2025-2026学年上学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之对数的运算

第20页（共20页）2025-2026学年上学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之对数的运算一．选择题（共6小题）1．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在_____年首次突破1×105PF．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）A．2032 B．2033 C．2034 D．20352．计算38A．1 B．2 C．3 D．253．若x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，则x+3y的最小值为（）A．10+26 B．10+23 C．12 D4．已知正实数a，b满足aea﹣2＝e2025和b（lnb﹣2）＝e2029．则ab的值为（）A．e2029 B．e2028 C．e2027 D．e20265．对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[1]＝1，[﹣1.6]＝﹣2．已知S=[lg1]+[A．0 B．1 C．﹣2020 D．﹣20216．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年二．多选题（共3小题）（多选）7．已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（）A．若a＞0，b＝2，则a0+b2＝4 B．若a=13，b＝27，则log3a+log3bC．若(12)a＞D．若a＞b＞0，c＜0，则c（多选）8．若a＜b＜0，则（）A．a2＜b2 B．1a＞1b C．ln（b﹣a）＞0 D．a（多选）9．已知a＝log210，b=A．ab＜0 B．4a•9b＝1 C．1a-1b三．填空题（共4小题）10．已知等比数列{an}，a1＝2，a4＝8，则log2a2+log2a3＝．11．若log2[log4（x+1）]＝1，则x＝．12．已知log23＝k，则log129＝．（用k表示）13．已知lg2＝a，10b＝3，则log62＝（结果用a、b表示）．四．解答题（共2小题）14．计算：（1）(lg（2）已知a-1a15．（1）设a2x＝5，且a＞0，求a3（2）若lg2＝a，10b＝3，用a和b表示log1225．

