【数学】吉林省联盟校考试2025-2026学年高二上学期10月期中试卷(解析版)

吉林省联盟校考试2025-2026学年高二上学期10月期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过两点的直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知两点横坐标知直线的斜率不存在，即轴，所以倾斜角为，故选：C．2.在空间四边形PABC中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故选：A.3.点与椭圆的位置关系为（）A.在椭圆上 B.在椭圆内 C.在椭圆外 D.不能确定【答案】B【解析】，可知点在椭圆内．故选：B.4.若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.

故选：D.5.两平行直线之间的距离为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】由题意即为直线，所以两平行直线之间的距离为．故选：C.6.已知，，，与的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，，所以，，故，所以，，，所以，因为与的夹角为，所以，解得，经检验，不合题意，舍去，所以．故选：B．7.如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点,所以，又点M是线段上的一点，且，所以，，故选：A.8.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q两点．若，，，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，有，由可知，又由椭圆的定义有，可得，解得，可得，，，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】设所求直线的方程为，即，因为点，到直线的距离相等，所以，解得或，即所求直线方程为或，故选：AC．10.在正方体中，下列结论正确的有（）A.是平面的一个法向量 B.是平面的一个法向量C. D.【答案】ABD【解析】如图，由正方体中的线面位置关系，可知平面，平面，平面，所以ABD正确，因为与所成的角为60°，所以C不正确，故选：ABD.11.在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（）A.当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为B.的取值范围为C.不可能为钝角D.当为等边三角形时，点P的坐标为【答案】ABC【解析】到直线的距离为，当垂直于直线时，可求得点，此时，所以当点自由移动时，的最小值为，当且仅当垂直于直线时，取得最小值，所以对于任意的点，有，因为，所以，所以，同理，所以，，故，而，趋于0时，趋于，故的取值范围为，当四边形为正方形时，，可求得，点的坐标有唯一解，故A、B、C正确；当为等边三角形时，，所以，设，因为点在直线上，则，解得或，即或，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程为___________．【答案】或【解析】直线在坐标轴上的截距相等有两种情况：①横、纵截距存在且都为0，即直线过原点，设直线方程为，因为直线过点，即，解得，所以直线方程为，即；②横、纵截距存在且都不为0，设直线在坐标轴上的截距均为，则直线方程可设为，即.因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为．综上，过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程为或．故答案为：或.13.若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为_______.【答案】【解析】方程表示椭圆，即方程表示椭圆，则，解得且，即．故答案为：．14.已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为______．【答案】【解析】，则有，即点到直线的距离为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线的斜率为，且在轴上的截距为．（1）求直线与轴交点的坐标；（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的周长．解：（1）由已知可得直线的方程为，令，可得，所以直线与轴交点的坐标为.（2）设坐标原点为，，，由题意及（1）知直线与两坐标轴围成的三角形为，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的周长为24.16.如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且．（1）建立适当的坐标系并求点的坐标；（2）求证：．（1）解：因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直，故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，易得，，，.设，则，由代入坐标，可得，解得，故点的坐标为.（2）证明：由（1）易得，因，故.17.已知圆：，圆：.（1）证明：圆与圆相交；（2）若圆与圆相交于A，B两点，求.（1）证明：圆的标准方程为，圆心为，半径为2，圆标准方程为，圆心为，半径为，∴圆和圆的圆心之间的距离为，由，可知：圆和圆相交，得证.（2）解：由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为，圆的圆心到直线AB的距离为，∴18.如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.（1）证明:平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：连接，，则，在中，因，则，因为，，所以，，所以，则，又，、平面，所以平面（2）解：因为，为的中点，则，又平面，以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，则、、、、，所以，，，，，，，，设平面法向量为，则，令，即，设平面法向量为，则令，即，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，所以．19.已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等