（预习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义01 平面向量的概念及线性运算+随堂检测（原卷版）

第第页第01讲平面向量的概念及其线性运算(精讲）1、向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量或；模或.（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.特别的：非零向量的单位向量是.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；特别的：与任一向量平行或共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.3、共线向量定理①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．4、常用结论4.1向量三角不等式①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；4.2中点公式的向量形式：若为线段的中点，为平面内任意一点，则.4.3三点共线等价形式：（，为实数），若，，三点共线.高频考点一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念与表示【例题1-1】关于向量，，下列命题中，正确的是（

）．A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【例题1-2】下列说法正确的是（

）①有向线段三要素是始点、方向、长度；

②向量两要素是大小和方向；③同向且等长的有向线段表示同一向量；

④在平行四边形中，．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【变式1-1】下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【变式1-2】判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则；④若，则．其中，正确的命题个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3角度2：模【例题2-1】正方形的边长为1，则为（

）A．1 B． C．3 D．【例题2-2】如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．（1）单位向量共有______个；（2）模为的向量有______；（3）与相等的向量有______；（4）的相反向量有______．【例题2-3】已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式2-1】已知，，，则（

）．A．1 B．2 C．3 D．2或者6【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，，，则______．【变式2-3】如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的最小值是____________；最大值是____________.角度3：零向量与单位向量【例题3-1】下列说法：①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.其中，正确说法的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例题3-2】如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【例题3-3】（多选）下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若与共线，则或C．若为单位向量，则D．是与非零向量共线的单位向量【变式3-1】下列说法正确的是（

）A．在正方形中,B．已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上C．零向量可以与任一向量共线D．零向量可以与任一向量垂直【变式3-2】下列说法中不正确的是（

）A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线C．单位向量是模为1的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等【变式3-3】下列说法正确的是（）A．向量与向量的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量的大小为0，没有方向D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等角度4：相等向量【例题4-1】对于向量、，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例题4-2】窗，古时亦称为船牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形，且、、、分别是、、、的中点，则与相等的向量为________，的负向量为________．【变式4-1】下列叙述中正确的个数是：（

）①若，则；②若，则或；③若，则④若，则⑤若，则A．0 B．1 C．2 D．3【变式4-2】如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.（1）写出与共线的向量；（2）写出与的模大小相等的向量；（3）写出与相等的向量.高频考点二：向量的线性运算角度1：平面向量的加法与减法【例题5-1】设为对角线的交点，为任意一点，则（

）A． B． C． D．【例题5-2】设点，，分别是的三边，，的中点，则（

）A． B． C． D．【例题5-3】如图，，，，分别是梯形的边，，，的中点，，，，，用，表示下列各式．(1)；(2)．【变式5-1】（

）A． B． C． D．【变式5-2】下列各式中不能化简为的是（

）A． B．C． D．【变式5-3】化简所得的结果是（

）A． B． C． D．角度2：平面向量的数乘【例题6-1】在平行四边形中，，．若，则（

）A． B． C． D．【例题6-2】已知等腰直角三角形中，，，分别是边，的中点，若，其中，为实数，则（

）A． B．1 C．2 D．【例题6-3】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在赵爽弦图”中若，则（

）A．B．C．D．【变式6-1】已知为所在平面内一点，，则（

）A． B．C． D．【变式6-2】在中，点D满足，则（

）A． B． C． D．【变式6-3】如图，在中，，若，则__________．高频考点三：共线向量定理的应用【例题7-1】如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．5【例题7-2】在中，，，与相交于点，设，(1)用，表示；(2)过点作直线分别与线段，交于点，，设，，求的最小值.【变式7-1】如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知点G在内部，且，(1)求证：G为的重心；(2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值.【变式7-3】如图，在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．，设，．(1)试用基底，，表示，，；(2)若G为长方形内部一点，且，求证：E，G，F三点共线．第01讲平面向量的概念及其线性运算随堂检测1．下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量D．单位向量都相等2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个3．如图，在正六边形中，（

）A． B． C． D．4．是内的一点，若，，则