2026年高考数学复习讲义（新高考）第1节 任意角、弧度制和三角函数的概念（原卷版）

第四章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制和三角函数的概念学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点考点1角的概念的推广★★★☆☆考点2弧度制的定义和公式★★★☆☆考点3任意角的三角函数★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【知识梳理】1.角的概念的推广★★★☆☆(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式★★★☆☆(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|=lr(弧长用l表示角度与弧度的换算1°=π180rad;1rad=180弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|3.任意角的三角函数★★★☆☆(1)定义前提如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)定义正弦y叫做α的正弦函数,记作sinα,即sinα=y余弦x叫做α的余弦函数,记作cosα,即cosα=x正切yx叫做α的正切函数,记作tanα即tanα=yx(x≠三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数(2)定义的推广设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),那么sinα=yr;cosα=xtanα=yx(x≠【名师点拨】1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.象限角3.轴线角4.若角α∈0,π2,则sinα<α<tan【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(4)若α为第一象限角,则sinα+cosα>1.()2.(苏教必修一P170【典例】2改编)已知α是第一象限角,那么α2A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或二象限角 D.第一或三象限角3.(人教A必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(-12,5),则sinθ+cosθ=.

4.(北师大必修二P12B组T2)在半径为R的圆中,120°的圆心角所对的弧长为,面积为2R2的扇形的圆心角等于弧度.

【考向核心题型】考点一象限角及终边相同的角【典例】1(1)(多选)下列命题正确的是()A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ,k∈Z}C.第三象限角的集合为αD.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315°(2)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.α2C.3π2+αD.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角【变式训练】1(1)集合α|kπ+(2)终边在直线y=3x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为.

考点二弧度制及其应用【典例】2已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l(α>0).(1)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角;(2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?【变式训练】2(2025·沈阳调研)成都大运会官方体育图标——“十八墨宝”以大熊猫“奇一”为原型,将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致.如图1所示,射箭的“水墨熊猫”以真实的射箭运动为原型,生动形象.在如图2所示的弓形中,弧中点到弦中点的距离为2cm,弦长为8cm,则弓形的面积约为(参考数据:sin74°≈0.96,π≈3.14)()A.8.2cm2 B.9.1cm2C.11.1cm2 D.4.1cm2考点三三角函数的定义及应用角度1三角函数的定义【典例】3(1)(2025·河南五市联考)以坐标原点为顶点,x轴非负半轴为始边的角α,其终边落在直线y=x上,则有()A.sinα=-22 B.cosα=C.sinα+cosα=±2 D.tanα=±1(2)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,则mA.-12 B.-3C.12 D.角度2三角函数值符号的判定【典例】4(2025·华东师大附中模拟)如果θ是第三象限角,则()A.sin2θ>0且tan2θ>0B.sinθ2>0且tan2θC.sin2θ>0且tanθ2D.sinθ2>0且tanθ【变式训练】3(1)(多选)(2024·湖北部分学校联考)若角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴且sinα·sinα+π2>0,A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)(2025·乌鲁木齐模拟)已知角α(0<α<2π)的顶点在坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边上A点坐标为sinπ6,cosπA.π12 B.C.π4 D.【限时训练】（限时：60分钟）一、单选题1.下列与角9π4A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+9π4(k∈ZC.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+5π4(k∈Z2.(2025·重庆诊断)已知点Pcosπ3,1是角α终边上一点,A.55 B.3C.12 D.3.角α的终边在直线y=32x上,则cosαA.1313 B.C.±31313 4.若sinθ·cosθ<0,tanθsinθ>0,A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角5.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是()A.π6,πC.2π3,7π6 D.2k6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》中有如下两个问题:[三三]今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?[三四]又有宛田,下周九十九步,径五十一步.问为田几何?翻译为:[三三]现有扇形田,弧长30步,直径长16步.问这块田面积是多少?[三四]又有一扇形田,弧长99步,直径长51步.问这块田面积是多少?则下列说法正确的是()A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步B.问题[三四]中扇形的面积为50494C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步D.问题[三四]中扇形的面积为504927.扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1),图2为其结构简化图.设扇面A,B间的圆弧长为l,A,B间的弦长为d,圆弧所对的圆心角为θ,则l,d和θ所满足的关系为()A.2sinθ2θ=dl C.2cosθ2θ=dl 8.(2025·杭州调研)如图,A,B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻,质点A在(1,0)处,质点B在第一象限,且∠AOB=π6.质点A以π6rad/s的角速度按顺时针方向运动,质点B同时以π12A.经过1s后,扇形AOB的面积为5πB.经过2s后,劣弧AB的长为2πC.经过6s后,质点B的坐标为−D.经过113s后,质点A,B二、多选题9.已知角θ的终边经过点(-2,-3),且θ与α的终边关于x轴对称,则()A.sinθ=-21B.α为钝角C.cosα=-2D.点(tanθ,tanα)在第四象限10.已知点P(sinx-cosx,-3)在第三象限,则x可能位于的区间是()A.5π4,9πC.−π2,11.(2025·北京昌平区质检)已知角α是第二象限角,则下列不等式一定成立的是()A.sinα2<0 B.tanαC.sinα2>cosα2 D.sin三、填空题12.若α=1560°,角θ与α终