩B=3,7，A=2,3,m∴m2+4m+2=7，且m2+4m-2=3，解得：或m2+4m+2=7，且经检验，m=-5时，2-m=7，不满足集合中元素的互异性，不合题意舍去，则m=1，所以m=1是A∩B=3,7若m=1，A=2,3,7，B=0,1,3,7，所以所以m=1是A∩B=3,7综上得A∩B=3,7的充要条件为m=1【变式3-1】3.（2023·全国·高一专题练习）（1）已知m是实数，集合A={1,2,m+7}，B={0,6}．求证：“m=-1”是“A∩B={6}”的充要条件．（2）设n∈Z．证明：若n2【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）利用充要条件的定义，即推出关系可证充要条件；（2）应用反证法思想，利用奇偶数的性质即可证明结论；【详解】（1）当m=-1时，A={1,2,m+7}={1,2,6}，则A∩B={6}；若A∩B={6}，则6∈A，所以m+7=6，即m=-1；综上，有：“m=-1”是“A∩B={6}”的充要条件．（2）假设n为偶数，则n2故n是奇数，得证.【点睛】本题考查了充要条件、反证法思想，结合了集合的基本关系，奇偶数性质的应用，属于基础题.【变式3-1】4.（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β，证明：α<2且β<2是【答案】证明见解析【解析】先证充分性：由韦达定理得b<4，设fx=x2+ax+b，结合二次函数图象性质得f2再证必要性：由2a<4+b，b<4得a<124+b<4,4±a>0，进而得Δ=【详解】证明：（1）（充分性)由韦达定理，得b=设fx则fx又α<2，β<2，∴即有4+2a+b>0∴4+b>2a>-又b∴2a（2）（必要性）由2a<4+b∴a<判别式Δ=a又∵Δ≥0，∴Δ≤4±a∴-4<-a-Δ∴-2<-a-Δ∴α<2，【点睛】本题考查充要条件的证明，是中档题.题型4充要条件与参数【例题4】（2023秋·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知P=xx2(1)若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?请说明理由.【答案】(1)m(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据必要条件的定义可知S⊆P，根据集合之间的关系求解；（2）根据充要条件的定义可知P=S，根据集合之间的关系求解.【详解】（1）由x2-8x-20≤0，解得-2≤x≤10，∴∵x∈P是x∈S的必要条件，∴S⊆P，∴1-m≥-21+m≤101-m≤1+m，解得故m的取值范围为m0≤m≤3（2）由（1）知P=x∣-2≤x≤10若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S，∴1-m=-21+m=10，解得m=3故这样的m不存在.【变式4-1】1.（2023·江苏·高一专题练习）设集合A={-1<x<3},B={x∣1-m<x<m+1,m>0}，命题p:x∈A，命题q:x∈B(1)若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.【答案】(1)2(2)2,+∞【分析】（1）根据p是q的充要条件转化为A=B求解即可；（2）根据p是q的充分不必要条件，得A真包含于B，列出不等式求解即可.【详解】（1）由条件A={-1<x<3}，p是q的充要条件，得A=B，即1-m=-1m+1=3，解得m=2所以实数m的取值范围是2.（2）由p是q的充分不必要条件，得A真包含于B，所以m>01-m≤-1m+1>3，或m>01-m<-1综上实数a的取值范围是2,+∞【变式4-1】2.（2023·江苏·高一专题练习）已知P=x(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由;(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.【答案】(1)不存在(2)m【分析】（1）根据两集合相等，形成方程组，无解，可判断不存在满足题意的实数m.（2）要使x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，根据集合关系可求得实数m的范围.【详解】（1）要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S即1-m=11+m=4所以不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.（2）要使x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，当S=∅时，1-m>1+m，解得m<0当S≠∅时，1-m≤1+m，解得m≥0要使S⊆P，则有1-m≥11+m≤4，解得m≤0，所以综上可得，当m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件.【变式4-1】3.（2022秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知集合A=x(x-a(1)当实数a为何值时，p是q的充要条件;(2)若A⊆【答案】(1)a=-1(2)a-1≤【分析】（1）解分式不等式求出集合B，根据p是q的充要条件，可得A=（2）分A=∅和【详解】（1）由2xx-1所以(x解得-1<x故B=因为p是q的充要条件，所以A=故(x-a所以a=-1解得a=-1（2）因为A⊆①当A=∅时，此时a=a2②A≠∅时，当a<0或a>1时，此时a2≤1a≥-1，又所以-1≤a当0<a<1时，a2此时a≤1a2综上所述a的取值范围a-1≤【变式4-1】4.