上海市长宁、青浦、宝山、嘉定2025年高二上数学期末调研模拟试题含解析

上海市长宁、青浦、宝山、嘉定2025年高二上数学期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.2．已知椭圆C：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C的方程为（）A B.C. D.3．若，则x的值为（）A.4 B.6C.4或6 D.84．圆与圆的位置关系是（）A.相离 B.内含C.相切 D.相交5．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（）A.10 B.20C.30 D.406．已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.7．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]8．已知函数的导数为，且，则（）A. B.C.1 D.9．已知函数，则（）A.3 B.C. D.10．已知空间向量，，若，则实数的值是（）A. B.0C.1 D.211．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B.C.4 D.212．圆的圆心坐标和半径分别为（）A.和 B.和C.和 D.和二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列中，若，，则______，数列的前n项和为，则______14．若命题“”是假命题，则a的取值范围是_______.15．在数列中，满足，则________16．已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，且（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值18．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，.（1）求证：平面；（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？19．（12分）已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值20．（12分）设数列是公比为正整数的等比数列，满足，，设数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（3）已知数列，设，求数列的前项和.21．（12分）已知函数R)（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）求的单调区间22．（10分）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，….（参考数据：，，.）（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；（2）将（1）中的递推关系表示成的形式，其中k，r为常数；（3）求的值（精确到1）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先化简函数表达式，然后再平移即可.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象.故选：A2、D【解析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.【详解】由题设，知：，可得，则，∴C的方程为.故选：D.3、C【解析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C4、D【解析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.【详解】圆的圆心为，半径为圆的圆心为，半径为两圆心间的距离为由，所以两圆相交.故选：D5、B【解析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，因为离心率为，即，可得，所以，所以双曲线的方程为：，因瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，将代入双曲线可得，解得：，所以颈部高为，故选：B6、D【解析】过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知，记，根据题意，当最小，即直线与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，解得答案即可.【详解】如图，易知点在抛物线C的准线上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记，则.由抛物线定义可知，.由图可知，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设切线方程为，代入抛物线方程并化简得：，，方程化为：，代入抛物线方程解得：，即，则，.于是，椭圆的长轴长，半焦距，所以椭圆的离心率.故选：D.7、B【解析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故选:B【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.8、B【解析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.【详解】由得，当时，，解得，所以，.故选：B9、B【解析】由导数运算法则求出导发函数，然后可得导数值【详解】由题意，所以故选：B10、C【解析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此有.故选：C11、D【解析】切点与圆心的连线垂直于切线，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径的关系，利用点到直线的距离公式求出圆心与直线上点距离的最小值，结合勾股定理即可得出结果.【详解】设为直线上任意一点，，切线长的最小值为：，故选：D.12、C【解析】利用圆的一般方程的圆心和半径公式，即得解【详解】可化为，由圆心为，半径，易知圆心的坐标为，半径为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】设等差数列公差为d，根据等差数列的性质即可求通项公式；，采用裂项相消的方法求.【详解】设等差数列公差为d，，，；∵，∴.故答案为：；.14、【解析】依题意可得是真命题，参变分离得到，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为命题“”是假命题，所以命题“”是真命题，即，所以，因为，当且仅当即时取等号，所以，即故答案：15、15【解析】根据递推公式，依次代入即可求解.【详解】数列满足，当时，可得，当时，可得，当时，可得，故答案为：15.16、##【解析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知∴∴.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数的几何意义即可求解；（2）根据导数与函数单调性关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解.【小问1详解】解：由题意，，因为，所以，解得，所以，，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】解：因为，，所以时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即函数在区间上的最小值为.18、（1）证明见解析；（2）存在，的值为.【解析】（1）先证明,再证明，由线面垂直的判定定理求证即可;（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值【详解】（1）在三棱柱中，平面ABC，，.∴，，，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，，，，，所以，，设平面的法向量，则，取，得，点M在线段上，且，点N在线段上，设，，设，则，，，即，解得，，，∵，∴，解得.∴的值为.19、(1)（2）【解析】（1）由抛物线焦点可得c，再根据离心率可得a，即得b；（2）先设直线方程x=ty+m，根据向量数量积表示，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得为定值的条件，解出m；根据点到直线距离得三角形的高，利用弦公式可得底，根据面积公式可得关于t的函数，最后根据基本不等式求最值【详解】试题解析：解：（1）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣要使为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积S=∴当t=0，△OAB面积的最大值为.20、（1）（2）证明见解析，（3）【解析】（1）根据等比数列列出方程组求解首项、公比即可得解；（2）化简后得，可证明数列是等差数列，即可得出，再求出即可;（3）利用错位相减法求出数列的和.【小问1详解】设公比为，由条件可知，，所以；【小问2详解】，又，所以，所以数列是以为首项，为公差等差数列，所以，所以.【小问3详解】，,两式相减可得，，.21、（1）（2）答案见解析【解析】(1)根据切点处的导数等于切线斜率，切点在曲线上可得切线方程；(2)求导，分类讨论可得.【小问1详解】当时，，，，则，所以在处的切线方程为【小问2详解】，，当时，，函数在R上单调递增；当时，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单