2025-2026学年上学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之对数的运算参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案DADACC二．多选题（共3小题）题号789答案BDBDABD一．选择题（共6小题）1．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在_____年首次突破1×105PF．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）A．2032 B．2033 C．2034 D．2035【考点】对数运算求值．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据已知条件，列出不等式，再结合对数的运算法则，即可求解．【解答】解：设2025年为第0年，算力为2250PF，每年增长50%，则2250×（1.5）n＞105，即(1.5)故n＞lg因此，n＝10，对应年份为2025+10＝2035年．故选：D．【点评】本题主要考查对数运算求值，属于基础题．2．计算38A．1 B．2 C．3 D．25【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】结合指数、对手的运算法则，即可求解．【解答】解：原式=2+13×9+log2故选：A．【点评】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题．3．若x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，则x+3y的最小值为（）A．10+26 B．10+23 C．12 D【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，所以3x+y＞0，x＞0，y＞0，所以ln（3x+y）＝lnx+lny＝lnxy，所以3x+y＝xy，所以3y所以(3当且仅当3xy=3yx即故x+3y的最小值为16．故选：D．【点评】本题考查了对数的运算性质，涉及到基本不等式的应用，属于基础题．4．已知正实数a，b满足aea﹣2＝e2025和b（lnb﹣2）＝e2029．则ab的值为（）A．e2029 B．e2028 C．e2027 D．e2026【考点】对数的运算性质；函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定a，b的关联，最后结合题给条件求解ab．【解答】解：∵aea﹣2＝e2025，∴ln（aea﹣2）＝lne2025，即lna+lnea﹣2＝lne2025⇒lna+a＝2027，∵b（lnb﹣2）＝e2029，两边同时取对数，可得ln[b（lnb﹣2）]＝lne2029，即lnb+ln（lnb﹣2）＝2029，则（lnb﹣2）+ln（lnb﹣2）＝2027，f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，∴方程f（x）＝2027有唯一解，f（a）＝f（lnb﹣2），∴a＝lnb﹣2，∴ab＝（lnb﹣2）b＝e2029．故选：A．【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题．5．对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[1]＝1，[﹣1.6]＝﹣2．已知S=[lg1]+[A．0 B．1 C．﹣2020 D．﹣2021【考点】对数运算求值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．【答案】C【分析】利用取整函数的性质得到f（x）＝[x]+[﹣x]的取值情况，即可得到答案．【解答】解：由题意设f（x）＝[x]+[﹣x]，若x是整数，则f（x）＝[x]+[﹣x]＝x+（﹣x）＝0，若x不是整数，则[x]＜x＜[x]+1，从而﹣[x]﹣1＜﹣x＜﹣[x]，故[﹣x]＝﹣[x]﹣1，这就得到f（x）＝[x]+[﹣x]＝﹣1，因为lgx＝﹣lg1x，所以S＝f（lg1）+f（lg2）+...+f（lg2024在lg1，lg2，…，lg2024中恰有lg1，lg10，lg100，lg1000是整数，所以有2020个不是整数，故f（lg1）+f（lg2）+...+f（lg2024）＝﹣1×2020＝﹣2020．故选：C．【点评】本题考查了函数取整的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．6．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年【考点】对数运算求值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用归纳可知，从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，解不等式2250×【解答】解：根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%，截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率，由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，到2026年，其算力提升至2250×1.5PetaFLOPS，到2027年，其算力提升至2250×1.52PetaFLOPS，⋯，以此类推可知，从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，由2250×(3∴n＞∴DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500PetaFLOPS．故选：C．【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二．多选题（共3小题）（多选）7．已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（）A．若a＞0，b＝2，则a0+b2＝4 B．若a=13，b＝27，则log3a+log3bC．若(12)a＞D．若a＞b＞0，c＜0，则c【考点】对数运算求值；等式与不等式的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BD【分析】利用指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D．【解答】解：对A，若a＞0，b＝2时，则a0+b2＝1+4＝5＞4，故A错误；对B，若a=13，b＝27时，log3a+log3b=log3对C，若(12)a＞(13)b，当a＝b＝对D，当a＞b＞0时，1a＜1b，又c＜0，所以故选：BD．【点评】本题考查对数的运算及性质，不等式的性质，属于基础题．（多选）8．若a＜b＜0，则（）A．a2＜b2 B．1a＞1b C．ln（b﹣a）＞0 D．a【考点】对数运算求值；等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解．【答案】BD【分析】对于AB可用作差比较法比较大小即可判断，对于C，根据对数函数性质，易知当0＜b﹣a＜1时，ln（b﹣a）＜0从而排除C项；对于D，可用不等式的性质直接推得．【解答】解：对于A，由a＜b＜0，则a﹣b＜0，a+b＜0，由a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＞0，可得a2＞b2，故A错误；对于B，由a＜b＜0，则b﹣a＞0，ab＞0，将b﹣a＞0两边同时除以AB可得：1a故B正确；对于C，因a＜b＜0，当0＜b﹣a＜1时，ln（b﹣a）＜0，故C错误；对于D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b＞0，利用不等式的性质可得（﹣a）3＞（﹣b）3，即﹣a3＞﹣b3，故a3＜b3，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查了不等式的性质，重点考查了对数函数的性质，属基础题．（多选）9．已知a＝log210，b=A．ab＜0 B．4a•9b＝1 C．1a-1b【考点】对数运算求值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】对数函数的单调性判断a，b符号可判断A．利用对数的运算计算可判断B，根据换底公式及对数的运算可判断CD．【解答】解：对于A，a=log210＞lo对于B，因为a＝log210，b=所以4a⋅9对于C，因为a＝log210，b=所以1a-1对于D，因为a＝log210，b=所以b-aab故选：ABD．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．三．填空题（共4小题）10．已知等比数列{an}，a1＝2，a4＝8，则log2a2+log2a3＝4．【考点】对数运算求值；等比数列的性质．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】4．【分析】结合等比数列的性质，以及对数的运算法则，即可求解．【解答】解：∵{an}为等比数列；∴a1a4＝a2a3；∴log2a2+log2a3＝log2a1a4＝log216＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．11．若log2[log4（x+1）]＝1，则x＝15．【考点】对数运算求值．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】15．【分析】利用对数的运算性质计算即可．【解答】解：由题意得，log4（x+1）＝2，所以x+1＝42，解得x＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了对数的定义与运算，是基础题．12．已知log23＝k，则log129＝2k2+k【考点】对数运算求值．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】2k【分析】利用换底公式即可求解．【解答】解：因为log23=lg3lg2=k，所以lg所以log129=lg故答案为：2k【点评】本题考查了对数的定义与运算，是基础题．13．已知lg2＝a，10b＝3，则log62＝aa+b（结果用a【考点】对数运算求值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】aa【分析】利用指数与对数的互化求出b，再利用换底公式及对数运算法则计算作答．【解答】解：由已知可得b＝lg3，又lg2＝a，则由对数的换底公式可得：log62=lg故答案为：aa【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．四．解答题（共2小题）14．计算：（1）(lg（2）已知a-1a【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）4；（2）1136【分析】（1）通过对数运算性质化简各项后求和；（2）利用完全平方公式和立方差公式，结合已知条件逐步推导求解．【解答】解：（1）(＝（lg5）2+lg2×（lg5+lg10）+2+1＝（lg5）2+lg2lg5+lg2+3＝lg5（lg5+lg2）+lg2+3＝lg5×1+lg2+3＝lg（5×2）+3＝1+3＝4．（2）由a-1a=3，两边平方得又a3故a+【点评】本题主要考查对数运算、根式和指数运算，属于基础题．15．（1）设a2x＝5，且a＞0，求a3（2）若lg2＝a，10b＝3，用a和b表示log1225．【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）215（2）2-2a【分析】（1）由已知结合立方和公式求解；（2）化指数式为对数式可得b，再由对数的运算性质求解．【解答】解：（1）∵a2x＝5，且a＞0，∴a3（2）∵10b＝3，∴b＝lg3，又lg2＝a，∴log1225=lg【点评】本题考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．

考点卡片1．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且2．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．3．函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1f(x1)-f(x2)x1②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．4．有理数指数幂及根式化简运算求值【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：amn=nam（a＞0，m，n∈N②负分数指数幂：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】﹣利用a-mn=1amn=1nam（a＞﹣利用指数运算法则，如am⋅an=am+n﹣利用根式运算法则，如a⋅b=﹣验证化简和运算结果的正确性．【命题方向】题目通常涉及有理数指数幂及根式的化简和求值，结合具体问题进行运算和应用．计算：(214解：(21故答案为：47485．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN