2025-2026学年上学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之导数的概念及其意义

第28页（共28页）2025-2026学年上学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之导数的概念及其意义一．选择题（共6小题）1．计算limΔxA．4 B．6 C．8 D．102．若函数f(x)=a2x2+blnx的图象在点M（1，1）处的切线与直线2xA．-254 B．0 C．254 3．已知函数f（x）在R上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（）A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2） C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜04．已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率 B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率 C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率 D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率5．已知曲线f（x）=12x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（A．32 B．-32 C．126．已知某质点的运动方程为S＝2t2﹣t，其中S的单位是m，t的单位是s，则该质点在4s末的瞬时速度为（）A．16m/s B．15m/s C．12m/s D．8m/s二．多选题（共3小题）（多选）7．（多选）已知函数y＝f（x），x∈[a，d]的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．[a，b]是函数f（x）的单调递增区间 B．[b，c]是函数f（x）的单调递减区间 C．函数f（x）在[a，b]∪[c，d]上单调递增 D．函数f（x）在[b，0）∪（0，c]上单调递减（多选）8．一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)=13t3-2t2+5t+1，且A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为1.5m/s C．该物体在第1秒末的动能为10J D．该物体在第1秒末的动能为8J（多选）9．设f（x）在x0处可导，下列式子中与f′（x0）相等的是（）A．limΔxB．limΔxC．limΔxD．lim三．填空题（共4小题）10．已知函数f（x）＝lnx+ex，则limΔx→0f(1+Δx)-11．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与跳起后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的图象如图所示，已知曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，根据图象，给出下列四个结论：①在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0；②曲线h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；③曲线h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，其中所有正确结论的序号是．12．一质点的运动方程为s＝2t2+3（s的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝3时的瞬时速度为．13．已知直线y＝kx+1与曲线f(x)=exx+1相切，则实数四．解答题（共2小题）14．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y＝f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；（3）对于任意的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．15．已知函数f(x)=2alnx+x-1x+1的图象在x＝1（1）求a的值；（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．

2025-2026学年上学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之导数的概念及其意义参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案ACBDDB二．多选题（共3小题）题号789答案ABDADAC一．选择题（共6小题）1．计算limΔxA．4 B．6 C．8 D．10【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】A【分析】令f（x）＝x2，根据导数的概念，可求解．【解答】解：设函数f（x）＝x2，f′（x）＝2x，故limΔx→0(2+Δx)2-22Δx即limΔx→0故选：A．【点评】本题主要考查导数的求解，属于基础题．2．若函数f(x)=a2x2+blnx的图象在点M（1，1）处的切线与直线2xA．-254 B．0 C．254 【考点】导数与切线的斜率．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】C【分析】函数求导得f'(x)=ax+b【解答】解：由题可得：f'依题意，有f(1)=a2则ba故选：C．【点评】本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于基础题．3．已知函数f（x）在R上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（）A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2） C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜0【考点】导数及其几何意义．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据导数的几何意义即可求解．【解答】解：根据导数的几何意义，f'（x）表示函数f（x）在x处切线的斜率，观察图像可知，函数图像从左到右上升，且切线斜率逐渐增大，因此，x＝2处的切线斜率大于x＝1处的切线斜率，即f'（1）＜f'（2），故B正确，A，C错误；f'（1）和f'（2）均为正，其和大于0，D错误．故选：B．【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．4．已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率 B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率 C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率 D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率【考点】变化的快慢与变化率．【专题】导数的概念及应用．【答案】D【分析】由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项A、B错误；由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错误，D正确．【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是f(g（x）在a到b之间的平均变化率是g(∴f(∴选项A、B错误；对于C、D，∵函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x＝x0处的导数，即函数f（x）在该点处的切线的斜率，同理函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x＝x0处的导数，即函数g（x）在x＝x0处的切线的斜率，由图形知，选项C错误，D正确．故选：D．【点评】本题考查了导数的概念及其应用问题，解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确，是基础题．5．已知曲线f（x）=12x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（A．32 B．-32 C．12【考点】导数及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】D【分析】求导可得f′（1）＝1，进而求解．【解答】解：f(1)=-32，y0=-32，f′（x）＝所以f(1)+故选：D．【点评】本题考查导数及其几何意义，属于基础题．6．已知某质点的运动方程为S＝2t2﹣t，其中S的单位是m，t的单位是s，则该质点在4s末的瞬时速度为（）A．16m/s B．15m/s C．12m/s D．8m/s【考点】变化的快慢与变化率．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】B【分析】求出S'，将t＝4代入，即可求解．