广东专插本（高等数学）模拟试卷5（共182题）

广东专插本（高等数学）模拟试卷5（共

9套）

（共182题）

广东专插本（高等数学）模拟试卷第1

套

一、综合题（本题共2题，每题7.0分，共2分。）

1、过曲线y=£（发（））上某点A作切线，若过点A作的切线，|11|线y=£及无轴围成

的图形面积为衣，求该国形绕无轴旋转一周所得旋转体体积V。

标准答案：设A点坐标（沈，xo2）»由y=2%,得切线方程为y-%（）2-2xo（%-xo）或

工TT由已知/=「（贵"芸一6户尸告三所以2，A（I,

1），切线方程为2%-y・l=0切线与无轴交点为尸5,于是

V=jtl/业一尸d/=—4—我（立方单位）.

JoJf3b30

2、证明:历在（0,1）内恰有一实根。

标准答案：

原方程可化为：「出山一上=0.

令/(J)=「4；山一，・则八/)在［01］上连续.且/<0)=一。<0・

11-/I。10

/⑴史尹士山一上

Jo14-/10J”】十/)0

=f('-i』产一《二夕，7》|：7n(一八|：一』

=In2T.

j

乂In2=ln(11)~1-.L+-+——~•••

人(11123456

故/⑴>(T+1+1)-.>0・6167-。♦6=。・。167>0.故由零点

,「J」

定理知，f(y)在(0,I)内至少有一零点，即方程人】十，】°在(0,1)内至少有一

实根，乂‘ZG(O,i),故f(%)在(o,i)内单调递增，十是函数

'上-山=1

y=f(x)与无轴至多有一个交点，即方程f(%)=o，也是J。仃了一记在(0，1)内至多

有一个实根。综上所述，方程J。号”=告在(0,1)内有一实根。

知识点解析：暂无解析

二、选择题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

、洌.3=

3、设函数f(%)可导且f(D)=O,则-QN()

A、f(%)

B、f\0)

C、f(0)

X

D、7f(0)

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

4、下列函数中，是奇函数的为()

A、y=x4+x2+i

B、y=x.sinx2

c、y=x3-e-z2

D、y=ln2x

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

5、设函数f(x)和g(x)在点xo处不连续，而函数h(»在点％o处连续，则函数()在xo

处必小连续。

A、f(X)+g(X)

B、Hx)g(x)

C、故)+h(x)

D、f(x)h(x)

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

V2=3――

6、由曲线’，直线y改及％=2所围图形面积为()

A、射-，产

B、位

C、『(2-《四+。2一.，

D、21)4r+02一业

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

7、交换二次积分'=/对；八3出十『d犷

的积分次序后，1=

(),

A、阿"(3)力

B、'/(八山力

c]d.r]/(i・y)力

口J时/J..v)d.v

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

z

标准答案：百

知识点解析•：暂无解析

9、设股）=«2川，则产35）⑼二

标准答案:2235”

知识点解析：暂无解析

、.,Iri.rdj-:

10、定积分J1o

2F+1

标准答案：~

知识点解析：暂无解析

IJI<>—）dud>

11、设区域D={%,yI0<x<l,-l<y<l}，则吆

2

标准答案：3

知识点解析：暂无解析

12、函数y=2/+3£-12%+l的单调递减区间是_____

标准答案：（-2,1）

知识点解析：暂无解析

四、解答题（本题共8题，每题L0分，共8分。）

(arctan/)*d-r

lim

13、求极限L.s4—1O

(arctan/)*d/(arcian/)dr

lim---:-----------=lim-----------------•lim:--

-vCr:4-I…”J->/jr+1

=lim(arctan.r)-

r・♦・、

标准答案：4,

知识点解析：暂无解析

(」.»

JC=a(t—sin/),求益也

14、已知参数方程1y=Q(l_cos>"

x—a(t—sin/),

求s.4

标准答案：l>=a(l-cos/),"M

知识点解析：暂无解析

15、依，求不定积分JpGimi+xHdx

|[e?,+in(1-f-x)]dx=yje2,d(2.r)4-|ln(I+i)(Lr

=:昌+川水1+上)一1而必

=+xln(14-x)—|p-尸①

=J©'+/ln(1+1)—『十ln(1+I)4-C

标准答案:J

知识点解析：暂无解析

『一比一

16、求人向1+”)。

标准答案：令G=t,则/=?,d/=2tdt,tG[l,],故

知识点解析：暂无解析

17、求函数y=xarctanx-ln八十工'的导数y。

y-(1)'arcian.r十上•(arctanx)7—(In1/1-Fx')

=arctan.r4--~—~~q----工—•(八+三)'

]十天

1

=arctartr

八十P

=arcianj,+,”，-,f—arctanj.

标准答案：I+«r14-x

知识点解析:暂无解析

18、设p+y2+2%-2yz二」确定函数z=z(x，y),求心*'K。

227z

标准答案：令F(%,y,z)=%+y+2%-2yz-e-0,则Fy=2y-2z,Fz=-2y-e,

卫=_&=2(/+1)<iz__F,_2(>—z)

故当③"松时，有"一五一2y+e，-F「2y十£

知识点解析：暂无解析

ITEd«rdy

19、计算二重积分号”，其中D是由直线％=2,y=%与双曲线d=1所围成的

区域。

11,

]&y&N.

标准答案：先沿y方向积分，区域D可表示成:则

=1：6T,划工

知识点解析：暂无解析

20、求微分方程y-2y-3y=xe，的通解。

标准答案：相应的齐次方程为，・2二3y=0,其特征方程为凡2「-3=0,得特征根为

n=3,r2=-l,故齐次方程的通解为yuCdX^e^Ci，C2为任意常数)。由于自由

项敢)=短乙人=-1是特征单根，故可设原方程的特解为y*=K(A%+B)e]，将y*代入

原方程，得-8A%+2A-4B=x，有-8A=I,2A-4B=0得、=一至，3二—正故原方程

的特解为山冈。所以原方程的通A解为y=Cie3，+C2e%(2%+l)6(Ci，C2为任意常

数)。

知识点解析：暂无解析

广东专插本(高等数学)模拟试卷第2

套

一、综合题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

设函数f(x)=x-2arctanxo

1、求函数f(%)的单调区间和极值：

/"(]*)1---2Si，..—I,

标准答案：因为函数f(2)=%-2arctanx,则1。'【♦尸，令f(%)=0,

，

得驻点尸±1。当时，f(x)>0：当-1V%V1时，f(x)<0;当%>1时，

/(%)>0故函数人%)在(-8,-1)与(1,+8)上单调增加；函数f(%)在(-1,1)上单调减

少。因此函数f(%)在尸-1处取得极大值f(-l)二口1在尸1处取得极小值

f(l)=l-O

知识点解析：暂无解析

2、求曲线y=f(%)的凹凸区间和拐点。

标准答案：因为“小二土兀所以=行方，令f(%)=0,得尸0。因为

当%>0时，f"(%)VO,故曲线y=f(x)在区间(。，0)上是凸的。又因为当x>0E寸，

f(%)>0,故曲线y=f(x)在(0，+8)上是凹的，且(0,0)是曲线的拐点。

知识点解析：暂无解析

4_]=「_A_

3、证明：方程”在(0,1)内仅有一个根。

标准答案：令/8="7一1，备，则f(%)=4»l-arctanx,且政)的定义域为(-

冈

8,+oo)o因为f(0)=IV0,f(l)=3-口>0,所以，由零点存在定理，可知函数

f(»在(0，1)内至少存在一个零点。又，所以，f(%)在(0,1)上是单调递增的，即函

数f(%)存(0,1)内有且仅有一个根。

知识点解析：暂无解析

二、选择题(本题共5题,每题分，共5分。)

，

y=31一

4、函数,2+3"的反函数是()

3r

A、、-3'+2

2+3・

V一—

B、，¥

y=log,

D、

标准答案：c

知识点解析：暂无解析

sin(zr1)

lim

5、V-1=()

A、1

B、0

、

C2x

D、2

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

6、已知加2k）=油%,则1%）=（）

B、z

C、1股

D、/Inx

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

7、在下列给定的区间内满足洛尔中值定理的是（）

A、y=Ix-1I,[0,2]

->[0,2]

y

B、y（x-i）

2

C、y=x-3Z+2,[1,2]

D、y=xarcsinx,[0,1]

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

8、下列关于二次积分交换积分次序错误的是（）

ru

d1|人工，y)dy=

A、

/(•r,y)dy=

B

f(jr^y)dy

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

三、填空题（本题共5题，每题分，共5分。）

9、y=X3lnx（x>0）,则y（4）。

6

标准答案.y

知识点解析：暂无解析

(尸•arctanj+cos.r)d.r

10、定积分

标准答案：2

知识点解析：暂无解析

=31+1,

i则力

11、设13一2「一/十1,di

标准答案：1

知识点解析：暂无解析

12、若函数f（无尸a£+-b%在％=1处取得极值2,则a二.，b=

标准答案：-2,4

知识点解析：暂无解析

13、交换积分；的积分次序，则1=

标准答案」时。“

知识点解析：暂无解析

四、解答题（本题共8题，每题上。分，共8分。）

lim.re-c•(c1-1)cos[•]

14、求极限’“L8sin3.r

lim[(c,-1)•COS

।一n8sin3.r

im*；---lim(e'-1)•cos-

一“bsm3/,一》x

im-lim/-cos1

•i>241-oj-

imM"

-0

2«1

标准答案：一丁

知识点解析：暂无解析

2xq/

15、设ynE,求必

"cos

di(备)•(品)

/2.r、2(1+/')—2«r•2;

…(G)---aTPT-

2

2(1-x)2JT

7

标准答案:一(1-FJ:)：C05ITT'

知识点解析：暂无解析

[--L—dx

16、求不定积分J/户了o

[一；_•—[———，痴疝

J丁・(\+-Jtan'/•ttccf

=f雪山

Jsin,t

二iIr-

标准答案：s皿1

知识点解析：暂无解析

17、求函数y=2/+3/-12%+l的单调区间。

标准答案：y=6X2+6%-I2=6(X2+%-2)=6(X+2)(X-1),令y=0,得为『2,殍=1,歹ij表

1(-.-2)-2(-2.1)1(1・+3

$0一0

、W

，M/

讨论如下：由

表可知，单调递增区间是(-8,-2],[1,+00),单调递减区问是[-2,1]。

知识点解析：暂无解析

18、设政)是连续函数，且J。求政)。

1

标准答案：等式两边对义求导得f(f-l).3/=i,即敢令%=2,得f(7)二

I

我。

知识点解析：暂无解析

Bdidy

19、y,其中D是由y=%和丫2=%所围成的区域。

P号亚"f学叱"

=|£2^（y_y2）dy

—jcosydy-Jycosydy

=sinj-[yd（5inv）

oJo"

=sinl-sinl-cosyI

标准答案：1-cosl.

知识点解析：暂无解析

20、设'>7（>）"fX（x）,其中f（u）,g（v）分别为可微函数，求喜'羡

票="住）・：+|仔）+必仔）・（一力

舒=/（5）+”（介「热+用'（介土

标准答案："住厂〜'（力*）・

知识点解析：暂无解析

21、求微分方程2£*噌+3y=。的通解。

标准答案：原方程的特征方程为2r2+4什3=0,特征根为

〃一十争心-一净,所以原方程的通解为

.V=e'（c.cosyj-FCjsin

知识点解析：暂无解析

广东专插本（高等数学）模拟试卷第3

套

一、综合题（本题共2题，每题1.0分，共2分。）

J

1、求抛物线丫=5£与/+y2=8(y>0)所围成图形的面积及该图形绕/轴旋转一

周所成旋转体的体积.

犷，得或仁”

22-Oy=2，\y=2,

标准答案：解方程组”十、一8,故所求的面积为：

C2._______1

S=卜8T―/严

=「依二？"一4

J-26-2

352

=15w，

知识点解析•：暂无解析

arctarrr

2、证明：当心0,ln(l+x)N1+工,

标准答案：设F(%)=(1一%)ln(l+%)—arctan%,则Ff(x)=ln(l+%)+1—

]=1(1+)

1+下一n”-1+工2当％>0时，P(x)>0，所以F(x)单调增加，则当

arctanz

%>0时，F(x)>F(O)=O.即(1+%)ln(l+%)>arctan%故ln(l+»>1+工.当％=0

arctaniarctanx

时，ln(l+»=0,1+z=0.所以当发0时，有ln(l+%)21+-.

