黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题 含解析

哈三十二中2025～2026学年度高二上学期期末考试

数学试题

一、单选题:本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个

正确选项.

1.已知两个向量，且，则（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量共线定理，可得的值，即可得到结果.

【详解】向量，且，则存在实数，使得，

即，所以,解得,

故，

故选：B

2.以为顶点的四边形是（）

A.平行四边形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形

D.直角梯形

【答案】D

【解析】

【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状.

第1页/共11页

【详解】

在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中

，

，

，

所以四边形ABCD是直角梯形；

故选：D.

3.过点，直线方程是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.

【详解】因为直线过点，，所以直线方程为，

故选：B.

4.点到直线的距离（）

A.B.C.D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用点到直线的距离公式求解即可.

第2页/共11页

【详解】点到直线的距离

故选：A

5.已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解.

【详解】因为为直径，所以圆心为，

半径，

所以圆的方程为.

故选：C.

6.已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交于两点，若，则

（）

A.B.3C.D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用椭圆的定义可得，结合已知即可得答案.

【详解】由椭圆的定义，知，

所以，即，

又，所以．

故选：B

第3页/共11页

7.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（）

A.3B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用抛物线性质得出焦点，再根据坐标求两点之间距离即可.

【详解】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，

点到坐标原点的距离为.

故选：B.

8.若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（）

A.B.2C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解.

【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为，

因为双曲线两条渐近线的夹角为60°，，

所以，即，

所以，即，即，

所以，则.

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

第4页/共11页

要求，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，错选不得分.

9.关于直线，则下列结论正确的是（）

A.倾斜角为B.斜率为

C.在y轴上的截距为D.与直线垂直

【答案】BC

【解析】

分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断.

【详解】直线变形得，

直线斜率，又倾斜角范围为，故倾斜角为，A错误，B正确；

令，，即直线在y轴上的截距为，C正确

又直线的斜率为，与直线不垂直，D错误

故选：BC.

10.若过点可以作出圆的两条切线，则实数可能的值为（）

A.B.C.D.

【答案】AD

【解析】

【分析】首先分析出点在圆外，则代入得到不等式，解出即可.

【详解】过可作圆的两条切线，说明点在圆的外部，

所以，解得或，

故选：AD.

11.对抛物线，下列描述正确的是（）

A.开口向下，准线方程为

B.开口向下，焦点为

第5页/共11页

C.开口向左，焦点为

D.开口向左，准线方程为

【答案】AB

【解析】

【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.

【详解】由题设，抛物线可化为，

开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误.

故选：AB.

三、填空题：本题3个小题，每题5分，共15分.

12.直线与圆相交所得的弦长为__________.

【答案】

【解析】

【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可.

【详解】由，可知圆心为，半径为，

所以到的距离，

则直线与圆相交所得的弦长为.

故答案为：.

13.已知抛物线上一点的横坐标为3，则点到抛物线焦点的距离是__________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求得答案.

【详解】抛物线的准线为，

所以该抛物线上点到其焦点的距离为.

第6页/共11页

故答案为：4

14.我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”

，则的虚轴长为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解.

【详解】因为，即，解得，所以

的虚轴长为，

故答案为：.

四、解答题：本题共四个小题，共47分

15.若直线经过直线与的交点，且与直线平行.

（1）求直线的方程；

（2）求直线与的距离.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）先求得两直线的交点，再由直线与直线平行求解；

（2）利用两直线间的距离公式求解.

【小问1详解】

因为直线过直线和的交点，

由，解得，即点，

第7页/共11页

因为直线的斜率为2，且直线与直线平行，

所以直线的方程为，即.

【小问2详解】

直线与直线的距离为.

16.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形．

（1）证明：；

（2）若，求二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的性质定理即可得证；

（2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式、平方

关系即可求解.

【小问1详解】

因为底面为正方形，所以，

又因为平面，平面，

所以，

又因为，，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以；

第8页/共11页

【小问2详解】

由题意以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以，

所以，

设平面、平面的法向量分别为，

则，，

令，解得，

故可取，

所以，

所以二面角的正弦值为.

17.已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆.

（1）求圆方程；

（2）若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交.

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案；

（2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案.

第9页/共11页

【小问1详解】

设圆的方程为，

因为在圆上，

所以，解得，满足，

所以圆的方程为；

【小问2详解】

直线，对于，

可得，解得