2025-2026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之正态分布

第21页（共21页）2025-2026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之正态分布一．选择题（共7小题）1．下列说法错误的是（）A．在做回归分析时，可以用决定系数R2刻画模型的回归效果，若R2越大，则说明模型拟合的效果越好 B．可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强 C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D．某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），σ越大，该物理量在一次测量中在（9.8，10.2）的概率越小2．设随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.3，则P（X＜0）＝（）A．0.65 B．0.7 C．0.35 D．0.253．某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果X～N（10，σ2），则下列结论中错误的是（）A．P（X＜10）＝0.5 B．P（X＜9.8）＝P（X＞10.2） C．P（9＜X＜9.5）＝P（10.5＜X＜11） D．σ越小，P（10﹣σ＜X＜10+σ）越小4．已知随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.3，则P（0＜X＜4）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.55．已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布N（μ甲，σ甲2）和A．μ甲＞μ乙，σ甲＞σ乙 B．μ甲＞μ乙，σ甲＜σ乙 C．μ甲＜μ乙，σ甲＞σ乙 D．μ甲＜μ乙，σ甲＜σ乙6．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣3）＝P（X≥3a﹣1），则(x-axA．﹣8 B．﹣4 C．8 D．247．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当b＜x＜A．1+24 B．3+224 C．7二．多选题（共2小题）（多选）8．影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响．经调查某种植物的株高X（单位：cm）近似地服从正态分布N（50，σ2），若P（X＜45）＝0.12，则（）A．P（X＞55）＜0.12 B．P（X＞55）＝0.12 C．P（X≥45）＝0.88 D．P（X＞45）＞0.88（多选）9．下列说法正确的是（）A．若随机变量X∼B（6，P），E（X）＝4.8，则p＝0.8 B．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(C．某射击运动员每次射击击中目标的概率均为0.8，设击中目标的次数为X，则在9次射击中，当且仅当X＝8时概率最大 D．对于随机事件A与B，若P(B)=0.3，P(三．填空题（共4小题）10．已知随机变量ξ～N（3，σ2）（σ＞0），若P（ξ≥1）＝0.9，则P（3≤ξ≤5）＝．11．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（0＜ξ＜3）＝0.4，则P（3＜ξ＜6）＝．12．若随机变量X～N（1，σ2），且P（X＜0.9）＝0.3，则P（|X﹣1|＜0.1）＝．13．若随机变量X～N（3，σ2），且P（1≤X≤3）＝a，P（X≥5）＝b，则3a+4b2ab的最小值为四．解答题（共2小题）14．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上的学生有12人．（1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？（2）若成绩在80分以上（含80分）为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？附正态分布3σ概率表：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.997315．在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为X（单位：cm，以下同），且X∼N（20，0.0001）．（1）分别写出E（X），D（X）的值；（2）若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在[19.97，20.03]内的铜棒根数；（3）若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在[19.98，20.03]内的概率．参考数据：若X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．

2025-2026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之正态分布参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BCDCCAB二．多选题（共2小题）题号89答案ACABD一．选择题（共7小题）1．下列说法错误的是（）A．在做回归分析时，可以用决定系数R2刻画模型的回归效果，若R2越大，则说明模型拟合的效果越好 B．可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强 C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D．某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），σ越大，该物理量在一次测量中在（9.8，10.2）的概率越小【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据决定系数的性质，相关系数的性质，正态分布的性质即可求解．【解答】解：选项A，决定系数R2越接近1，模型对数据的拟合效果越好，故A正确；选项B，刻画两个变量相关程度强弱的是相关系数的绝对值|r|，而非r本身的数值大小，故B错误；选项C，残差图中，残差点的水平带状区域越窄，说明残差波动小，回归方程的预报精确度越高，故C正确；选项D，正态分布N（10，σ2）中，σ越大，曲线越“矮胖”，数据越分散，在区间（9.8，10.2）内的概率越小，故D正确．故选：B．【点评】本题考查了决定系数的性质，相关系数的性质，正态分布的性质，属于基础题．2．设随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.3，则P（X＜0）＝（）A．0.65 B．0.7 C．0.35 D．