（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式+随堂检测（原卷版）

第页2．3直线的交点坐标与距离公式【知识点梳理】知识点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．知识点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．知识点三：两点间的距离公式两点间的距离公式为．知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．知识点四：点到直线的距离公式点到直线的距离为．知识点诠释：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．知识点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．知识点诠释：（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．【题型归纳目录】题型一：判断两直线的位置关系题型二：过两条直线交点的直线系方程题型三：交点问题题型四：对称问题题型五：两点间的距离题型六：点到直线的距离题型七：两平行直线间的距离题型八：距离问题的综合灵活运用题型九：线段和与差的最值问题【典型例题】题型一：判断两直线的位置关系【例题1-1】（多选）与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（

）A．y＝2x＋3B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0D．4x＋2y－3＝0【变式1-1】（多选）已知集合，集合，且，则（

）A．2B．C．D．题型二：过两条直线交点的直线系方程【例题2-1】已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（

）A．B．C．D．【变式2-1】求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．【变式2-2】求经过直线与的交点，且过点的直线方程．题型三：交点问题【例题3-1】若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（

）A．B．C．D．或【变式3-1】曲线与的交点的情况是（

）A．最多有两个交点B．两个交点C．一个交点D．无交点【变式3-1】在中，已知点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高线所在直线的方程是，求直线，的方程．题型四：对称问题【例题4-1】点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．【变式4-1】已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为_____．【变式4-2】已知直线，，．（1）求直线关于直线的对称直线的方程；（2）求直线关于直线的对称直线的方程．题型五：两点间的距离【例题5-1】已知的顶点为，则边上的中线长为____．【变式5-2】已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．题型六：点到直线的距离【例题6-1】已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．（1）求点B，C的坐标；（2）求的面积．【变式6-1】已知的三个顶点是，则的面积为________．【变式6-2】点到直线的距离的取值范围为____．题型七：两平行直线间的距离【例题7-1】两平行直线与之间的距离为（

）A．B．C．D．【变式7-1】若平面内两条平行线：：间的距离为，则实数_____．【变式7-2】设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______．题型八：距离问题的综合灵活运用【例题8-1】已知点在直线上，则的最小值为______【变式8-1】已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______．【变式8-2】数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．题型九：线段和与差的最值问题【例题9-1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．B．5C．D．【变式9-1】直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（

）A．1B．2C．3D．4【变式9-2】已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．【同步练习】一、单选题1．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（

）A．－3B．3C．－1D．－3或32．若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（

）A．B．C．1D．3．若点在直线：上，则的最小值为（

）A．B．C．D．4．直线和间的距离为（

）A．4B．5C．D．5．直线关于对称直线，直线的方程是（

）A．B．C．D．6．已知点，直线：，则点P到直线l的距离的取值范围是（

）A．B．C．D．二、填空题7．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．8．已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．三、解答题9．已知．(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．10．已知斜率存在的两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．11．已知直线和点，．(1)在直线l上求一点P，使的值最小；(2)在直线l上求一点P，使的值最大．2．3直线的交点坐标与距离公式随堂检测1.已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（

）A．B．C．D．2.若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（

）A．2B．3C．D．43.已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（

）A．5B．6C．D．4.已知，点在直线上，则的最小值为（

）A．B．9C．10D．5.直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．6.直线关于点的对称直线的方程为________．7.设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是．8.已知实数a，b满足，则的最小值为___________．