2025年线性代数解答题规范训练题

2025年线性代数解答题规范训练题一、行列式计算规范训练例题1计算n阶行列式(D_n=\begin{vmatrix}2&1&1&\cdots&1\1&2&1&\cdots&1\1&1&2&\cdots&1\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&1&1&\cdots&2\end{vmatrix})。规范解答步骤分析行列式结构：该行列式为“对角元为2，其余元素为1”的n阶对称行列式，可采用“行（列）和相等”技巧。变换行（列）：将第2至n行全部加到第1行，得：[D_n=\begin{vmatrix}n+1&n+1&n+1&\cdots&n+1\1&2&1&\cdots&1\1&1&2&\cdots&1\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&1&1&\cdots&2\end{vmatrix}]提取公因式：第1行提出公因式(n+1)：[D_n=(n+1)\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots&1\1&2&1&\cdots&1\1&1&2&\cdots&1\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&1&1&\cdots&2\end{vmatrix}]消元化为上三角行列式：第2至n行分别减去第1行，得：[D_n=(n+1)\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots&1\0&1&0&\cdots&0\0&0&1&\cdots&0\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&0&\cdots&1\end{vmatrix}=(n+1)\cdot1^n=n+1]结论：行列式的值为(n+1)。评分要点未说明“行和相等”技巧扣1分；提取公因式后未标注行列式外的系数扣0.5分；消元步骤错误导致结果错误，按步骤给分（如正确变换行但计算错误，得3/5分）。二、矩阵运算与秩的求解例题2已知矩阵(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\3&4&0\2&1&1\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}2&1\0&3\1&4\end{pmatrix})，求：（1）(AB)；（2）(r(A))；（3）齐次线性方程组(Ax=0)的基础解系。规范解答步骤（1）计算(AB)验证可乘性：A为3×3矩阵，B为3×2矩阵，乘积为3×2矩阵。按行乘列法则计算：[AB=\begin{pmatrix}1×2+2×0+(-1)×1&1×1+2×3+(-1)×4\3×2+4×0+0×1&3×1+4×3+0×4\2×2+1×0+1×1&2×1+1×3+1×4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\6&15\5&9\end{pmatrix}]（2）求(r(A))对A作初等行变换：[A\xrightarrow{r_2-3r_1,r_3-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&-1\0&-2&3\0&-3&3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-\frac{3}{2}r_2}\begin{pmatrix}1&2&-1\0&-2&3\0&0&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}]确定非零行个数：阶梯形矩阵有3个非零行，故(r(A)=3)。（3）求(Ax=0)的基础解系判断解的情况：(r(A)=3)（未知数个数），故方程组仅有零解，基础解系不存在（或含0个向量）。常见错误警示矩阵乘法中元素计算错误（如漏乘或符号错误），每处扣0.5分；求秩时未化为规范阶梯形（如保留分数未化为整数），扣1分；忽略“秩=未知数个数时仅有零解”，错误写出基础解系，扣2分。三、线性方程组解的结构例题3设非齐次线性方程组(\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=1\2x_1+3x_2+ax_3+4x_4=b\4x_1+9x_2+a^2x_3+16x_4=b^2\end{cases})，讨论a,b为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求通解。规范解答步骤写出增广矩阵并化简：[\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\2&3&a&4&b\4&9&a^2&16&b^2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-4r_1}\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\0&1&a-2&2&b-2\0&5&a^2-4&12&b^2-4\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-5r_2}\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\0&1&a-2&2&b-2\0&0&(a-2)(a-5)&2&b^2-5b+6\end{pmatrix}]讨论参数a,b：情况1：((a-2)(a-5)\neq0)（即(a\neq2)且(a\neq5)）：(r(A)=r(\overline{A})=3<4)，有无穷多解；情况2：(a=2)：[\overline{A}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\0&1&0&2&b-2\0&0&0&2&b^2-5b+6\end{pmatrix}]若(b^2-5b+6\neq0)（即(b\neq2)且(b\neq3)），则(r(A)=2<r(\overline{A})=3)，无解；若(b=2)或(b=3)，则(r(A)=r(\overline{A})=3<4)，有无穷多解；情况3：(a=5)：[\overline{A}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\0&1&3&2&b-2\0&0&0&2&b^2-5b+6\end{pmatrix}]此时(r(A)=r(\overline{A})=3<4)，恒有无穷多解（因最后一行方程为(2x_4=(b-2)(b-3))，总有解）。