【解答】解：∵S＝2t2﹣t，∴S'＝4t﹣1，当t＝4时，S'＝4×4﹣1＝15，故该质点在4s末的瞬时速度为15m/s．故选：B．【点评】本题考查了导数在物理中的应用，考查了运算能力，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）7．（多选）已知函数y＝f（x），x∈[a，d]的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．[a，b]是函数f（x）的单调递增区间 B．[b，c]是函数f（x）的单调递减区间 C．函数f（x）在[a，b]∪[c，d]上单调递增 D．函数f（x）在[b，0）∪（0，c]上单调递减【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】ABD【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可．【解答】解：对于选项A，根据函数图象可知函数f（x）在[a，b]上单调递增，故选项A正确，对于选项B，根据函数图象可知函数f（x）在[b，c]上单调递减，故选项B正确，对于选项C，由图象可知b＜c，f（b）＞f（c），因此不能说函数f（x）在[a，b]，[c，d]上单调递增，故选项C错误；对于选项D，由于函数[b，c]在x＝0时有定义，由图象可知f（0）＝0，则[b，c]为函数的一个单调递减区间，故函数[b，c]在[b，0），（0，c]上单调递减，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．（多选）8．一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)=13t3-2t2+5t+1，且A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为1.5m/s C．该物体在第1秒末的动能为10J D．该物体在第1秒末的动能为8J【考点】瞬时变化率．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；运算求解．【答案】AD【分析】求出函数的导数后结合配方法可求瞬时速度的最小值，故可判断AB的正误，结合导数及题设中的动能公式计算后可判断CD的正误．【解答】解：对于AB，由位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(可得y′（t）＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1≥1，则该物体瞬时速度的最小值为1m/s，A正确，B错误．对于CD，由y′（1）＝2，得Ek=12×4×22=8故C错误，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查函数性质在生活中的应用，考查导函数的求解，属于中档题．（多选）9．设f（x）在x0处可导，下列式子中与f′（x0）相等的是（）A．limΔxB．limΔxC．limΔxD．lim【考点】极限及其运算．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】AC【分析】利用导数的定义对各项逐一分析，能求出结果．【解答】解：对于A，limΔx→0f(x0)-对于B，limΔx→0f(x0+Δx)-f对于C，limΔx→0f(x0+2对于D，limΔx→0f(x0故选：AC．【点评】本题考查导数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．填空题（共4小题）10．已知函数f（x）＝lnx+ex，则limΔx→0f(1+Δx)-【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】e+1．【分析】求出导函数f′（x），然后即可得出f′（1）的值，然后根据导数的定义即可得解．【解答】解：f'(x)=1x+e所以limΔx故答案为：e+1．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，导数的定义，是基础题．11．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与跳起后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的图象如图所示，已知曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，根据图象，给出下列四个结论：①在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0；②曲线h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；③曲线h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，其中所有正确结论的序号是①③．【考点】导数与切线的斜率；瞬时变化率．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】①③．【分析】对于①，因为曲线h（t）在t＝t1处的切线l0平行于t轴，所以切线的斜率为0，即h′（t0）＝0；对于②，比较|h′（t1）|，|h′（t2）|的大小即可；对于③，比较|h′（t3）|，|h′（t4）|的大小即可．【解答】解：因为h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，所以h′（t）＝﹣9.8t+4.8，①，因为曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，所以切线l0的斜率为0，即h′（t0）＝0，所以在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0，故①正确；②，由图可知曲线h（t）在t＝t1处的切线的斜率h′（t1）＜0，在t＝t2处的切线的斜率h′（t2）＜0，又t1＜t2，所以h′（t1）＝﹣9.8t1+4.8＞﹣9.8t2+4.8＝h′（t2），所以|h′（t1）|＜|h′（t2）|，即曲线在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得快，故②错误；③，由图可知曲线h（t）在t＝t3处的切线的斜率h′（t3）＞0，在t＝t4处的切线的斜率h′（t4）＞0，又t3＜t4，所以h′（t3）＝﹣9.8t3+4.8＞﹣9.8t4+4.8＝h′（t4），所以|h′（t3）|＞|h′（t4）|，即曲线在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，故③正确；所以所有正确结论的序号是①③．故答案为：①③．【点评】本题考查了导数的性质，属于基础题．12．一质点的运动方程为s＝2t2+3（s的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝3时的瞬时速度为12m/s．【考点】变化的快慢与变化率；基本初等函数的导数．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】12m/s．【分析】先对函数求导，然后把t＝3代入即可求解．【解答】解：因为质点的运动方程为s＝2t2+3，所以S′（t）＝4t，当t＝3时的瞬时速度为12m/s．故答案为：12m/s．【点评】本题主要考查了导数的实际意义的应用，属于基础题．13．已知直线y＝kx+1与曲线f(x)=exx+1相切，则实数【考点】导数与切线的斜率．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】e2【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数f（x）的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数k的值．【解答】解：由题意直线y＝kx+1与曲线f(可得直线y＝kx+1过定点（0，1），函数求导可得f'设直线与曲线的切点坐标为(x则k=则x0＝2，∴k=故答案为：e2【点评】本题考查了导数的几何意义，是中档题．四．解答题（共2小题）14．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y＝f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；（3）对于任意的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．【考点】导数及其几何意义；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题．【专题】创新题型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）＝0求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．（2）因为f（1+x）+f（1﹣x）＝2f（1），由定义（2）知：f（x）＝x3﹣3x2+2x+2关于点（1，2）对称．（3）将（2）的结论进行合情推理，可得结论：三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐点”是（-b3a，f（-b3【解答】解：（1）依题意，得：f′（x）＝3x2﹣6x+2，∴f″（x）＝6x﹣6．由f″（x）＝0，即6x﹣6＝0．∴x＝1，又f（1）＝2，∴f（x）＝x3﹣3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．