知识点解析：暂无解析

二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

z)0,•T20.

/(X)=

nV0,<0,则当时,

3、设f(%)=(<0

fl<p(x)]=()

A、X

9

B、-X-

c、-x

D、X2

标准答案：B

知识点解析：左0时，(p(x)=x>0,f[(p(x)]=x2j/V。时，▼(%)=—/vo，f[<p(x)]=

产2,彳2O.

一/所以fk(x)]=1一”<0'故本题选民

-ijm__________________=X

4、设政)在广加可导，有…/Q。一2])一/(%)-彳，则，(沈)=()

A、4

B、-4

C、2

D、-2

标准答案：D

知识点解析：

_____£=..________T_______=工]=]_

…/(Xo—2N)—/(Z0)___Mf(工o—2z)—f(Ho)_____2f(x0)4

-2a

则?a0)=—2,故选D.

5、若Jf(%)d%=F(%)+C,则Jsin%f(cos%)dx=()

A、F(sin%)+C

B、-F(sinZ)+C

C^F(cosx)+C

D、—F(cos/)4-C

标准答案：D

知识点解析：kinyf(cc*%)d%=—Jf(co女)dcc*x=-F(co*%)+C,故选D.

2

6、设当为一0时，(l—8S%)ln(l+£)是比％sin%n高阶的无穷小，而％sin£是比

—1高阶的无穷小，则正整数n等于()

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：B

知识点解析：根据题意有，

I22

1.(J-cosx)ln(1+x2)..2X

hm---------：~;-------=hm----7n—=

一oxsinx一ox则n—3

<0,则，n—1>0,综上所述，得n

=2.

CO8

2s

7、若级数”Sn收敛于S,则（an+an+l—an+2）收敛于（）

A、S+ai

B、S+a2

C、S+ai-32

D、S—ai+a2

标准答案：B

知识点解析：由多即收敛于S,则前n项和SS）=£%,，"Fsi（n）=S.令

+an+i—an+2）的前n项和为S2（n）,即S2（n）=ai+32-33+32+33—34+...4-an-i+an

s

-4-1

an+iIanIan+i—an+2=ajIa?—an+2»故

limS2（n）=lim（Yja,+a2—a”.，）

—=S4-a2-0=S4-a2.

三、填空题（本题共5题，每题分，共5分。）

8、若f（劝的定义域为[（）•1],则f（疥的定义域是______.

标准答案：[-1，1]

知识点解析：由心右1却OE£WI,则一吆仄1,故《/）的定义域为[-1,

9、若％—0时，（1一公2），-1与邓in%是等价无穷小，则a=.

标准答案：a=-4

1上・（—ax2）

].（1—ar2）7—1..4一一&_1

lim-------：-------=nm------Q----------7----1

4

知识点解析：isinzLO“所以a=

-4.

lim/（*—2'z）一/（冗）

10、设政）在点加可导，型…△工

标准答案：一2?（%0）

知识点解析：

lim/(入_2/)-必=-21im八工。一2空一卜色一2/3

tur~»O>工Ar-»O-20工

11、设f(%)的一个原函数为In2%,则垃P(x)dx=.

标准答案：21n%—ln2%+C

知识点解析：霰积函数中有「⑴，用分部积分法，kF(%)d%=kdf(%)=%f(%)—Jf(%)d%

21nx

=%f(%)—ln2%+C，其中f(x)=(ln2%)，="，于是/?(%)&(=21叫一1112%+(2・

12、微分方程(l+/)y，=y]ny=O的通解为.

标准答案：lny=C°arc⑶叨

(1+尸)史=>lny=>=-2-jdx=>ln|ln>|

知识点解析：&1+彳=arctanx+

lnICI,Iny=Cearcsnz其中c为任意常数.

四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

14x4-3

lim(1-----\.

13、求极限—8、工)

标准答案：令一X=3则当先—>8时，有t—CO,所以

知识点解析：暂无解析

(X=/(Z)—六，

切

14、设I)=一1),其中f可导，且？(0)加求di!；“。的值.

