福建省厦门海沧实验中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页福建省厦门海沧实验中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，2．函数f（x）=A．（-2,-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）3．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．4．若，则（

）.A． B．C． D．5．已知集合，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数的增区间为（

）A． B． C． D．7．已知，且，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，经过分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至用时2分钟，那么水温从降至，用时为（

）（参考数据：）A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟二、多选题9．已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数是偶函数 B．函数是增函数C．函数的值域为 D．函数的对称中心为10．下列函数中，最小值为4的是（

）A． B．C． D．11．函数称为狄利克雷函数．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，利用其独特性质可以构造许多数学反例．狄利克雷函数的出现，表示数学家们对数学的理解发生了深刻变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来．这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．以下结论正确的有（

）A．对任意，都有B．对任意，都有C．对任意，都存在，D．若，，则有三、填空题12．．13．设函数，则满足的的值是．14．已知函数在上为奇函数，且在上为增函数，，则函数为函数（填：奇，偶，或非奇非偶）；不等式的解集是．四、解答题15．已知集合．(1)求集合；(2)设集合，且，求实数的取值范围．16．已知函数．(1)证明函数为偶函数；(2)用定义法证明函数在区间上单调递增；(3)求函数在区间上的最大值和最小值．17．某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）(1)分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数；(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．(1)求实数的值；并求函数在上的解析式；(2)证明：函数的图象与轴恰有一个交点；(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．19．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有.”已知函数的图象关于点对称，且当时，.(1)求的值；(2)设函数，（i）证明函数的图象关于点对称；（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《福建省厦门海沧实验中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案DCCAAACDBCDABD题号11答案ACD1．D【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：D．2．C【详解】试题分析：，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理3．C【分析】利用函数的奇偶判定为偶函数，从而即可求解.【详解】由题意可得定义域为，，所以函数为偶函数，故A、B、D错误，C正确.故选：C.4．A【解析】根据指对数的函数性质即可知的大小关系.【详解】，，，∴，故选：A5．A【分析】根据指数函数单调性解不等式可得集合，再根据集合间的关系可解.【详解】由，得，则，所以是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.6．A【解析】先求得函数的定义域，再令，结合的单调性，利用复合函数的单调性求解.【详解】由，解得或，因为在递减，在递增，又因为在递增，所以增区间为故选：A7．C【分析】由题可得，再结合基本不等式即可求解.【详解】由题知，且，则，当且仅当，即时取等号，故C正确.故选：C.8．D【分析】首先根据已知条件，结合对数运算求出半衰期的值，然后再利用求出的值计算水温从降至所用的时间.【详解】已知，初始温度，当热水降至用时分钟，此时，分钟.将这些值代入公式中，得到.即，化简可得.对等式两边取对数，.根据对数运算法则可得.又因为，.将其代入上式可得.已知，代入可得.即，解得.设水温从降至用时分钟，此时，，，.代入公式，得到.即，化简可得.所以，解得分钟.故选：D.9．BCD【分析】先应用点在函数上得出参数，再应用奇偶性，单调性，值域，对称性定义判断各个选项.【详解】幂函数的图象经过点，则，所以，，函数定义域为，，所以是奇函数，A选项错误；函数是上的增函数，B选项正确；函数的值域为，C选项正确；因为是奇函数，关于对称，所以函数的对称中心为，D选项正确；故选：BCD.10．ABD【分析】由题可对A判断求解；利用基本不等式可对B判断求解；利用不等式性质可对C判断求解；利用基本函数单调性可对D判断求解.【详解】对于A，，当时取等号，故A正确；对于B，因为，，当且仅当，即时取等号，故B正确；对于C，因为，所以，则，故C错误；对于D，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，则当时取到最小值，故D正确.故选：ABD.11．ACD【分析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定AB选项；根据，可判定C选项；根据的值域，可判定D选项，即可得到答案．【详解】解：对于A，若自变量是有理数，则，若自变量是无理数，则，所以A正确；对于B，若自变量是有理数，则也是有理数，可得，所以B错误；对于C，显然当时，对任意，都存在，，所以C正确；对于D，由，可得函数的值域为，当时，，当时，，故，所以D正确．故选：ACD.12．【分析】利用指对数的运算法则，即可求出结果【详解】由题意可得.故答案为：.13．或.【分析】利用解析式分段讨论即可求出【详解】由题当时，，解得，符合题意；当时，，解得，符合题意；综上所述：可得的值是或.故答案为：或.14．偶【分析】由函数奇偶性的定义可判断第一空，由函数的奇偶性，求解时，的解集，即可求解.【详解】令，定义域为，所以，即为偶函数，又，得当时，，由在上为增函数，，可得：的解集为，即当时，，得又为偶函数，所以时，得，综上的解集为故答案为：偶函数；.15．(1)(2)【分析】（1）先求出集合的补集，再与集合求交集即得；（2）由，列出不等式组，解之即得.【详解】（1）由题，所以，则.（2）由集合，且，所以，解得，所以实数的取值范围为.16．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)最大值与最小值分别为.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明即可；（2）利用函数单调性的定义，作差证明即可；（3）利用函数的单调性与奇偶性计算即可.【详解】（1）易知函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以该函数为偶函数；（2）由该函数为偶函数，不妨取，令，所以，则，则，即在上单调递增，证毕；（3）由上可知：所以在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以在区间上的最大值和最小值分别为.17．(1)，(2)6.25万元，4.0625万元【分析】（1）设，，代入点的坐标，求出解析式；（2）设B产品的投资额为x万元，创业团队获得的利润为y万元，列出，换元后，配方得到时，y取得最大值4.0625.【详解】（1）因为A产品的利润与投资额成正比，故设，将代入，解得：，故，因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设，将代入，解得：，解得：，故；（2）设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为万元，创业团队获得的利润为y万元，则.令，可得，即.当，即时，y取得最大值4.0625.答：当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元.18．(1)；(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用求，利用奇函数的定义求解析式；（2）解方程即可；（3）结合奇偶性和增减性得出，再参变分离结合基本不等式即可.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，解得，则时，，当时，则，，又是奇函数，则，则；（2）当时，由得（舍）；当时，得，则函数的图象与轴恰有一个交点；（3）因为是奇函数，则可化为，因为在上单调递增，且是奇函数，则在上单调递增，则，即，因为，则，当且仅当时等号成立，则，故实数的取值范围为.19．(1)4(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）由结合条件即可判断.（2）原命题等价于的值域包含于的值域，分析可得的图象过对称中心，对a分类讨论，结合的单调性及对称性列式即可求解.【详解】（1）因为函数的图象关于点对称，所以，所以.（2）（i）证明：因为，，所以，所以.即对任意，都有成立.所以函数的图象关于点对称.（ii）由，易知在上单调递减，所以在上的值域为.设函数，的值域为A.若对任意，总存在，使得成立，则.因为时，，所以，即函数的图象过对称中心.①当时，函数在上单调递增.因为函数的图象关于点对称，所以在上