0.25【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；分析法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：∵随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.3，∴P（0＜X＜2）＝0.15，P（X＜2）＝0.5，∴P（X＜0）＝P（X＜2）﹣P（0＜X＜2）＝0.5﹣0.15＝0.35．故选：C．【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．3．某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果X～N（10，σ2），则下列结论中错误的是（）A．P（X＜10）＝0.5 B．P（X＜9.8）＝P（X＞10.2） C．P（9＜X＜9.5）＝P（10.5＜X＜11） D．σ越小，P（10﹣σ＜X＜10+σ）越小【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】利用正态分布曲线的对称性可判断ABC选项；利用P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）为定值可判断D选项．【解答】解：由X～N（10，σ2），可得对称轴X＝10，故P（X＜10）＝0.5，故A正确；P（X＜9.8）＝P（X＜10﹣0.2）＝P（X＞10+0.2）＝P（X＞10.2），故B正确；P（10.5＜X＜11）＝P（10+0.5＜X＜10+1），P（9＜X＜9.5）＝P（10﹣1＜X＜10﹣0.5），故P（9＜X＜9.5）＝P（10.5＜X＜11），故C正确；而P（10﹣σ＜X＜10+σ）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）为定值，D错误．故选：D．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．4．已知随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.3，则P（0＜X＜4）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据正态分布的性质即可求解．【解答】解：已知随机变量X～N（2，σ2），其图像关于x＝2对称，因为0和4关于x＝2对称，所以P（X＜0）＝P（X＞4）＝0.3，根据概率总和为1，可得：P（0＜X＜4）＝1﹣P（X＜0）﹣P（X＞4）＝1﹣0.3﹣0.3＝0.4．故选：C．【点评】本题考查了正态分布的性质，属于基础题．5．已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布N（μ甲，σ甲2）和A．μ甲＞μ乙，σ甲＞σ乙 B．μ甲＞μ乙，σ甲＜σ乙 C．μ甲＜μ乙，σ甲＞σ乙 D．μ甲＜μ乙，σ甲＜σ乙【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据正态分布曲线相关知识可解．【解答】解：根据题意，结合图像可得，甲曲线的对称轴小于乙曲线的对称轴，即μ甲＜μ乙，又图象越矮胖，则σ就越大，则σ甲＞σ乙．故选：C．【点评】本题考查正态分布相关知识，属于中档题．6．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣3）＝P（X≥3a﹣1），则(x-axA．﹣8 B．﹣4 C．8 D．24【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；二项式系数与二项式系数的和．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；二项式定理；运算求解．【答案】A【分析】利用正态分布的对称性求出a，再利用二项展开式的通项公式可求x2的系数．【解答】解：由正态分布的对称性，得﹣3+3a﹣1＝1×2，解得a＝2，(x-ax)4的展开式的通项公式为：Tr+1=C4r•x4﹣r•（-2x）r＝（﹣2）r•C4r•x4﹣2r令4﹣2r＝2，可得r＝1，故(x-ax)4展开式中x2的系数为：（﹣2故选：A．【点评】本题考查二项式定理的应用，属于中档题．7．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当b＜x＜A．1+24 B．3+224 C．7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】利用正态曲线关于直线x＝2对称，得出a+2b＝4，即a﹣2x+2（x﹣b）＝4，再利用基本不等式，即可求出结果．【解答】解：因为随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），所以a-3即a﹣2b＝4，所以a﹣2x+2（x﹣b）＝4，因为b＜x＜a2，所以b＜x且则a﹣2x＞0，x﹣b＞0，所以1a当且仅当2(x所以1a-2故选：B．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．二．多选题（共2小题）（多选）8．影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响．经调查某种植物的株高X（单位：cm）近似地服从正态分布N（50，σ2），若P（X＜45）＝0.12，则（）A．P（X＞55）＜0.12 B．P（X＞55）＝0.12 C．P（X≥45）＝0.88 D．P（X＞45）＞0.88【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：因为X服从正态分布N（50，σ2），P（X＜45）＝0.12，可得X关于X＝50对称，故P（X≥45）＝1﹣P（X＜45）＝0.88，P（X＞55）＝P（X＜45）＝0.12．故选：AC．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．（多选）9．下列说法正确的是（）A．若随机变量X∼B（6，P），E（X）＝4.8，则p＝0.8 B．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(C．某射击运动员每次射击击中目标的概率均为0.8，设击中目标的次数为X，则在9次射击中，当且仅当X＝8时概率最大 D．对于随机事件A与B，若P(B)=0.3，P(【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；二项分布的均值（数学期望）与方差．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABD【分析】根据二项分布的性质，正态分布的性质，二项分布的性质，独立事件的概念，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：对于A，若随机变量x∼B（6，P），E（X）＝4.8，则6p＝4.8，则p＝0.8，故A正确；对于B，变量ξ服从正态分布N（0，1），则正态分布曲线的对称轴为ξ＝0，又P（ξ＞1）＝p，则P（﹣1＜ξ＜0）＝P（0＜ξ＜1）＝0.5﹣P（ξ＞1）＝0.5﹣p，故B正确；对于C，射击次数X～B（9，0.8），则P（X＝k）=C9k×0．8k×0．设P（X＝k）最大，则C9所以0.8k≥0.210-k0.29-k≥0.8k+1，k＝所以当X＝7或8时，概率取最大，所以C选项错误；对于D，因为P(B)=0.3，P(B所以P（B|A）=P(AB)P(A)=P（B），所以P（AB所以事件A与B独立，所以D选项正确．