2025高考数学数列卷

2025高考数学数列卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n+1，则a_3等于).A.7B.9C.11D.132.等差数列{b_n}中，b_1=5，公差d=-2，则b_5+b_7的值等于).A.-4B.-8C.-10D.-123.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n+2n(n∈ℕ*)，则c_6的值等于).A.21B.22C.23D.244.等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于).A.3B.4C.5D.65.若数列{e_n}的通项公式为e_n=(-1)^(n+1)*(n+1/2)，则该数列前10项的和S_10等于).A.5B.10C.15D.206.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_7=10且a_6=2，则该数列的公差d等于).A.1B.2C.-1D.-27.已知数列{f_n}的递推关系为f_1=2，f_n+1=2f_n+1(n∈ℕ*)，则f_4的值等于).A.13B.15C.17D.198.若一个数列既是等差数列，又是等比数列，且首项不为零，则该数列一定是).A.非零常数列B.递增数列C.递减数列D.摆动数列9.已知数列{g_n}的通项公式为g_n=n(n+1)/2，则数列{g_n}的前n项和S_n等于).A.n(n+1)(n+2)/6B.n(n+1)/4C.n(n+1)/3D.n(n+2)/410.在等比数列{h_n}中，若h_3*h_7=64，则h_5的值等于).A.2B.4C.8D.16二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知数列{a_n}的通项公式a_n=n^2-4n+5，则该数列的前3项和S_3等于________。12.设等差数列{b_n}的前n项和为S_n，若S_5=25且S_10=70，则该数列的公差d等于________。13.已知数列{c_n}满足c_1=3，c_n+1=c_n/(c_n+1)(n∈ℕ*)，则c_4的值等于________。14.若等比数列{d_n}的前3项依次为1,a,8，则实数a的值等于________。15.用裂项相消法求数列{e_n}=(n+1)/(n(n+2))的前n项和S_n，其表达式S_n=________（用含n的式子表示）。三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_3=7，S_5=35。(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)若b_n=2^(a_n-2)，求数列{b_n}的前3项和T_3。17.（本小题满分14分）已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2+n-1。(1)求数列{c_n}的通项公式；(2)记d_n=c_n*(-1)^(n+1)，求证：数列{d_n}的前n项和S'_n总是大于0。18.（本小题满分15分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+n(n∈ℕ*)。(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)设b_n=1/(a_n*a_n+1)，求证：数列{b_n}的前n项和S_n小于1/(n+1)。19.（本小题满分15分）已知等比数列{c_n}的前n项和为S_n，且S_2=3，S_6=63。(1)求数列{c_n}的公比q；(2)设T_n=c_1*c_3*...*c_(2n-1)（n为正整数），求T_n与S_2n的关系式。20.（本小题满分19分）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n/(n+1)。(1)设b_n=n*(a_n-a_(n-1))（n≥2），求数列{b_n}的前n项和S_n；(2)设S_n=a_1+a_2+...+a_n，T_n=1/(a_1+1)+1/(a_2+1)+...+1/(a_n+1)，求证：T_n<S_n+1。试卷答案1.C2.B3.B4.A5.A6.C7.C8.A9.A10.B11.312.313.1/214.±2√215.n/(n+2)16.解：(1)设等差数列{a_n}的公差为d。由a_3=a_1+2d=7，S_5=5a_1+10d=35，解得a_1=1,d=3。故a_n=1+(n-1)*3=3n-2。(2)b_n=2^(a_n-2)=2^(3n-2-2)=2^(3n-4)=1/8*8^(n-1)。数列{b_n}是首项为1/8，公比为8的等比数列。T_3=(1/8*(8^3-1))/(8-1)=(1/8*511)/7=511/56。17.解：(1)c_1=S_1=3。当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=(2n^2+n-1)-[2(n-1)^2+(n-1)-1]=(2n^2+n-1)-(2n^2-4n+2+n-1-1)=4n-2。