椭圆及其标准方程（1）课件-高二上学期数学人教A版选择性

§3.1.1椭圆及其标准方程（1）新人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册

古希腊人发现用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，可以得到不同的曲线，当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线和双曲线。

阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中将同一个圆锥被不同位置的平面所截得的曲线定义为圆锥曲线，即把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。椭圆抛物线双曲线圆

问题2

历史上，古希腊人曾经用纯几何的方法研究圆锥曲线，但17世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原因吗？

采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确地计算．

追问：如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗？

本章研究的基本思路：

现实背景—曲线的概念—曲线的方程—曲线的性质—实际应用．

问题3

如果把细绳的两端分别固定在图板的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

追问1：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

移动的笔尖（动点）到两定点F1，F2的距离和为绳长（定长）．

追问3：当动点到两定点间距离和等于两定点间的距离时动点的轨迹是什么？

追问2：当动点到两定点间距离和与两定点间距离的大小关系发生变化时动点的轨迹会发生什么变化？追问4：动点到两定点间距离和能小于两定点间的距离吗？

问题4你能用精确的数学语言刻画椭圆吗？

我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,，距的一半称为半焦距．

问题5遵循解析几何研究几何图形的内在逻辑，在了解椭圆的概念后，我们下一步应该研究什么？

追问1：利用坐标法求椭圆方程的步骤是什么？

根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系—明确椭圆上的点满足的几何条件—将几何条件转化为代数表示列出方程—化简方程—检验方程．

追问2：椭圆是否具有某种对称性？你能猜想出椭圆的对称轴吗？

追问4：如何选取坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

问题6

如何用坐标表示椭圆上点的所满足的条件？

设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）那么焦点F1，F2的坐标分别为（－c，0），（c，0）.对方程③两边平方，得

a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2．整理，得（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2）．

④*问题10

观察图,你能从中找出表示a,b,c的线段吗？由图可知，F1F2M••xyO(x,y)

如图示,若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为其中焦点坐标为F1(－c,0),F2(c,0),c2＝a2－b2.F1F2P••xyOcab2.椭圆的标准方程:特征：方程的左边是平方和，右边是1，“像”直线方程的截距式标准方程：体现数学式子的简洁美、对称美，内在的每一个字母a,b都赋予它深刻的含义，最能直观体现参数几何意义。探究新知问题11

如图示,如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别为(0,－c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?F1F2M••xyOF1F2M••xyO(x,y)(焦点在x轴上)(焦点在y轴上)探究新知定义焦点位置图形方程特点共同点