故选：ABD．【点评】本题考查二项分布的性质，正态分布的性质，二项分布的性质，独立事件的概念，属中档题．三．填空题（共4小题）10．已知随机变量ξ～N（3，σ2）（σ＞0），若P（ξ≥1）＝0.9，则P（3≤ξ≤5）＝0.4．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.4．【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：因为随机变量ξ～N（3，σ2）（σ＞0），且P（ξ≥1）＝0.9，所以P（3≤ξ≤5）＝P（1≤ξ≤3）＝P（ξ≥1）﹣0.5＝0.4．故答案为：0.4．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．11．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（0＜ξ＜3）＝0.4，则P（3＜ξ＜6）＝0.4．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.4．【分析】由正态分布的对称性即可求得．【解答】解：因为随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（0＜ξ＜3）＝0.4，所以P（3＜ξ＜6）＝P（0＜ξ＜3）＝0.4．故答案为：0.4．【点评】本题考查正态分布的性质应用，属于基础题．12．若随机变量X～N（1，σ2），且P（X＜0.9）＝0.3，则P（|X﹣1|＜0.1）＝0.4．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.4．【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果．【解答】解：由|X﹣1|＜0.1可得﹣0.1＜X﹣1＜0.1，即0.9＜X＜1.1，根据题意可知，P（|X﹣1|＜0.1）＝P（0.9＜X＜1.1）＝1﹣2P（X＜0.9）＝1﹣2×0.3＝0.4．故答案为：0.4．【点评】本题考查了正态密度曲线的对称性，属于基础题．13．若随机变量X～N（3，σ2），且P（1≤X≤3）＝a，P（X≥5）＝b，则3a+4b2ab的最小值为【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；概率与统计；运算求解．【答案】7+43【分析】由正态分布得到a+b=1【解答】由正态分布可知，P（3≤X≤5）＝P（1≤X≤3）＝a，所以a+b=12，且a＞0，b＞所以3a+4b＝（a+b）×（3b+4a）＝7+4ba故答案为：7+43【点评】本题主要考查正态分布的性质应用，不等式的相关知识，属于中档题．四．解答题（共2小题）14．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上的学生有12人．（1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？（2）若成绩在80分以上（含80分）为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？附正态分布3σ概率表：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）527人；（2）84人．【分析】（1）利用正态分布的性质得到成绩在90分以上（含90分）的概率，进而求得总人数；（2）利用正态分布的性质得到成绩在80分以上（含80分）的概率，进而结合（1）中所得总人数求得．【解答】解：（1）设参赛学生的成绩为X，由题可得X～N（70，100），所以μ＝70，σ＝10，则P（X≥90）＝P（X≤50）=12[1﹣P（50＜X＜90≈12×（1＝0.02275，12÷0.02275≈527（人），因此，此次参赛学生的总数约为527人．（2）由P（X≥80）＝P（X≤60）=12[1﹣P（60＜X＜80≈12×（1＝0.15865，527×0.15865≈84（人）．因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人．【点评】本题主要考查正态密度曲线的对称性，属于基础题．15．在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为X（单位：cm，以下同），且X∼N（20，0.0001）．（1）分别写出E（X），D（X）的值；（2）若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在[19.97，20.03]内的铜棒根数；（3）若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在[19.98，20.03]内的概率．参考数据：若X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）E（X）＝20，D（X）＝0.0001；（2）9973；（3）0.9759．【分析】（1）由正态分布概念可确定E（X），D（X）；（2）注意到[19.97，20.03]⇔[2﹣03，2+0.03]，由题利用P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973可得答案；（3）由P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973结合题意可得答案．【解答】解：（1）根据题意可知，X∼N（20，0.0001）⇔X∼（20，0.012），则E（X）＝20，D（X）＝0.0001；（2）[19.97，20.03]⇔[2﹣03，2+0.03]，因P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，则直径在[19.97，20.03]内概率约为0.9973，则直径在[19.97，20.03]内的铜棒根数为10000×0.9973＝9973；（3）[19.98，20.03]⇔[20﹣0.02，20+0.03]，因P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，则P(19.98P(12则P（19.98≤X≤20.03）≈0.47725+0.49865＝0.9759．【点评】本题考查了正态分布的性质，属于基础题．

考点卡片1．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．2．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．3．二项分布的均值（数学期望）与方差【知识点的认识】二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（数学期望）：E(X)=n×﹣方差：D(【解题方法点拨】﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．【命题方向】﹣重点考察二项分布的期望和方差计算，常用于统计数据分析和预测问题．4．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