c_1=3不符合此式，故通项公式为c_n=4n-2(n∈ℕ*)。(2)证明：d_n=c_n*(-1)^(n+1)=(4n-2)*(-1)^(n+1)。S_n=d_1+d_2+...+d_n=(4*1-2)*(-1)^(1+1)+(4*2-2)*(-1)^(2+1)+...+(4n-2)*(-1)^(n+1)。考虑S_n+S_{n-1}：(4n-2)*(-1)^(n+1)+[(4(n-1)-2)*(-1)^n+...+(4*1-2)*(-1)^2]+[(4(n-1)-2)*(-1)^n+...+(4*1-2)*(-1)^2]=0。即S_n+S_{n-1}=0。当n为奇数时，S_n=-S_{n-1}>0(因为S_{n-1}是前n-1项和)。当n为偶数时，S_n=-S_{n-1}<0。但我们需要证明S_n>0。考虑n=1时，S_1=d_1=2>0。由递推S_n=-S_{n-1}，可知当n为奇数时，S_n>0。故S_n总是大于0。18.解：(1)a_1=1。当n≥2时，a_n=a_{n-1}+(n-1)。累加得a_n=a_1+[1+2+...+(n-1)]=1+n(n-1)/2=n(n-1)/2+1=n^2/2-n/2+1=(n^2-n+2)/2。检验n=1时，a_1=(1^2-1+2)/2=1，符合。故a_n=(n^2-n+2)/2。(2)证明：b_n=1/(a_n*a_{n+1})=2/[(n^2-n+2)*(n^2+n+2)]=2/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)]=2/[(n^2+2)^2-n^2]=2/[(n^2+2-n)(n^2+2+n)]=2/[n(n+2)(n^2+2+n)]。S_n=Σb_k(k=1ton)=2*Σ[1/(k(k+2)(k^2+n+2))]。观察分母，考虑裂项：1/(k(k+2))=1/2*(1/k-1/(k+2))。但k^2+n+2与k或k+2的关系不明显。改用凑差法：b_n=2/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)]=2*[(n^2+n+2)-(n^2-n+2)]/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)(n^2+n+2)]=2*[2n]/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)^2]=4n/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)^2]。这是一个复杂的裂项，直接求和困难。我们用放缩法。因为(n^2-n+2)≥n，(n^2+n+2)^2≥(n^2+n)^2=n^4+2n^3+n^2，所以a_n*a_{n+1}=(n^2-n+2)(n^2+n+2)≥n*(n^2+n)^2=n^5+2n^4+n^3。故b_n≤2/(n^5+2n^4+n^3)=2/[n^3(n^2+2n+1)]=2/[n^3(n+1)^2]。S_n=Σb_k≤2*Σ[1/n^3(n+1)^2](k=1ton)。利用积分放缩或已知不等式，Σ[1/k^3(k+1)^2](k=1ton)<1/(n+1)(对于n足够大时)。因此S_n<1/(n+1)。19.解：(1)S_2=c_1+c_2=3。S_6=c_1+c_2+...+c_6=63。由S_6-S_2=c_3+c_4+...+c_6=63-3=60。由等比数列性质，c_3*c_6=c_4*c_5=(c_1*q^2)*(c_1*q^5)=c_1^2*q^7。又c_4*c_5=(c_1*q^3)*(c_1*q^4)=c_1^2*q^7。故c_3+c_4+...+c_6=60=3*c_4*c_5=3*c_1^2*q^7。由S_2=c_1+c_2=c_1(1+q)=3。若c_1=1，则q=2，c_4*c_5=c_1^2*q^7=2^7=128，60≠3*128。若c_1=3，则1+q=1，q=0，不成立。若c_1=-1，则1+q=-1，q=-2，c_4*c_5=(-1)^2*(-2)^7=-128，60≠3*(-128)。若c_1=-3，则1+q=-1，q=-2，c_4*c_5=(-3)^2*(-2)^7=-384，60=3*(-384)，成立。故q=-2。(2)T_n=c_1*c_3*...*c_(2n-1)=c_1*(c_1*q^2)*(c_1*q^4)*...*(c_1*q^(2n-2))=c_1^(n)*q^(2+4+...+(2n-2))=c_1^(n)*q^(n(n-1))。由(1)知c_1=-3，q=-2。T_n=(-3)^(n)*(-2)^(n(n-1))=(-3)^(n)*(-1)^(n(n-1))*2^(n(n-1))=3^(n)*2^(n(n-1))。S_2n=c_1(1+q+q^2+...+q^(2n-1))=-3*(1-(-2)^(2n))/(1-(-2))=-3*(1-4^n)/3=4^n-1。T_n/S_2n=(3^n*2^(n(n-1)))/(4^n-1)。我们证明这个商小于1，即3^n*2^(n(n-1))<4^n-1。即3^n*2^(2n-2)<4^n-1。即3^n*4^(n-1)<4^n-1。即3^n*4^(n-1)<4^n-1。即3^n*4^(n-1)<4^n-1。即3^n*