专题07 指数运算（竞赛培优专项训练）（解析版）高一数学竞赛培优系列（全国通.用）

PAGE专题07指数运算目录概览A考点精研・竞赛考点专项攻坚考点一由根式的意义求范围 3考点二根式的化简与求值 4考点三分数指数幂与根式的互化 6考点四指数幂的运算 7考点五条件求值问题 9考点六等式的证明 11考点七幂的综合应用问题 13B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道）【归纳重点知识】知识点01根式若xn=yn∈N∗,n>1,y∈Rn为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为±ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为知识点02分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是；正数的负分数指数幂的意义是，且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义．知识点03有理数指数幂的运算1.有理数指数幂的运算性质设（1）a（2）(（3）(ab当a>0，p为无理数时，ap2．指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先进行指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2−b2=(a−b)(a+b)，(a±b)2知识点04无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα（a>0，α定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．【注意事项】无理数指数幂的两注意(1)它是一个确定的实数；(2)它是有理数指数幂无限逼近的结果．【熟记重要结论（二级结论）】1.有关根式的两个重要等式（1）当n>1且n∈N∗（2）na2．化简指数幂常用的技巧(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))p(ab≠0)；(2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))m，aeq\f(n,m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))n(式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a－1a,1＝aa等；(4)乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b.考点一由根式的意义求范围1．若，则等式成立的条件是A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由题意利用根式的性质得到关于x,y的不等式组，然后确定x,y的符号即可.【详解】，，．由，得.故选C.2．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，可得，即．实数的取值范围是．故选：．3．求使等式成立的实数a的取值范围为．【答案】【详解】，要使成立，需解得，即实数a的取值范围是，4．使得等式成立的实数a的值为．【答案】8【详解】由题意可得，，所以，故.设，则.解得，或（舍），或（舍）所以所以5．满足方程的实数解的个数为.【答案】无数个【详解】设，则方程化为即，即当时，则，解得当时，则恒成立，即满足方程.当时，则，解得所以满足方程，即，解得故满足方程的实数解的个数为无数个考点二根式的化简与求值6．的分数指数幂表示为（）A． B． C． D．都不对【答案】A【分析】把根式化为分数指数幂运算即可．【详解】原式，故选A.7．已知，则（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据根式的性质化简求值即可.【详解】因为，所以.故选：B.8．计算的结果是A． B．C． D．【答案】B【详解】.9．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由根式和指数的运算法则计算即可.【详解】.故选：C.10．已知实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，，，，，..又，，11．设，，则化简为.【答案】【详解】由于，，所以考点三分数指数幂与根式的互化12．下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.13．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（

）A．（） B．C．（） D．（）【答案】C【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.【详解】A中，（），故A错误；B中，，故B错误；C中，（），故C正确；D中，（），故D错误．故选：C．14．已知函数，则．【答案】/-0.5【详解】因为，所以将代入中，可得因为，所以将代入中，可得.15．经过化简，可得恒等式（其中），则【答案】【详解】依题意，，而，则，而，解得，所以.16．将写成分数指数幂的形式为．【答案】【详解】解：原式.考点四指数幂的运算17．（多选）设，则下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】对A，，故A正确；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，方法一（由内向外化）．方法二（由外向内化）．故D正确.故选:AD.18．化简(a，b＞0)的结果是()A． B．abC． D．a2b【答案】C【详解】由分数指数幂的运算法则可得：原式.19．已知，则关于的表达式．【答案】4【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可.【详解】原式，20．已知，则．【答案】【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此．21．计算下列各式：(1)；(2)．【详解】（1）原式．（2）原式．22．计算：(1)(2)【详解】（1）．（2）原式．考点五条件求值问题23．设均为不等于1的正数，且，则的值为（

