2025年小升初数学试题圆与圆柱

2025年小升初数学试题圆与圆柱一、圆的基本概念与计算（一）圆的性质与公式圆是平面几何中最基本的曲线图形，具有以下核心性质：平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合构成圆，连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径（r），通过圆心且两端都在圆上的线段称为直径（d），直径长度是半径的2倍，即d=2r。圆的周长公式为C=πd或C=2πr，面积公式为S=πr²，其中π通常取3.14。（二）典型例题解析例1：一个圆形花坛的周长是62.8米，求花坛的占地面积。解析：先根据周长公式求半径，C=2πr→r=C÷(2π)=62.8÷(2×3.14)=10米；再计算面积S=πr²=3.14×10²=314平方米。例2：在一个长8厘米、宽6厘米的长方形纸片内剪下一个最大的圆，求这个圆的周长和面积。解析：长方形内最大圆的直径等于长方形的宽（6厘米），因此半径r=3厘米。周长C=πd=3.14×6=18.84厘米，面积S=3.14×3²=28.26平方厘米。（三）常见误区警示混淆直径与半径的关系：计算时需注意题目给出的是直径还是半径，避免直接用直径代入半径公式。单位换算错误：如将“米”与“厘米”混淆，需在计算前统一单位，例如2米=200厘米。二、圆柱的表面积计算（一）圆柱的构成与公式圆柱由两个底面（圆形）和一个侧面（曲面）组成。圆柱的表面积是侧面积与两个底面积之和，公式为：侧面积：S侧=底面周长×高=2πrh（r为底面半径，h为高）表面积：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²（二）圆柱的切拼与表面积变化横切：将圆柱平行于底面切成n段，表面积增加2(n-1)个底面积。例如，把圆柱切成2段，表面积增加2πr²；切成3段，增加4πr²。竖切：沿底面直径垂直切开，切面为长方形，表面积增加2个长方形面积（长为圆柱的高，宽为底面直径），即S增=2×(2r×h)=4rh。例3：一个圆柱的底面半径是4厘米，高20厘米，沿底面直径竖直切开后，表面积增加了多少平方厘米？解析：直径d=2×4=8厘米，增加的表面积为2个长方形面积：2×(8×20)=320平方厘米。例4：一根长2米的圆柱形木材，锯成2个小圆柱后表面积增加了12.56平方厘米，求原木材的体积。解析：锯成2段后增加2个底面积，因此底面积S=12.56÷2=6.28平方厘米。体积V=Sh=6.28×200=1256立方厘米（注意2米=200厘米）。三、圆柱的体积计算（一）体积公式与推导圆柱的体积公式为V=底面积×高=πr²h。该公式可通过“切拼法”推导：将圆柱等分成若干份，拼成一个近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高，因此体积公式与长方体一致。（二）典型例题与变式例5：一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高5厘米，求它的体积。解析：先求半径r=12.56÷(2×3.14)=2厘米，体积V=3.14×2²×5=62.8立方厘米。例6：把一个底面直径10厘米、高20厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。（1）求长方体的体积；（2）求长方体表面积比圆柱增加了多少。解析：（1）长方体体积等于圆柱体积，r=5厘米，V=3.14×5²×20=1570立方厘米；（2）增加的表面积为2个长方形面积（长为高，宽为半径），S增=2×(5×20)=200平方厘米。（三）圆柱的拼合问题将两个相同的小圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少2个底面积（拼接面）。例如，两个小圆柱拼成大圆柱后表面积减少6.28平方厘米，则每个底面积S=6.28÷2=3.14平方厘米，若大圆柱高为20厘米（每个小圆柱高10厘米），则小圆柱体积V=3.14×10=31.4立方厘米。四、综合应用题与解题技巧（一）分段与体积计算例7：把一根长3米的圆柱形木材切成大小相等的三个小圆柱体，表面积增加了80平方分米，求原木材的体积。解析：切成3段需切2次，增加4个底面积，因此底面积S=80÷4=20平方分米。体积V=20×30=600立方分米（3米=30分米）。（二）空心圆柱与组合图形例8：一个圆柱形钢管的外直径是10厘米，内直径是8厘米，长2米，求钢管的体积。解析：空心圆柱体积=外圆柱体积-内圆柱体积，r外=5厘米，r内=4厘米，高h=200厘米。V=π(r外²-r内²)h=3.14×(5²-4²)×200=3.14×9×200=5652立方厘米。（三）解题步骤总结审题定位：明确题目求周长、面积还是体积，区分圆柱的表面积与侧面积。公式选择：根据已知条件（半径、直径、周长）选择合适公式，例如已知周长时先求半径。单位统一：将所有长度单位换算一致（如米→厘米，分米→米）。分步计算：复杂问题分解为基础步骤，例如“切拼问题”先算底面积，再算体积或表面积变化。五、强化训练题（一）填空题一个圆的半径扩大到原来的3倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。圆柱的底面半径是2厘米，高5厘米，侧面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。把一个高10厘米的圆柱沿直径切开，表面积增加80平方厘米，圆柱的底面半径是（）厘米。（二）解答题一个圆柱形水桶，底面直径40厘米，高50厘米，制作这个水桶至少需要多少铁皮？（接口处忽略不计）如果每升水重1千克，这个水桶最多能装水多少千克？一根6米长的圆柱形木料，横截成两段后表面积增加50.24平方分米，求原木料的体积。两个同样的小圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少6.28平方厘米，大圆柱高20厘米，求每个小圆柱的体积。参考答案：3，9；2.62.8，87.92，62.8；3.2；铁皮面积7536平方厘米，装水62.8千克；5.1507.2立方分米；6.62.8立方厘米。六、考点拓展与衔接圆与圆柱的知识是初