2026届新高考数学热点精准复习函数与方程

2026届新高考数学热点精准复习函数与方程函数零点的概念(1)函数的零点函数零点的定义：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)说明①零点不是点．②从“数”的角度看：是使f(x)＝0的实数x.③从“形”的角度看：是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

回归教材函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与______有公共点．x轴函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有______________，那么，函数y＝f(x)在区间______________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．f(a)f(b)<0(a，b)求函数y＝f(x)的零点的方法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法或直接求解法等)．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)二分法：主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点．常用结论(1)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点．(2)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．(3)若连续函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．(4)连续函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(5)连续函数的图象通过一重零点时(与x轴不相切)，函数值变号；通过二重零点时，函数值不变号．1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．

夯实双基答案(1)×

(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根．答案(2)√

(3)若函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.答案(3)×

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．答案(4)√

(5)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1，0)和(1，0)．答案(5)×2．(课本习题改编)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：

则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(

)A．2个 B．3个C．4个 D．5个√x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6解析依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据函数零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．√4．函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(

)A．0 B．1C．2 D．3√解析函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，在同一直角坐标系中分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示，由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C.5．(2025·沧衡八校联盟)已知函数

若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的解，则实数k的取值范围是________．－1(0，1)解析解方程f(x0)＝－1，解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同的解等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，如图所示，观察图象可知当0＜k＜1时y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点．即k∈(0，1)．√授人以渔02PARTTWO题型一

判断零点所在区间(1)已知函数f(x)＝3x＋x－6有一个零点x＝x0，则x0属于下列哪个区间？(

)√√(2)(2025·安徽蚌埠模拟)已知x1＋2x1＝0，x2＋log2x2＝0，3－x3－log2x3＝0，则(

)A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1【解析】设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f(－1)＝－

，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，由函数零点存在定理可知－1<x1<0.设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知，x3>1，即－1<x1<0<x2<1<x3.状元笔记确定零点所在区间的方法(1)定理法：利用函数零点存在定理确定．(2)图象法：将f(x)拆成f(x)＝g(x)－h(x)，画出h(x)与g(x)的图象，从而确定方程g(x)＝h(x)的根所在的区间．√思考题1

(1)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(

)A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】方法一：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)图象是一条连续不断的曲线，且在(0，＋∞)上单调递增．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．方法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x与h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.

(2)函数f(x)＝log2x＋2x－6的零点所在的区间为(n，n＋1)，且n∈N，则n＝________．2题型二

判断函数零点的个数2【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2025·《高考调研》原创题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2024x＋log2024x，则函数f(x)的零点个数是(

)A．1 B．2C．3 D．4√【解析】作出函数y＝2024x和y＝－log2024x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2024x＋log2024x在(0，＋∞)上只有一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，所以函数f(x)的零点个数是3.故选C.状元笔记

判断函数零点个数的方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点．(2)定理法：利用函数零点存在定理不仅要求函数图象在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)图象法：令f(x)＝0，转化为两个函数相等的形式，画出两个函数图象，看其交点的个数是几，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．思考题2

(1)(2025·河南许昌市模拟)函数f(x)＝

·cosx的零点个数为________．6【解析】令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6，6]．令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝

＋kπ，k∈Z，故f(x)共有6个零点．(2)已知定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0，2023]上根的个数为(

)A．404 B．405C．406 D．203√【解析】因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(5＋x)＝f(－x－1)．因为f(7＋x)＝f(7－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝7对称且f(5＋x)＝f(－x＋9)．故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)的一个周期为10.又f(x)在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0，10]内也只有两个零点，又[0，2023]＝[0，2020]∪(2020，2023]，且[0，2020]包含202个周期，故f(x)在[0，2020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2020，2023]上的零点个数与在(0，3]上的零点个数相同，故f(x)在(2020，2023]上有2个零点．故f(x)在[0，2023]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0，2023]上有406个根．题型三

函数零点的应用

(1)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(

)√【解析】方法一：令f(x)＝g(x)，即a(x＋1)2－1＝cosx＋2ax，可得ax2＋a－1＝cosx，令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cosx，原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，注意到F(x)，G(x)均为偶函数，则该交点只能在y轴上，即F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2.方法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cosx，x∈(－1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，且h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cosx＝h(x)，所以h(x)为偶函数，根据偶函数的性质可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2.(2)(2025·江苏徐州模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上偶函数，当x≥0时，

若函数y＝f(x)－m仅有4个零点，则实数m的取值范围是(

)√状元笔记

已知函数的零点个数求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值．√

思考题3

(2018·课标全国Ⅰ)已知函数

g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(

)A．[－1，0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出函数f(x)的图象，并平移直线y＝－x，如图所示，由图可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．故选C.√状元笔记根据函数零点的范围求参数常用的方法有：数形结合法(将函数的零点转化为函数图象在指定范围与x轴交点的横坐标)、由函数零点存在定理求解不等式法．√其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．

(1)(2025·贵州贵阳模拟)设方程3x·|log3x|＝1的两根为x1，x2(x1<x2)，则(

)A．0<x1<1，x2>3 B．x1>C．0<x1x2<1 D．x1＋x2>4√√A．(－3，＋∞) B．(20，3)C．[－3，3) D．(－3，3]【解析】如图，作出函数f(x)的图象，再作直线y＝a，当0<a≤2时，满足题意，由图知x1＋x2＝－4，－log2x3＝log2x4，∴log2(x3x4)＝0，即x3x4＝1，由log2x＝2得x＝4，因此1<x4≤4，√思考题5

(1)已知函数

若g(x)＝f(x)－m恰有3个零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(

)【解析】画出f(x)的图象如图，不妨设x1<x2<x3，由图可知，当0<m≤6时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点，且有<x1≤0，0<x2<1<x3，由f(x2)＝f(x3)，得|lnx2|＝|lnx3|，即lnx3＝－lnx2，√(2)已知函数

若a，b，c，d互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则a＋b＋c＋d的取值范围为(

)A．[26，＋∞) B．(14，＋∞)作出f(x)的草图如图，令f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)＝m，不妨设a<b<c<d，则a