）A．3 B．2C．1 D．【答案】C【分析】由题可知，，然后可得即可求解.【详解】，，，即，又均为不等于1的正数，所以.故选：C.24．若，则【答案】【详解】由于，故.这就意味着，从而.故答案为：25．已知，则．【答案】【分析】根据题意结合平方关系可得，，代入即可得结果.【详解】因为，两边同时平方得，即，对两边同时平方得，即，所以．26．若，则．【答案】【分析】先由立方差公式化简，再代入已知计算.【详解】已知，则，将所求式进行化简，，则．27.（1）求值：（2）化简：；（3）已知，求的值.【详解】（1）；（2），∴，（3）由，得，，所以.28．（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值；（2）将目标式化为，再代入求值；（3）由已知及指数幂运算得、，代入目标式求值.【详解】（1）原式；（2）由，，则；（3）由于，则，所以，，所以.考点六等式的证明29．证明下列恒等式.(1)(axx-y)(2)a-bc-a【分析】本题主要考查分数指数幂与根式的化简,同一道题中幂的底数均相同,这样就为应用运算性质提供了必备的条件,可用到的性质有(xm)n=xmn,xm·xn=xm+n及nxm=xm【证明】(1)左边=ax(x-=a=ax(y∴等式成立.(2)左边=mb+c(a-=m=m(b+c)(∴等式成立.30.已知ax3＝by3＝cz3，及eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，求证(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))＝aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3)).【分析】本题考查分数指数幂的内容和证明的有关知识，以及利用“参数法”解决问题的能力，根据已知条件ax3＝by3＝cz3，设一个参数t，用含有t的式子表示ax2＋by2＋cz2与aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3))，从而找到(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))与aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3))的关系，这也是解决本题的关键．【详解】令ax3＝by3＝cz3＝t，则ax2＝eq\f(t,x)，by2＝eq\f(t,y)，cz2＝eq\f(t,z)，aeq\s\up6(\f(1,3))x＝beq\s\up6(\f(1,3))y＝ceq\s\up6(\f(1,3))z＝teq\s\up6(\f(1,3))，∴(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,x)＋\f(t,y)＋\f(t,z)))eq\s\up6(\f(1,3))＝teq\s\up6(\f(1,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)＋\f(1,z)))eq\s\up6(\f(1,3)).又eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，∴(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))＝teq\s\up6(\f(1,3)).(5分)由aeq\s\up6(\f(1,3))x＝beq\s\up6(\f(1,3))y＝ceq\s\up6(\f(1,3))z＝teq\s\up6(\f(1,3))，得aeq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),x)，beq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),y)，ceq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),z)，∴aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),x)＋eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),y)＋eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),z)＝teq\s\up6(\f(1,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)＋\f(1,z)))＝teq\s\up6(\f(1,3)).∴(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))＝aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3)).31．已知求证：.【证明】（1）（2）又由（1）（2）知.考点七幂的综合应用问题32．从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年，直到公元16世纪，意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式．其过程是先发现了形如的三次方程的求解方法，再将一般形式的一元三次方程转化为形如的三次方程．求解形如的三次方程的具体方法是利用恒等式，作变换：，转化为关于，的二次方程就可以得到，的值，进而求出未知数的值．利用此方法求解方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，则根据题意的，解方程得到的值，然后还原成即可.【详解】因为，令，则，即依题意即，所以，整理得,即解得或当时，，即；当时，，即所以.故选：B.33．已知f(x)=x13-(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(已知y=x1(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.【分析】利用函数单调性的定义证明;(2)由特殊到一般,得到猜想,再利用幂的运算性质进行证明.【详解】(1)证明:任取x1>x2>0,∵y=x13在R上是增函数,∴x1又∵(x1x2)-13>0,∴f(x1)-f(x2)=15(x113=15(x113-x21∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)经计算知f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,由此猜想:f(x2)-5f(x)g(x)=0.证明:f(x2)-5f(x)g(x)=15(x23-x-23)-15(x13+x-13)(x13-【点拨】本题第(2)问所用方法为归纳法，归纳法解题的一般步骤为：(1)对特殊现象进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的一般结论，即猜想；（3）检验或证明猜想.34.已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a>1).(1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值;(2)设f(x)·f(y)=4,g(x)·g(y)=8,求g(【详解】(1)[f(x)]2-[g(x)]2=(ax-a-x)2-(ax+a-x)2=2ax·(-2a-x)=-4.(2)∵f(x)·f(y)=4,∴(ax-a-x)(ay-a-y)=4,∴ax+y+a-(x+y)-ax-y-ay-x=4,即g(x+y)-g(x-y)=4①.∵g(x)·g(y)=8,∴(ax+a-x)·(ay+a-y)=8,∴ax+y+a-(x+y)+ax-y+ay-x=8,即g(x+y)+g(x-y)=8②.由①②得g(x+y)=6,g(x-y)=2,∴g(35．对于正整数和非零实数，有，求的值．【分析】由得，从而，可求的值.【详解】，且为非零实数，．同理可得，即．又为正整数，且由题意可知，．．1．（2023北京大学U-Test试题）方程组的实数解的组数是（

）A．3组 B．4组 C．5组 D．6组【答案】B【分析】根据底数分类讨论后可求方程组的解的个数.【详解】当时，此时，即，又，；当时，原方程组可化为，；当且时，由可得，即，所以，因为，所以对应，因为没有意义，所以或，因此所有的实数解为，共有4组．故选：B.2．（第四届全国“枫叶新希望杯”数学竞赛）正数与正整数满足：，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对于正数与正整数，已知条件结合指数式的性质可得均大于1，由，有，可得.【详解】由，，，，均大于1，一方面，，另一方面，，，，即，，，综上，．故选：A3．（2023·安徽芜湖竞赛）．【答案】【分析】根据立方差公式与根式的性质可求出结果.【详解】.4．（2025