直线与圆的位置关系2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修一

第2章

直线与圆的方程2.1.2

直线与圆的位置关系

第1课时1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(重点)学习目标海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.导语一、直线与圆的位置关系的判断二、圆的弦长问题课时对点练随堂演练内容索引直线与圆的位置关系的判断一提示转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？问题直线l：Ax+By+C=0与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数

个

个

个判断方法___________________________210d<rd=rd>rΔ>0Δ=0Δ<0

已知直线方程mx-y-m-1=0，圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；例

1

解(2)只有一个公共点；

解(3)没有公共点.

解直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.

反思感悟

(1)已知圆C：x2+y2-4x=0，l是过点P(3，0)的直线，则A.l与圆C相交 B.l与圆C相切C.l与圆C相离 D.以上三个选项均有可能跟踪训练

1√将点P(3，0)代入圆C的方程，得32+02-4×3=9-12=-3<0，∴点P(3，0)在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.解析(2)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离，则实数m的取值范围是A.(0，2] B.(1，2]C.(0，2) D.(1，2)√

解析二圆的弦长问题

(课本例1)已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.例

2

解

解

例

2

解

解(1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法.(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况.

反思感悟

已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直.(1)求直线l的方程；跟踪训练

2

解

解1.知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系.(2)弦长公式.2.方法归纳：几何法、代数法.3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.随堂演练三12341.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是A.相切

B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心

D.相离√

解析1234

√

解析12343.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为

.

解析21234

1234

解析课时对点练四题号1234567答案BBBCDBDADx-y+5=0题号811121314

15答案CBACD对一对答案123456789101112131415169.答案12345678910111213141516

10.答案12345678910111213141516

16.答案12345678910111213141516

16.答案12345678910111213141516

16.答案12345678910111213141516

16.答案12345678910111213141516

16.答案12345678910111213141516

基础巩固1.“a<3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解析2.已知点M(a，b)在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是A.相切 B.相交

C.相离

D.不确定√答案12345678910111213141516

解析3.(多选)若直线y=kx与圆(x-2)2+(y+1)2=9相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于A.3 B.4

C.5 D.6√

解析答案12345678910111213141516√√4.已知圆x2+y2=9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为A.y-2=0 B.x+2y-5=0C.2x-y=0 D.x-1=0√

解析答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解析6.(多选)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2+y2=r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是A.m∥l

B.m⊥lC.m与圆相离

D.m与圆相交√√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解析7.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(-2，3)，则直线l的方程为

.

解析答案12345678910111213141516x-y+5=08.过圆x2+y2=8内的点P(-1，2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为

.

解析答案12345678910111213141516

9.从定点A(6，8)向圆x2+y2=16任意引一条割线交圆于P1，P2两点，求弦P1P2的中点P的轨迹.答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解10.已知圆C：x2+y2+10x-14y+70=0，设直线l：12x+5y+12=0与圆C相交于A，B两点，点Q为圆C上异于A，B的动点，求△ABQ的面积的最大值.答案12345678910111213141516

解答案12345678910111213141516

√综合运用答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解析

√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解析

答案12345678910111213141516√√√答案12345678910111213141516

解析答案12345678910111213141516对于C，设两切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A选项分析可知，圆C在点A，B处的切线方程分别为x1x+y1y=1，x2x+y2y=1，因为点P在两切线上，所以x1x0+y1y0=1，x2x0+y2y0=1，所以点A，B都在直线x0x+y0y=1上，C正确；对于D，由选项C知，设圆C在M，N处的切线的交点为(x'0，y'0)，则MN的方程为x'0x+y'0y=1，由点P在该直线上，所以x0x'0+y0y'0=1，所以点(x'0，y'0)在直线x0x+y0y=1上，D正确.解析14.在圆x2+y2-2x-6y=0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

.

答案12345678910111213141516

解析

拓广探究答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

解析答案12345678910111213141516

解析16.如图，在平面直角坐标系中，P为直线y=4上一动点，圆O：x2+y2=4与x轴的交点分别为M(-2，0)，N(2，0)，圆O与y轴的交点分别为S(0，-2)，T(0，2).(1)若△MTP为等腰三角形，求P点坐标；答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解(2)若直线PT交圆O于另一点A，直线PS交圆O于另一点B.①求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；答案1