而f（1+x）+f（1﹣x）＝（1+x）3﹣3（1+x）2+2（1+x）+2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2（1﹣x）+2＝2+6x2﹣6﹣6x2+4+4＝4＝2f（1），由定义（2）知：f（x）＝x3﹣3x2+2x+2关于点（1，2）对称．（3）一般地，三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐点”是（-b3a，f（-b3（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数；都对．）【点评】本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．15．已知函数f(x)=2alnx+x-1x+1的图象在x＝1（1）求a的值；（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．【考点】导数与切线的斜率；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1）a=（2）(7【分析】（1）根据题意，f（x）在x＝1处的切线的斜率等于-12，据此求解（2）利用导数判断f（x）的单调性，进而利用单调性解不等式．【解答】解：（1）由函数f(x)=2又f(x)=2alnx+x-1x+1在x可得f'(1)=2a（2）∵函数f(x)=2alnx+∴x2﹣1和5x﹣7都大于0，可得x∈又∵f'(x)=-x2+1x又f（x2﹣1）＜f（5x﹣7），故x2﹣1＞5x﹣7，解得：x＜2或x＞3，因此原不等式的解集为(7【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．

考点卡片1．奇偶函数图象的对称性【知识点的认识】奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n．【解题方法点拨】由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4【命题方向】本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．2．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．3．变化的快慢与变化率【知识点的认识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：△y△x=f(x13、导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解题方法点拨】瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：①当△x→0时，比值△y△x的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若△y△x的极限不存在，则f②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：f′（x0）=△x→0limf(x导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）=△②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．【命题方向】典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（）A．3△t+6B．﹣3△t+6C．3△t﹣6D．﹣3△t﹣6分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．解：V=故选D．点评：本题考查函数的平均变化率公式：f(典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为△s（2）定义法：即对平均速度为△s△t当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3解答：由题意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：v=（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为v=求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．4．瞬时变化率【知识点的认识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：△y△x=f(x1【解题方法点拨】函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处附近平均变化率的极限：x→【命题方向】常见题型包括计算函数在特定点上的瞬时变化率，分析实际问题中的瞬时变化率．函数f(x)=-6x在解：函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率为limΔx故答案为：6．5．导数及其几何意义【知识点的认识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．【命题方向】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线y=x2A．3B．2C．1D．1解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．6．含Δx表达式的极限计算与导数的关系【知识点的认识】导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解题方法点拨】导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）=△②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．【命题方向】常见题型包括利用极限定义导数，解决涉及导数和变化率的实际问题．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f′（x0），则limΔxA．2f′（x0）B．﹣2f′（x0）C．12f'(解：根据题意，limΔx→0f(x故选：C．7．导数与切线的斜率【知识点的认识】导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．【命题方向】求切线方程典例2：已知函数f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．8．函数图象趋势与导数大小的关系【知识点的认识】导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x【解题方法点拨】f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．【命题方向】常见题型包括分析函数的导数值与图象趋势的关系，解决实际问题中的图象分析．函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．2f'（4）＜2f'（2）＜f（4）﹣f（2）B．2f'（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f'（4）C．2f'（2）＜2f'（4）＜f（4）﹣f（2）D．f（4）﹣f（2）＜2f'（4）＜2f'（2）解：由图象可知f′（x）在（0，+∞）上单调递增故f'(2)＜f(4)-f(2)4-2＜f'(4)，即2f′（2）＜f（故选：B．9．极限及其运算【知识点的认识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，n→∞liman＝当|a|＝1时，若a＝1，则n→∞liman＝1；若a＝﹣1，则n→∞liman＝（﹣当|a|＞1时，n→∞lima（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S=a11-q（|q（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．x→2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作x→x0limf(x)=a或当x→x注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是x→x0如P（x）=x-1x＞1-x+1x＜（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．注：①各个函数的极限都应存在．②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．（3）几个常用极限：3．函数的连续性：（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），f(x)g(x)（g（x）≠0（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②x→x0limf(x)存在；③函数f（x）在点x＝x（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②x→x0limf(x)不存在；③10．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设