标准答案：

因字=/(e^-1)•e3,-3=3a.=fU),

dtd£

dy

于是乎=*=止行二1A,所以y=需=3.

dxdxJ⑴driJ(0)

dt

知识点解析：暂无解析

15、计算不定积分

标准答案：

a--s^—dj=2arcsinjrd(+z)

yiJ

I

=2\/l+xarcsinx-2+z•—.-1.djr

=2Ml+jrarcsinz-2-—dz

J

=2(y/}+xarcsinjr+2—彳)+c.

知识点解析：暂无解析

16、由曲线y=(%—1)(%—2)和4轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周

所成的旋转体的体积.

标准答案：如图选为为枳分变量，得旋转体体积V=J/2兀%(0—丫)取=2兀//—以%—

l)(X-2)dx=-27rfi2(x3-3x2+2x)dx=2.

知识点解析：暂无解析

17、设z=ln(z+〃z2+7),求"3"

标准答案:

牛=-・2工］

2工z+J/+y2L2」

=1+/（，+y，）T

X+，一+♦

齐---^了（/+，）孑・2y（z+J*+，）一［1+J€Z^+，）V］•［~］（拉+，尸•2

晒Cr+，？+』）2

:孙（RZ+炉）-+口+（/+y）+］+口十十；/）［・+；/）T

一（工+，/+.）2

「y（」+y）T［。+2］（白+>2。+（Z2+、2）］

（N+"+-）2

=_虫/+丁)7=--各产2

知识点解析：暂无解析

』5"

18、求D,其中Dffty=x，xy=lX及y=2围成.

标准答案：如图所示区域D：10yW2,则

4亍“=△^：^dx=f(i-27)d>

=(q+$)「=高

知识点解析：暂无解析

19、求微分方程,常+2手，工的通解.

标准答案：观察题目，直观看出原方程可写为(1»)'=%两端积分有

e，y=J/+C.《彳2e，+八一)

乙所以原方程的通解为y=2,其中c

为任意常数.

知识点解析：暂无解析

OO

1

20、判定级数G3-5+1)

的敛散性.

1

lim=lim•3-(兀+1)=—

标准答案：L8…3"(n+2)3<1,故

OO

1

3-(〃+/收敛.

>t-1

知识点解析：暂无解析

广东专插本(高等数学)模拟试卷第4

套

一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)

1、设z=f(屋丫，ytanx)，其中f(u,v)是可微函数，求dz.

标准答案：令u=e/丫，v=ytan%,则z=f(u,v),故dz=fu(u,v)duJ-fv(u,v)dv

x-y2z-y

=fud(e'—y)+fv，d(ytanx)=fue(dx—dy)+fv(ysecxdx4-tan/dy)=(efu+

2zy

ysecfv)dx+(tan%fv—efu)dy.

知识点解析：暂无解析

市

2、证明：方程3%—1一建丁”=0在区间(0，1)内有唯一实数根.

标准答案：令政)=3厂1一J。1+”,则散)=3—1+/在［0,1］上有意

义.即有f(x)在［0，1］上连续，而f(0)=—IVO,f(l)=2-arctanl=2-4>0,所

以至少存在一个：在0,1)使f(&)=0,即方程f(%)=0在(0,1)内至少有一个实数

]=2+3/

根，又？(%)=3—1+三一厂K>0,即f(%)在(0，1)内单调增加.故方程3%

一I-Jo】+“dl=O在(0,1)内有唯一实根.

知识点解析：暂无解析

二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

sinx>0,

<则linj/(x)=

xsin—,x<0,1"

3、设函f(%)=(”()

A、-1

B、0

C、1

D、不存在

标准答案：D

limsin-

知识点解析：―工极限不存在，本题应选D.

4、设函数f(x)=lnsinx，则df(%)=()

1

A、six

B、—cotxdx

C、cot^dx

D、tan/d/

标准答案：C

1

知识点解析：d(lnsinx)=s*arcos%dx=cotxdx，故应选C.

5、f(X2)=x(X>0),则敢)=()

A、2%+C

B、26+C

C、x2+c

1

D、6+C

标准答案：B

I

知识点解析：令1=/则％=〃，「(%)=«(%>()),f(x)=ff(x)dx=

f-yz.dx=2日

JG+C,故应选B.

+7——i-/

6、如果使函数f(%)=x在点％=0处连续，应将其在点％=0史的

函数值补充定义为()

A、0

B、2

C^一1

D、1

标准答案:D

Jl+—*J\—X[•1-Fx-1+J'

hm-----------------=lim----「，，J---------,.

RX

--°LOX(/+1R+y/\—x)

2

lim

知识点解析:若敏)在

%=0处连续需补充定义f(O)=l,故本题选D.

a”+1a”Ia”一I

7、设Pn=2，qn=n=l,2,则下列命题中正确的是

()

Z22OO

A、若”Tan条件收敛，则1IPn与”7qn都收敛

ooOo

B、若”7an绝对收敛，贝hs=1Pn与s"Iqn都收敛

anOQ8

C、若”7an条件收敛，则”7Pn与一5】的敛散性都不定

8OUoo

22X

D、若“—an绝对收敛，则”-Pn与*】qn的敛散性都不定

标准答案：B

g8q

知识点解析：a绝对收敛“小与牛都收敛,朵条件收敛

oooooo一个收敛，一个发散=£而发散，故

0中与牛都发散,经,与毕

本题选B.

三、填空题(本题共5题，每题L0分，共5分。)

「(l+x)(l+2x)(l+3x)+a

lim-----------------------------

8、设“-0X=6,则a=.

标准答案：一1

(l+x)(l+2x)(1+3x)-Fa

hrm---------------------------

知识点解析：—1=6,则(1+0)(1+20)(1+3.0)+

a=0,a=­1.

9、已知曲线y=『+%-2上点M处的切线平行于直线y—5%—I,则点M的坐标

为.

标准答案：(2,4)

知识点解析：y,=2%+l=5,则％=2,故M点坐标为(2,4).

X

10、已知政)=/+cos%+2分敢姒，则敢)=.

标准答案：％+cos%+3+sinl

知识点解析：令f(%)=/+cos%+C,则f(%)=/+cos%+2Jo(x2+cosx+c)d%,f(%)

x2+cosx+:(事+sin/+Cr)|°=z?+cosx+y(y+sinl+C),

+sinl+C)2_A.

即C='\J),C=3+sinl,故f(x)=%+cosx+3+sinl.

11、微分方程y〃一/=0的通解为.

标准答案：y=Ci+C2e*

知识点解析；微分方程的特征方程为九2—入=0,则特征根为筋=0,入2=1，故微

分方程的通解为y=CI+C2eZ(Cl，C2为任意常数).

3e4x<0,

2“+等，z20

12、若函数f(x)=〔.'在/=0处连续，则a=.

标准答案：6

知识点解析：

lim/2工+葛)=-2.,Iim3e0=3,又lim/(z)=lim/(x)=/(x)*年

LQ+1乙)2lLr・『即'=3,

故a=6.

四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

ln(]+orJ)

x<0,

JC-arcsinx

6,x=0,

4

e"+d—or—1

~—-9x>0,

xsinf

4

13、设f(%)=问a为何值时,f(X)在％=0连续;a

为何值时，％=0是f(x)的可去间断点.

标准答案：(l)f(0)=6；

(2)limf(工)=lim区VW"=lim——

丁一)一一()一1—arcsinjr.。一x-arcsinx

(3)lim/(z)=lim竺+P-or-1=.¥十二一。一1=+4・

一0-isin97寸—JC2

44

若f(%)在％=0处连续，应有2a2+4=-6,故a=-l.若政)是敢)的可去间断

lim/(x)=lim

点，则应有—。'-。一(»丹(0)，即2a2+4=—62彳6,故存一1，所以a=一

2时，％=0是可去断点.

知识点解析：暂无解析

[,「211

14、求，一L/+11+1」

2=2

标准答案：原式=1—彳—2.

知识点解析：暂无解析

15、设函数y=y(%)由方程y=(l”)z.严确定，求y：

标准答案：

y=[(Inz)']'•+(lnjr)x・(彳巾)'

=[e,“…了."+(lnx)-•

f,,n(hu，・

=erin(lnj-)+/・・_L].+(\nxy.小，2\nx.

LInmzjr

=(lnT)r・「In(lnx)+工[・彳应+2(lnLr)^r,・xlnjr~l

inj-•

知识点解析：暂无解析

[—

16、求不定积分J1+/3-工

标准答案：设t=，3-则％=3—f2,d%=一

Ji+^T备"

二T钎山

=_2九1一告产

2tdt.=2(lnI1+c|—”+C,再将t=，3—z代入,整理

f------g=21n(1+v^3—x)—2-3—z+C.

后得J1+43—工

知识点解析：暂无解析

17、过点M(3,0)作曲线y=ln(%—3)的切线，该切线与此曲线及％轴围成一平面图

形D.试求平面图形D绕为轴旋转一周所得旋转体的体积.

标准答案：设切线与曲线的切点为Mo(xo,1n(xo-3)),由于工。一3,

]

所以切线方程为丫一侬M—3)=4。-3(%一/0),因为切线经过点M(3,0),所以将

M(3,0)代入上式得/o=e+3,从而切线方程为y=e(%—3),于是，所求旋转体

22

V=XlXe-K(ln(x-3))dx

34

&二学—邛(In。?|；一2「rudJ

知识点解析：暂无解析

18、求7(r+y-)dc,其中口为丫=%+2,y=3a(a>0)为边的平行四边形.

223ay2

标准答案：首先画出积分区域D,把它看作Y型.则«(Z+y)da=fadyfy-a(X

2

324

+y2)d%=]/a(3z+yx)|y.a>,dy=14a.

知识点解析：暂无解析

19、求微分方程y"+4y，+3y=0满足yI尸0=2,y，15c=o=6的特解.

标准答案：微分方程的特征方程为#+4入+3=0,则特征根入1=-1,入2=一

3.则微分方程的通解为y=Cie-%+C2e、x(C],C2为任意常数).又y，=-Ci/%

।Ci+C2=2«=6,

—3C2e』，yI尸。=2,y,I尸0=6。1一G-3C?=6,m=-4.故微分

方程特解为y=6cF-4「3%.

知识点解析：暂无解析

£2k-1

20、判定级数。T(6的敛散性.

标准答案：…M"…(62n\⑪，故…(a)

收敛.

知识点解析：暂无解析

广东专插本(高等数学)模拟试卷第5

套

一、综合题(本题共2题，每题分，共2分。)

1、过点P(I,0)作抛物线》一/工一2的切线,该切线与上述抛物线及无轴围成一平

面图形，求此图形绕无轴旋转一周所成的旋转休体的体积。

y—k(T—I).

标准答案：设切线的斜率为k,则切线方程为y=k(a),联立•得是

2222

kZ-(2k+l)x+k+2=0,由于直线和抛物线相切，所以(21?+1)2-41<2(1?+2尸0,叱简

得4k2=1,联系实际解得2。又一N一相不与-5,解得％=3,代入

丁=厅互，得尸I,即切点坐标为(3,1),所以

V=-1-X2XxX1：一”「(彳一2)(1X=工

JJ26o

知识点解析：暂无解析

2、证明方程"=7-Jo，】_cos2/d/在区间ee5内仅有一个实根。

l、h代…/(1)=Irv-土+A-cos2xdz显然政)在匡，e)上连续,

标准答案：令AeJo

/(e)=Inc--4-Jy/1—cos2xd-r=J_cos2«rd.r=25/2>0.

八e」)—lnes一"+Jvzl-cos2jrdr=3—+2&V6—c?<0.

由根的存在定理

得，在e。3)内至少存在一个根。使得解)=0,又八*"!一?，在(e,eb内

f(X)<0,所以f(x)在(e,C?)内单调减少。综上所述，方程

，nX=e"L⑺-在区间二e5内仅有一个实根。

知识点解析：暂无解析

二、选择题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

3、极限()

A、1

B、-1

C、0

D、不存在

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

/(X)=Jx

4、设1°，”=0呗1卜=0是函数人7)的()

A、可去间断点

B、第二类间断点

C、连续点

D、跳跃间断点

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

5、设f(功在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则曲线y=f(%)在(a,b)内

平行于X轴的切线()

A、仅有一条

B、至少有一条

C、有两条

D、不存在

标准答案：B

知识点解析：暂无解析