求通解（以(a=2,b=2)为例）：此时方程组化为：[\begin{cases}x_1=1-x_2-x_3-x_4\x_2=0-2x_4\0=0\end{cases}\implies\begin{cases}x_1=1+2x_4-x_3-x_4=1+x_4-x_3\x_2=-2x_4\x_3=x_3\x_4=x_4\end{cases}]令(x_3=k_1,x_4=k_2)，通解为：[x=\begin{pmatrix}1\0\0\0\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}-1\0\1\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}1\-2\0\1\end{pmatrix}\quad(k_1,k_2\in\mathbb{R})]规范要求必须写出增广矩阵的初等变换过程，仅写结果扣3分；参数讨论需分情况完整，遗漏“a=5”情况扣2分；通解未标注自由变量及任意常数范围，扣1分。四、矩阵的特征值与特征向量例题4设矩阵(A=\begin{pmatrix}2&-1&2\5&-3&3\-1&0&-2\end{pmatrix})，求A的特征值与特征向量，并判断A是否可对角化。规范解答步骤求特征多项式：[|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&1&-2\-5&\lambda+3&-3\1&0&\lambda+2\end{vmatrix}=(\lambda+1)^3]（计算过程：按第3行展开，得(1\cdot\begin{vmatrix}1&-2\\lambda+3&-3\end{vmatrix}+(\lambda+2)\cdot\begin{vmatrix}\lambda-2&1\-5&\lambda+3\end{vmatrix}=(\lambda+1)^3)）求特征值：由(|\lambdaE-A|=0)，得三重特征值(\lambda=-1)。求特征向量：解方程组((-E-A)x=0)：[-E-A=\begin{pmatrix}-3&1&-2\-5&2&-3\1&0&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&1\0&0&0\end{pmatrix}]基础解系为(\xi=\begin{pmatrix}-1\-1\1\end{pmatrix})，故属于(\lambda=-1)的全部特征向量为(k\xi)（(k\neq0)）。判断可对角化：特征值(\lambda=-1)的代数重数为3，几何重数为1（基础解系含1个向量），二者不等，故A不可对角化。关键得分点特征多项式计算正确得2分，仅结果正确无过程扣1分；特征向量未注明“非零常数倍”扣0.5分；未比较代数重数与几何重数直接下结论，扣1分。五、二次型化标准形例题5用正交变换法将二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3)化为标准形，并写出正交变换矩阵。规范解答步骤写出二次型矩阵：[A=\begin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{pmatrix}]求A的特征值：[|\lambdaE-A|=(\lambda-1)^2(\lambda-4)\implies\lambda_1=1,(\text{二重}),\lambda_2=4]求正交特征向量：对(\lambda_1=1)：解((E-A)x=0)，得特征向量(\alpha_1=\begin{pmatrix}-1\1\0\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}-1\0\1\end{pmatrix})，Schmidt正交化后得(\beta_1=\begin{pmatrix}-1\1\0\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}\1\end{pmatrix})；对(\lambda_2=4)：解((4E-A)x=0)，得特征向量(\alpha_3=\begin{pmatrix}1\1\1\end{pmatrix})，单位化后得(\beta_3=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\frac{1}{\sqrt{3}}\\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix})。构造正交矩阵与标准形：正交变换矩阵(Q=(\beta_1,\beta_2,\beta_3))，标准形为(f=y_1^2+y_2^2+4y_3^2)。细节规范特征向量未正交化或单位化，扣2分；标准形未注明对应正交变换，扣1分；特征值计算错误导致后续全错，仅得步骤分（如正确写出二次型矩阵，得1/5分）。六、综合应用题例题6设向量组(\alpha_1=(1,1,1)^T)，(\alpha_2=(1,2,3)^T)，(\alpha_3=(1,3,t)^T)，(\beta=(3,4,5)^T)。（1）t为何值时，(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)线性无关？（2）t=5时，将(\beta)表示为(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)的线性组合。规范解答步骤（1）判断线性无关构造矩阵并求秩：[(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\1&2&3\1&3&t\end{pmatrix}\to\begin{pmatri