（2021秋·广东广州·高一校考期中）已知集合A=x(x-1)(x-a)≤0,B=(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(3)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)a=3(2)1≤a<3(3)a>3【分析】（1）根据p是q的充要条件，得A=B，即可得解；（2）根据p是q的充分不必要条件，得A⊆B且A≠B，即可得解；（3）根据p是q的必要不充分条件，得B⊆A且A≠B，即可得解.(1)解：B=x因为p是q的充要条件，所以A=B，∴a=3；(2)因为p是q的充分不必要条件，所以A⊆B且A≠B，∴1≤aa<3，即1≤a<3(3)因为p是q的必要不充分条件，所以B⊆A且A≠B，∴a>3.题型5含有量词命题的否定【例题5】（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）命题“存在实数x满足x2A．任意实数x满足x2+2x+2<0 B．任意实数xC．任意实数x满足x2+2x+2≤0 D．存在实数x【答案】C【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“存在实数x满足x2+2x+2>0”的否定为“任意实数x满足故选：C.【变式5-1】1.（2023秋·甘肃临夏·高一校考期末）命题“∃x0∈(0,+A．∀x∈(0,+∞)，x2+1>2xC．∀x∈(-∞,0]，x2+1≤2x【答案】A【分析】根据特称命题否定形式直接求解即可.【详解】命题“∃x0∈(0,+∞)，x故选：A【变式5-1】2.（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）命题“∀x∈N，x3A．∀x∈N，x3≤x2C．∃x∈N，x3<x2【答案】C【分析】根据全称命题的否定分析判断.【详解】由题意可得：命题“∀x∈N，x3≥x2”的否定形式是“故选：C.【变式5-1】3．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）命题p：∀x∈1,2，x2-1≥0A．∀x∉1,2，x2-1≥0 B．C．∃x0∉1,2，x【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到是否定结论，不否定条件，所以D选项正确.故选：D【变式5-1】4.（2022秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）命题“∀x∈R, A．∀x∈R, ∃n∈N*C．∃x∈R, ∃n∈N*【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.【详解】“∀x∈R, 故否定形式是∃x∈R, 故选：D题型6命题真假的判断【例题6】（2023秋·湖北十堰·高一统考期末）关于命题p:“∃x∈N,6xA．该命题是全称量词命题，且为假命题B．该命题是存在量词命题，且为真命题C．¬p:∀x∈N,6D．¬p:∀x∉N,6【答案】C【分析】解不等式判断命题的真假，结合存在量词命题的概念及存在量词命题的否定为全称量词命题得出答案.【详解】命题p为存在量词命题，由6x2-7x+2≤0，得1命题p的否定¬p:∀x∈N,6x故选：C.【变式6-1】1.（2022秋·辽宁辽阳·高一校联考期末）关于命题“∃x∈N，x2A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取x=0可判断.【详解】该命题是存在量词命题，当x=0时，x2故选:B.【变式6-1】2.（多选）（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）下列命题是真命题的是（

）A．∀x∈R，x≥x B．∃x∈R，C．∀x∈R，x2-3x-5>0 D．∃x∈R【答案】ABD【分析】利用绝对值的性质可判断A选项的正误；取x=0，可判断B选项的正误；取x=0，可判断C选项的正误；取x=5，可判断D选项的正误.【详解】对于A：当x≥0时，x=x；当x<0时，x综上所述：∀x∈R，x≥x对于B：当x=0时，满足x≤-x对于C：当x=0时，x2对于D：当x=5时，x2故选：ABD．【变式6-1】3.（多选）（2023秋·广东·高一校联考期末）下列命题为真命题的是（

）A．任意两个等边三角形都相似 B．所有的素数都是奇数C．∀x∈R，x+x≥0 D．【答案】AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A，因为所有的等边三角形的每个内角都为60∘对于B，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥-x，即x+|x|≥0对于D，因为∀x∈R，x故选：AC【变式6-1】4.（多选）（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）命题p:∃x∈R，x2A．p是真命题 B．¬p:∀x∈R，xC．q是真命题 D．¬q：存在两个等边三角形，它们不相似【答案】BCD【分析】根据根的判别式可判断命题p的真假，根据等边三角形的性质判断命题q的真假，从而判断AC，根据命题的否定可判断BD.【详解】对于方程x2-x+1=0，所以∀x∈R，x2¬p:∀x∈R，x2任意两个等边三角形都相似，故q是真命题，故C正确；¬q：存在两个等边三角形，它们不相似，故D正确.故选:BCD.题型7命题真假与参数【例题7】（2023秋·江苏盐城·高一校联考期末）若命题“∀x∈0,3，x2-2x-a>0A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】A【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“∃x∈0,3，x2-2x-a≤0”为真命题，分离参数转化为a≥【详解】因为命题“∀x∈0,3，x所以命题“∃x∈0,3，x2-2x-a≤0”为真命题，即x即a≥x2-2x在x∈0,3上有解，记f(x)=x因为f(x)=x2-2x在0,1上单调递减，在1,3所以a≥-1，所以实数a可取的最小整数值是-1.故选：A【变式7-1】1.（2023秋·江苏